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# 13.3: Juegos de dados simples

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En esta sección, analizaremos varios juegos simples jugados con dados: dados de póquer, chuck-a-luck y alto-bajo. El juego de dados de casino es más complicado y se estudia en la siguiente sección.

## Dados de Póker

### Definición

El juego de dados de póquer es un poco como el póquer estándar, pero se juega con dados en lugar de cartas. En los dados de póquer, se rotan 5 dados justos. Registraremos el resultado de nuestro experimento aleatorio como la secuencia (ordenada) de puntuaciones:$\bs{X} = (X_1, X_2, X_3, X_4, X_5)$ Así, el espacio muestral es$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^5$$. Dado que los dados son justos, nuestra suposición básica de modelado es que$$\bs{X}$$ es una secuencia de variables aleatorias independientes y cada una se distribuye uniformemente en$$\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$.

Equivalentemente,$$\bs{X}$$ se distribuye uniformemente en$$S$$:$\P(\bs{X} \in A) = \frac{\#(A)}{\#(S)}, \quad A \subseteq S$

En términos estadísticos, una mano de dados de póquer es una muestra aleatoria de talla 5 extraída con reposición y con respecto al orden de la población$$D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$. Para más información sobre este tema, consulte el capítulo sobre Modelos de Muestreo Finito. En particular, en este capítulo aprenderás que el resultado del Ejercicio 1 no sería cierto si registráramos el resultado del experimento de dados de póquer como un conjunto desordenado en lugar de una secuencia ordenada.

### El valor de la mano

El valor$$V$$ de la mano de dados de póquer es una variable aleatoria con conjunto de soporte$$\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$. Los valores se definen de la siguiente manera:

1. Ninguno igual. Se producen cinco puntuaciones distintas.
2. Un Par. Se producen cuatro puntuaciones distintas; una puntuación ocurre dos veces y las otras tres puntuaciones ocurren una vez cada una.
3. Dos Pares. Se producen tres puntuaciones distintas; una puntuación ocurre dos veces y las otras tres puntuaciones ocurren una vez cada una.
4. Tres de una clase. Se producen tres puntuaciones distintas; una puntuación ocurre tres veces y las otras dos puntuaciones ocurren una vez cada una.
5. Casa Llena. Se producen dos puntuaciones distintas; una puntuación ocurre tres veces y la otra se produce dos veces.
6. Cuatro de un rey. Se producen dos puntuaciones distintas; una puntuación ocurre cuatro veces y la otra se produce una vez.
7. Cinco de una especie. Una vez que la puntuación ocurre cinco veces.

Ejecuta el experimento de dados de póquer 10 veces en modo de un solo paso. Para cada resultado, tenga en cuenta que el valor de la variable aleatoria corresponde al tipo de mano, como se indicó anteriormente.

### La función de densidad de probabilidad

El cálculo de la función de densidad de probabilidad$$V$$ es un buen ejercicio de probabilidad combinatoria. En los siguientes ejercicios, necesitaremos las dos reglas fundamentales de la combinatoria para contar el número de secuencias de dados de un tipo dado: la regla de multiplicación y la regla de suma. También necesitaremos algunas estructuras combinatorias básicas, particularmente combinaciones y permutaciones (con tipos de objetos que son idénticos).

El número de diferentes manos de dados de póquer es$$\#(S) = 6^5 = 7776$$.

$$\P(V = 0) = \frac{720}{7776} = 0.09259$$.

Prueba

Tenga en cuenta que las puntuaciones de los dados forman una permutación de tamaño 5 de$$\{1, 2, 3, 4, 5\}$$.

$$\P(V = 1) = \frac{3600}{7776} \approx 0.46296$$.

Prueba

Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de dados de póquer con un par. También se da el número de formas de realizar cada paso:

1. Selecciona la partitura que aparecerá dos veces:$$6$$
2. Selecciona las 3 puntuaciones que aparecerán una vez cada una:$$\binom{5}{3}$$
3. Seleccione una permutación de los 5 números en las partes (a) y (b):$$\binom{5}{2, 1, 1, 1}$$

$$\P(V = 2) = \frac{1800}{7776} \approx 0.23148$$.

Prueba

Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de dados de póquer con dos pares. También se da el número de formas de realizar cada paso:

1. Selecciona dos partituras que aparecerán dos veces cada una:$$\binom{6}{2}$$
2. Selecciona la partitura que aparecerá una vez:$$4$$
3. Seleccione una permutación de los 5 números en las partes (a) y (b):$$\binom{5}{2, 2, 1}$$

$$\P(V = 3) = \frac{1200}{7776} \approx 0.15432$$.

Prueba

Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de dados de póquer con tres de un tipo. También se da el número de formas de realizar cada paso:

1. Selecciona la partitura que aparecerá 3 veces:$$6$$
2. Selecciona las 2 puntuaciones que aparecerán una vez cada una:$$\binom{5}{2}$$
3. Seleccione una permutación de los 5 números en las partes (a) y (b):$$\binom{5}{3, 1, 1}$$

$$\P(V = 4) = \frac{300}{7776} \approx 0.03858$$.

Prueba

Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de dados de póquer con una casa llena. También se da el número de formas de realizar cada paso:

1. Selecciona la partitura que aparecerá 3 veces:$$6$$
2. Selecciona la partitura que aparecerá dos veces:$$5$$
3. Seleccione una permutación de los 5 números en las partes (a) y (b):$$\binom{5}{3, 2}$$

$$\P(V = 5) = \frac{150}{7776} = 0.01929$$.

Prueba

Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de dados de póquer con cuatro de un tipo. También se da el número de formas de realizar cada paso:

1. Selecciona la puntuación que aparecerá 4 veces:$$6$$
2. Selecciona la puntuación que aparecerá una vez: 5
3. Seleccione una permutación de los 5 números en las partes (a) y (b):$$\binom{5}{4, 1}$$

$$\P(V = 6) = \frac{6}{7776} \approx 0.00077$$.

Prueba

Hay 6 opciones para la partitura que aparecerán 5 veces.

Ejecute el experimento de dados de póquer 1000 veces y compare la función de frecuencia relativa con la función de densidad.

Encuentra la probabilidad de rodar una mano que tenga 3 de un tipo o mejor.

Contestar

0.2130

En el experimento de dados de póquer, establezca el criterio de stop al valor que$$V$$ se da a continuación. Anote el número de manos requeridas.

1. $$V = 3$$
2. $$V = 4$$
3. $$V = 5$$
4. $$V = 6$$

## Chuck-a-Luck

Chuck-a-luck es un popular juego de carnaval, jugado con tres dados. Según Richard Epstein, el nombre original era Sweat Cloth, y en los pubs británicos, el juego se conoce como Crown and Anchor (porque los seis lados de los dados son palos inscritos, diamantes, corazones, espadas, corona y ancla). Los dados son de gran tamaño y se mantienen en una jaula en forma de reloj de arena conocida como jaula para pájaros. Los dados se hacen rodar haciendo girar la jaula para pájaros.

Chuck-a-luck es muy sencillo. El jugador selecciona un número entero del 1 al 6, y luego se tiran los tres dados. Si exactamente los$$k$$ dados muestran el número del jugador, el pago es$$k : 1$$. Al igual que con los dados de póquer, nuestra suposición matemática básica es que los dados son justos, y por lo tanto el vector de resultado$$\bs{X} = (X_1, X_2, X_3)$$ se distribuye uniformemente en el espacio muestral$$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^3$$.

Vamos a$$Y$$ denotar el número de dados que muestran el número del jugador. Luego$$Y$$ tiene la distribución binomial con parámetros$$n = 3$$ y$$p = \frac{1}{6}$$:$\P(Y = k) = \binom{3}{k} \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{3 - k}, \quad k \in \{0, 1, 2, 3\}$

Dejar$$W$$ denotar las ganancias netas para una apuesta unitaria. Entonces

1. $$W = - 1$$si$$Y = 0$$
2. $$W = Y$$si$$Y \gt 0$$

La función de densidad de probabilidad de$$W$$ viene dada por

1. $$\P(W = -1) = \frac{125}{216}$$
2. $$\P(W = 1) = \frac{75}{216}$$
3. $$\P(W = 2) = \frac{15}{216}$$
4. $$\P(W = 3) = \frac{1}{216}$$

Ejecute el experimento chuck-a-luck 1000 veces y compare la función de densidad empírica$$W$$ con la función de densidad de probabilidad verdadera.

El valor esperado y varianza de$$W$$ son

1. $$\mathbb{E}(W) = -\frac{17}{216} \approx 0.0787$$
2. $$\text{var}(W) = \frac{75815}{46656} \approx 1.239$$

Ejecute el experimento de chuck-a-luck 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar de$$W$$ con la media verdadera y la desviación estándar. Supongamos que había apostado \$1 en cada uno de los 1000 juegos. ¿Cuáles serían tus ganancias netas?

## Alto-Bajo

En el juego de alto-bajo, se tiran un par de dados justos. El resultado es

• alto si la suma es 8, 9, 10, 11 o 12.
• baja si la suma es 2, 3, 4, 5 o 6
• siete si la suma es 7

Un jugador puede apostar por cualquiera de los tres resultados. El pago por una apuesta de alto o por una apuesta de baja es$$1:1$$. El pago por una apuesta de siete es$$4:1$$.

Vamos a$$Z$$ denotar el resultado de un juego de alto-bajo. Encuentra la función de densidad de probabilidad de$$Z$$.

Contestar

$$\P(Z = h) = \frac{15}{36}$$,$$\P(Z = l) = \frac{15}{36}$$,$$\P(Z = s) = \frac{6}{36}$$, donde$$h$$ denota alto,$$l$$ denota bajo y$$s$$ denota siete.

Dejar$$W$$ denotar las ganancias netas para una apuesta unitaria. Encuentra el valor esperado y la varianza de$$W$$ para cada una de las tres apuestas:

1. alto
2. bajo
3. siete
Contestar

Let$$W$$ denotar las ganancias netas en una apuesta unitaria en alto-bajo.

1. Apuesta alta:$$\E(W) = -\frac{1}{6}$$,$$\var(W) = \frac{35}{36}$$
2. Apuesta baja:$$\E(W) = -\frac{1}{6}$$,$$\var(W) = \frac{35}{36}$$
3. Apuesta siete:$$\E(W) = -\frac{1}{6}$$,$$\var(W) = \frac{7}{2}$$

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