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14.1: Introducción al Proceso de Poisson

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    \(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)

    El modelo de Poisson

    Consideraremos un proceso en el que los puntos ocurren aleatoriamente en el tiempo. La frase puntos en el tiempo es genérica y podría representar, por ejemplo:

    • Los tiempos en que una muestra de material radiactivo emite partículas
    • Los tiempos en que los clientes llegan a una estación de servicio
    • Los tiempos en que las solicitudes de archivo llegan a una computadora servidor
    • Los momentos en que los accidentes ocurren en una intersección particular
    • Los tiempos en que un dispositivo falla y es reemplazado por un nuevo dispositivo

    Resulta que bajo algunos supuestos básicos que tratan sobre la independencia y uniformidad en el tiempo, un modelo de probabilidad único y de un parámetro gobierna todos esos procesos aleatorios. Este es un resultado asombroso, y por ello, el proceso de Poisson (llamado así por Simeon Poisson) es uno de los más importantes en la teoría de la probabilidad.

    Ejecuta el experimento de Poisson con la configuración predeterminada en modo de un solo paso. Anote los puntos aleatorios en el tiempo.

    Variables aleatorias

    Existen tres colecciones de variables aleatorias que se pueden utilizar para describir el proceso. Primero, vamos a\(X_1\) denotar el tiempo de la primera llegada, y\(X_i\) el tiempo entre el\((i - 1)\) st y\(i\) th arribo para\(i \in \{2, 3, \ldots\}\). Así,\(\bs{X} = (X_1, X_2, \ldots)\) es la secuencia de tiempos entre llegadas. A continuación, vamos a\(T_n\) denotar la hora de la llegada\(n\) th para\(n \in \N_+\). Será conveniente definir\(T_0 = 0\), aunque no consideramos esto como una llegada. Así\(\bs{T} = (T_0, T_1, \ldots)\) es la secuencia de los tiempos de llegada. Claramente\(\bs{T}\) está asociado el proceso de suma parcial\(\bs{X}\), y así en particular cada secuencia determina la otra:\ begin {align} T_n & =\ sum_ {i=1} ^n x_i,\ quad n\ in\ N\\ x_n & = T_n - T_ {n-1},\ quad n\ in\ N_+\ end {align} A continuación, vamos a\(N_t\) denotar el número de llegadas en \((0, t]\)para\(t \in [0, \infty)\). El proceso aleatorio\(\bs{N} = (N_t: t \ge 0)\) es el proceso de conteo. El proceso de tiempo de llegada\(\bs{T}\) y el proceso de conteo\(\bs{N}\) son inversos el uno del otro en cierto sentido, y en particular cada proceso determina el otro:\ begin {align} T_n & =\ min\ {t\ ge 0: n_t = n\},\ quad n\ in\ N\ n_t & =\ max\ {n\ in\ N: T_n\ le t\},\ quad t\ in [0,\ infty)\ end {align } Tenga en cuenta también que\( N_t \ge n \) si y solo si\( T_n \le t \) para\( n \in \N \) y\( t \in [0, \infty) \) desde cada uno de estos eventos significa que hay al menos\(n\) llegadas en el intervalo\((0, t]\).

    A veces será útil extender la notación del proceso de conteo. Para\(A \subseteq [0, \infty)\) (medible por supuesto), vamos\(N(A)\) denotar el número de llegadas en\(A\):\[ N(A) = \#\{n \in \N_+: T_n \in A\} = \sum_{n=1}^\infty \bs{1}(T_n \in A) \] Así,\(A \mapsto N(A)\) es la medida de conteo asociada con los puntos aleatorios\((T_1, T_2, \ldots)\), por lo que en particular es una medida aleatoria. Para nuestro proceso de conteo original, tenga en cuenta que\(N_t = N(0, t]\) para\(t \ge 0\). Por lo tanto,\( t \mapsto N_t \) es una función de distribución (aleatoria), y\( A \mapsto N(A) \) es la medida (aleatoria) asociada a esta función de distribución.

    La Asunción Básica

    El supuesto que haremos se puede describir de manera intuitiva (pero imprecisa) de la siguiente manera: Si fijamos un tiempo\(t\), ya sea constante o uno de los tiempos de llegada, entonces el proceso tras tiempo\(t\) es independiente del proceso antes del tiempo\(t\) y se comporta probabilísticamente igual que el proceso original. Así, el proceso aleatorio tiene una fuerte propiedad de renovación. Hacer precisa la fuerte suposición de renovación permitirá el uso para especificar completamente el comportamiento probabilístico del proceso, hasta un solo parámetro positivo.

    Piense en el fuerte supuesto de renovación para cada una de las aplicaciones específicas dadas anteriormente.

    Ejecuta el experimento de Poisson con la configuración predeterminada en modo de un solo paso. Ve si puedes detectar el fuerte supuesto de renovación.

    Como primer paso, señalar que parte del supuesto de renovación, es decir, que el proceso se reinicia en cada hora de llegada, independientemente del pasado, implica el siguiente resultado:

    La secuencia de tiempos entre llegadas\(\bs{X}\) es una secuencia independiente, idéntica distribuida

    Prueba

    Tenga en cuenta que\(X_2\) es la primera hora de llegada después\(T_1 = X_1\), por lo que\(X_2\) debe ser independiente\(X_1\) y tener la misma distribución. De igual manera\(X_3\) es la primera hora de llegada después\(T_2 = X_1 + X_2\), por lo que\(X_2\) debe ser independiente\(X_1\)\(X_2\) y tener la misma distribución que\(X_1\). Continuando con este argumento,\(\bs{X}\) debe ser una secuencia independiente, idéntica distribuida.

    Un modelo de puntos aleatorios en el tiempo en el que los tiempos entre llegadas son independientes e idénticamente distribuidos (de manera que el proceso se reinicia en cada hora de llegada) se conoce como proceso de renovación. Un capítulo separado explora los procesos de renovación en detalle. Así, el proceso de Poisson es un proceso de renovación, pero muy especial, porque también requerimos que el supuesto de renovación se mantenga en tiempos fijos.

    Analogía con los ensayos de Bernoulli

    En cierto sentido, el proceso de Poisson es una versión temporal continua del proceso de ensayos de Bernoulli. Para ver esto, supongamos que tenemos un proceso de ensayos de Bernoulli con parámetro de éxito\( p \in (0, 1) \), y que pensamos en cada éxito como un punto aleatorio en tiempo discreto. Entonces este proceso, como el proceso de Poisson (y de hecho cualquier proceso de renovación) está completamente determinado por la secuencia de tiempos entre llegadas\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \) (en este caso, el número de pruebas entre éxitos sucesivos), la secuencia de tiempos de llegada\( \bs{T} = (T_0, T_1, \ldots) \) (en este caso, los números de prueba de los éxitos), y el proceso de conteo\( (N_t: t \in \N) \) (en este caso, el número de éxitos en los primeros\( t \) ensayos). También al igual que el proceso de Poisson, el proceso de juicios de Bernoulli tiene la fuerte propiedad de renovación: en cada hora fija y en cada hora de llegada, el proceso comienza de nuevo independientemente del pasado. Pero claro, el tiempo es discreto en el modelo de ensayos de Bernoulli y continuo en el modelo de Poisson. El proceso de ensayos de Bernoulli se puede caracterizar en términos de cada uno de los tres conjuntos de variables aleatorias.

    Cada una de las siguientes afirmaciones caracteriza el proceso de ensayos de Bernoulli con parámetro de éxito\( p \in (0, 1) \):

    1. La secuencia de tiempo inter-llegada\( \bs{X} \) es una secuencia de variables independientes, y cada una tiene las distribuciones geométricas on\( \N_+ \) with success parámetro\( p \).
    2. La secuencia de tiempo de llegada\( \bs{T} \) tiene incrementos estacionarios e independientes, y para\( n \in \N_+ \),\( T_n \) tiene la distribución binomial negativa con parámetro de parada\( n \) y parámetro de éxito\( p \)
    3. El proceso de conteo\( \bs{N} \) tiene incrementos estacionarios e independientes, y para\( t \in \N \),\( N_t \) tiene la distribución binomial con parámetro de prueba\( t \) y parámetro de éxito\( p \).

    Ejecutar el experimento binomial con\(n = 50\) y\(p = 0.1\). Anote los puntos aleatorios en tiempo discreto.

    Ejecute el experimento de Poisson con\(t = 5\) y\(r = 1\). Anote los puntos aleatorios en tiempo continuo y compare con el comportamiento del ejercicio anterior.

    A medida que desarrollemos la teoría del proceso de Poisson, frecuentemente nos referiremos a la analogía con los ensayos de Bernoulli. En particular, demostraremos que si ejecutamos los ensayos de Bernoulli a un ritmo cada vez más rápido pero con una probabilidad de éxito cada vez menor, de la manera justa, el proceso de ensayos de Bernoulli converge al proceso de Poisson.


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