Saltar al contenido principal
Library homepage
 
LibreTexts Español

15.3: Teoremas del límite de renovación

  • Page ID
    152134
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\cov}{\text{cov}}\)

    Comenzamos con un proceso de renovación tal como se construyó en la introducción. Así,\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \) es la secuencia de tiempos de interllegada. Se trata de variables independientes, distribuidas idénticamente, no negativas con función de distribución común\( F \) (satisfactoria\( F(0) \lt 1 \)) y media común\( \mu \). Cuando\(\mu = \infty\), dejamos\(1 / \mu = 0\). Cuando\(\mu \lt \infty\), dejamos\(\sigma\) denotar la desviación estándar común. Recordemos también que\( F^c = 1 - F \) es la función de distribución correcta (o función de confiabilidad). Entonces,\( \bs{T} = (T_0, T_1, \ldots) \) es la secuencia de tiempo de llegada, donde\( T_0 = 0 \) y\[ T_n = \sum_{i=1}^n X_i \] es la hora de la\( n \) th llegada para\( n \in \N_+ \). Por último,\( \bs{N} = \{N_t: t \in [0, \infty)\} \) es el proceso de conteo, donde para\( t \in [0, \infty) \),\[ N_t = \sum_{n=1}^\infty \bs{1}(T_n \le t) \] es el número de llegadas en\( [0, t] \). La función de renovación\( M \) se define por\( M(t) = \E\left(N_t\right) \) for\( t \in [0, \infty) \).

    Señalamos anteriormente que el proceso de tiempo de llegada y el proceso de conteo son inversos, en cierto sentido. El proceso de tiempo de llegada es el proceso de suma parcial para una secuencia de variables independientes, distribuidas idénticamente. Así, parece razonable que los teoremas del límite fundamental para los procesos de suma parcial (la ley de los grandes números y el teorema del límite central), deban tener análogos para el proceso de conteo. Ese es efectivamente el caso, y el propósito de esta sección es explorar el comportamiento limitante de los procesos de renovación. Los principales resultados que estudiaremos, conocidos adecuadamente como teoremas de renovación, son importantes para otros procesos estocásticos, particularmente las cadenas de Markov.

    Teoría Básica

    La Ley de los Grandes Números

    Nuestro primer resultado es una ley fuerte de grandes números para el proceso de conteo de renovación, que viene como se puede adivinar, de la ley de números grandes para la secuencia de tiempos de llegada.

    Si\(\mu \lt \infty\) entonces\( N_t / t \to 1 / \mu \) como\( t \to \infty \) con probabilidad 1.

    Prueba

    Recordemos eso\( T_{N_t} \le t \lt T_{N_t + 1} \) para\( t \gt 0 \). De ahí, si\( N_t \gt 0 \),\[ \frac{T_{N_t}}{N_t} \le \frac{t}{N_t} \lt \frac{T_{N_t + 1}}{N_t}\] Recordemos que\( N_t \to \infty \) como\( t \to \infty \) con probabilidad 1. Recordemos también que por la fuerte ley de los números grandes que\( T_n / n \to \mu \) como\( n \to \infty \) con la probabilidad 1. De ello se deduce que\( T_{N_t} \big/ N_t \to \mu \) como\( t \to \infty \) con la probabilidad 1. También,\( (N_t + 1) \big/ N_t \to 1\) como\( t \to \infty \) con probabilidad 1. Por lo tanto\[ \frac{T_{N_t + 1}}{N_t} = \frac{T_{N_t + 1}}{N_t + 1} \frac{N_t + 1}{N_t} \to \mu \] como\( t \to \infty \) con probabilidad 1. De ahí por el teorema de squeeze para los límites,\( t \big/ N_t \to \mu \) como\( t \to \infty \) con la probabilidad 1.

    Así,\( 1 / \mu \) es la tasa promedio limitante de llegadas por unidad de tiempo.

    Abre el experimento de renovación y establece\( t = 50 \). Para una variedad de distribuciones entre llegadas, ejecute la simulación 1000 veces y observe cómo la distribución empírica se concentra cerca\( t / \mu \).

    El Teorema del Límite Central

    Nuestro siguiente objetivo es mostrar que la variable de conteo\( N_t \) es asintóticamente normal.

    Supongamos que\( \mu \) y\( \sigma \) son finitos, y vamos\[ Z_t = \frac{N_t - t / \mu}{\sigma \sqrt{t / \mu^3}}, \quad t \gt 0 \] La distribución de\( Z_t \) converge a la distribución normal estándar como\( t \to \infty \).

    Prueba

    Para\( n \in \N_+ \), let\[ W_n = \frac{T_n - n \mu}{\sigma \sqrt{n}} \] La distribución de\( W_n \) converge a la distribución normal estándar como\( n \to \infty \), por el teorema del límite central ordinario. Siguiente, para\( z \in \R \),\( \P(Z_t \le z) = \P\left(T_{n(z,t)} \gt t\right) \) dónde\( n(z, t) = \left\lfloor t / \mu + z \sigma \sqrt{t / \mu^3} \right\rfloor \). También,\( \P(Z_t \le z) = \P\left[W_{n(z,t)} \gt w(z, t)\right] \) donde\[ w(z, t) = -\frac{z}{\sqrt{1 + z \sigma \big/ \sqrt{t / \mu}}} \] Pero\( n(z, t) \to \infty \) como\( t \to \infty \) y\( w(z, t) \to -z \) como\( t \to \infty \). Recordemos que\( 1 - \Phi(-z) = \Phi(z) \), donde como de costumbre,\( \Phi \) es la función de distribución normal estándar. Así, concluimos que\( \P(Z_t \le z) \to \Phi(z) \) como\( t \to \infty \).

    Abre el experimento de renovación y establece\( t = 50 \). Para una variedad de distribuciones entre llegadas, ejecute la simulación 1000 veces y anote la forma normal de la distribución empírica. Comparar la media empírica y la desviación estándar con\( t / \mu \) y\( \sigma \sqrt{t / \mu^3} \), respectivamente

    El Teorema de la Renovación Primaria

    El teorema de renovación elemental establece que el límite básico en la ley de números grandes arriba se mantiene en media, así como con probabilidad 1. Es decir, la tasa media limitante de llegadas es\( 1 / \mu \). El teorema de renovación elemental es de fundamental importancia en el estudio del comportamiento limitante de las cadenas de Markov, pero la prueba no es tan fácil como cabría esperar. En particular, recordemos que la convergencia con probabilidad 1 no implica convergencia en media, por lo que el teorema de renovación elemental no se desprende de la ley de los grandes números.

    \( M(t) / t \to 1 / \mu \)como\( t \to \infty \).

    Prueba

    Primero lo demostramos\( \liminf_{t \to \infty} M(t) / t \ge 1 / \mu \). Obsérvese primero que este resultado es trivial si\( \mu = \infty \), entonces supongamos que\( \mu \lt \infty \). A continuación, recordemos que\( N_t + 1 \) es un tiempo de parada para la secuencia de tiempos entre llegadas\( \bs{X} \). Recordemos también eso\( T_{N_t + 1} \gt t \) para\( t \gt 0 \). De la ecuación de Wald se deduce que\[ \E\left(T_{N_t + 1}\right) = \E(N_t + 1) \mu = [M(t) + 1] \mu \gt t \] Por lo tanto\( M(t) / t \gt 1 / \mu - 1 / t \) para\( t \gt 0 \). De ahí\( \liminf_{t \to \infty} M(t) / t \ge 1 / \mu \).

    A continuación lo demostramos\( \limsup_{t \to \infty} M(t) / t \le 1 / \mu \). Para esta parte de la prueba, necesitamos truncar los tiempos de llegada, y utilizar el método básico de comparación. Para\( a \gt 0 \), dejar\[ X_{a,i} = \begin{cases} X_i, & X_i \le a \\ a, & X_i \gt a \end{cases} \] y considerar el proceso de renovación con la secuencia de tiempos interarribos\( \bs{X}_a = \left(X_{a,1}, X_{a,2}, \ldots\right) \). Utilizaremos la notación estándar desarrollada en la sección introductoria. Primero tenga en cuenta que\( T_{a, N_{a,t} + 1} \le t + a \) para\( t \gt 0 \) y\( a \gt 0 \). De la ecuación de Wald otra vez, se deduce que\( \left[M_a(t) + 1\right] \mu_a \le t + a \). Por tanto\[ \frac{M_a(t)}{t} \le \left(\frac{1}{\mu_a} + \frac{a}{t \mu_a}\right) - \frac{1}{t}, \quad a, \; t \gt 0 \] Pero\( M(t) \le M_a(t) \) para\( t \gt 0 \) y\( a \gt 0 \) y por lo tanto Por\[ \frac{M(t)}{t} \le \left(\frac{1}{\mu_a} + \frac{a}{t \mu_a} \right) - \frac{1}{t}, \quad a, \; t \gt 0 \] lo tanto\( \limsup_{t \to \infty} M(t) / t \le 1 / \mu_a \) para\( a \gt 0 \). Por último,\( \mu_a \to \mu \) como\( a \to \infty \) por el teorema de convergencia monótona, así se deduce que\( \limsup_{t \to \infty} M(t) / t \le 1 / \mu \)

    Abre el experimento de renovación y establece\( t = 50 \). Para una variedad de distribuciones interllegadas, ejecute el experimento 1000 veces y una vez más compare la media empírica y la desviación estándar con\( t / \mu \) y\( \sigma \sqrt{t / \mu^3} \), respectivamente.

    El teorema de la renovación

    El teorema de renovación establece que el número esperado de renovaciones en un intervalo es asintóticamente proporcional a la longitud del intervalo; la constante de proporcionalidad es\( 1 / \mu \). La afirmación precisa es diferente, dependiendo de si el proceso de renovación es aritmético o no. Recordemos que para un proceso de renovación aritmética, los tiempos de interllegada toman valores en un conjunto de la forma\( \{n d: n \in \N\} \) para algunos\( d \in (0, \infty) \), y el mayor\( d \) es el lapso de la distribución.

    Para\( h \gt 0 \),\( M(t, t + h] \to \frac{h}{\mu} \) como\( t \to \infty \) en cada uno de los siguientes casos:

    1. El proceso de renovación no es aritmético
    2. El proceso de renovación es aritmético con span\( d \), y\( h \) es un múltiplo de\( d \)

    El teorema de la renovación también se conoce como teorema de Blackwell en honor a David Blackwell. El teorema final del límite que estudiaremos es el más útil, pero antes de que podamos exponer el teorema, necesitamos definir y estudiar la clase de funciones a las que se aplica.

    Integración Directa de Riemann

    Recordemos que en la teoría ordinaria de la integración de Riemann, la integral de una función en el intervalo\( [0, t] \) existe si las sumas superiores e inferiores de Riemann convergen a un número común a medida que se refina la partición. Entonces, la integral de la función on\( [0, \infty) \) se define como el límite de la integral on\( [0, t] \), as\( t \to \infty \). Para nuestra nueva definición, se dice que una función es directamente integrable por Riemann si las sumas inferiores y superiores de Riemann en todo el intervalo no acotado\( [0, \infty) \) convergen a un número común a medida que se refina la partición, una definición más restrictiva que la habitual.

    Supongamos que\( g: [0, \infty) \to [0, \infty) \). Para\( h \in [0, \infty) \) y\( k \in \N \), vamos\( m_k(g, h) = \inf\{g(t): t \in [k h, (k + 1) h)\} \) y\( M_k(g, h) = \sup\{g(t): t \in [k h, (k + 1)h) \). Las sumas inferiores y superiores de\( g \) Riemann\( [0, \infty) \) correspondientes a\( h \) son\[ L_g(h) = h \sum_{k=0}^\infty m_k(g, h), \quad U_g(h) = h \sum_{k=0}^\infty M_k(g, h) \] Las sumas existen en\( [0, \infty] \) y satisfacen las siguientes propiedades:

    1. \( L_g(h) \le U_g(h) \)para\( h \gt 0 \)
    2. \( L_g(h) \)aumenta a medida que\( h \) disminuye
    3. \( U_g(h) \)disminuye a medida que\( h \) disminuye

    De ello se deduce que\( \lim_{h \downarrow 0} L_g(h) \) y\( \lim_{h \downarrow 0} U_g(h) \) existen en\( [0, \infty] \) y\( \lim_{h \downarrow 0} L_g(h) \le \lim_{h \downarrow 0} U_g(h) \). Naturalmente, el caso donde los límites son finitos y están de acuerdo es lo que buscamos.

    Una función\( g: [0, \infty) \to [0, \infty) \) es directamente Riemann integrable si\( U_g(h) \lt \infty \) para cada\( h \gt 0 \) y\[ \lim_{h \downarrow 0} L_g(h) = \lim_{h \downarrow 0} U_g(h) \] El valor común es\( \int_0^\infty g(t) \, dt \).

    La integrabilidad ordinaria de Riemann\( [0, \infty) \) permite funciones que no tienen límites y oscilan salvajemente como\( t \to \infty \), y estos son los tipos de funciones que queremos excluir para los teoremas de renovación. El siguiente resultado conecta la integrabilidad ordinaria de Riemann con la integrabilidad directa de Riemann.

    Si\( g: [0, \infty) \to [0, \infty) \) es integrable (en el sentido ordinario de Riemann) encendido\( [0, t] \) para cada\( t \in [0, \infty) \) y si\( U_g(h) \lt \infty \) para algunos\( h \in (0, \infty) \) entonces\( g \) es directamente Riemann integrable.

    Aquí hay una clase simple y útil de funciones que son directamente integrables por Riemann.

    Supongamos que\( g: [0, \infty) \to [0, \infty) \) está disminuyendo con\( \int_0^\infty g(t) \, dt \lt \infty \). Entonces\( g \) es directamente Riemann integrable.

    Los teoremas clave de la renovación

    El teorema de renovación clave es una versión integral del teorema de renovación, y es el más útil de los diversos teoremas de límite.

    Supongamos que el proceso de renovación no es aritmético y que\( g: [0, \infty) \to [0, \infty) \) es directamente integrable Riemann. Entonces\[ (g * M)(t) = \int_0^t g(t - s) \, dM(s) \to \frac{1}{\mu} \int_0^\infty g(x) \, dx \text{ as } t \to \infty \]

    Conexiones

    Nuestro siguiente objetivo es ver cómo se relacionan los diversos teoremas de renovación.

    El teorema de renovación implica el teorema de renovación elemental:

    Prueba

    Dejemos\( a_n = M(n, n + 1] \) para\( n \in \N \). Del teorema de la renovación,\( a_n \to 1 / \mu \) como\( n \to \infty \). Por lo tanto\( \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k \to \frac{1}{\mu} \) como\( n \to \infty \). De ello se deduce que\( M(n) / n \to 1 / \mu \) como\( n \to \infty \). Pero la función de renovación va aumentando así para\( t \gt 0 \),\[ \frac{\lfloor t \rfloor}{t} \frac{M(\lfloor t \rfloor)}{\lfloor t \rfloor} \le \frac{M(t)}{t} \le \frac{\lceil t \rceil}{t} \frac{M(\lceil t \rceil)}{\lceil t \rceil} \] Del teorema del squeeze para los límites se deduce que\( M(t) / t \to 1 / \mu \) como\( t \to \infty \).

    Por el contrario, el teorema de renovación elemental casi implica el teorema de renovación.

    Prueba

    Supongamos que\( g(x) = \lim_{t \to \infty} [M(t + x) - M(t)] \) existe para cada uno\( x \gt 0 \). (Esta suposición es la razón por la que la prueba es incompleta.) Tenga en cuenta que\[ M(t + x + y) - M(t) = [M(t + x + y) - M(t + x)] + [M(t + x) - M(t)] \] Vamos\( t \to \infty \) a concluir que\( g(x + u) = g(x) + g(y) \) para todos\( x \ge 0 \) y\( y \ge 0 \). De ello\( g \) se deduce que va en aumento y\( g(x) = c x \) para\( x \ge 0 \) donde\( c \) es una constante. Exactamente como en la prueba del teorema anterior, se deduce que\( M(n) / n \to c \) como\( n \to \infty \). A partir del teorema de renovación elemental, podemos concluir que\( c = 1 / \mu \).

    El teorema de la renovación clave implica el teorema de renovación

    Prueba

    Este resultado sigue aplicando el teorema de renovación clave a la función\( g_h(x) = \bs{1}(0 \le x \le h) \) donde\( h \gt 0 \).

    Por el contrario, el teorema de renovación implica el teorema de renovación clave.

    Los procesos de la era

    El teorema de renovación clave se puede utilizar para encontrar las distribuciones limitantes de la edad actual y restante. Recordemos que para\( t \in [0, \infty) \) la vida actual en el momento\( t \) es\( C_t = t - T_{N_t} \) y la vida restante en el tiempo\( t \) lo es\( R_t = T_{N_t + 1} - t \).

    Si el proceso de renovación no es aritmético, entonces\[ \P(R_t \gt x) \to \frac{1}{\mu} \int_x^\infty F^c(y) \, dy \text{ as } t \to \infty, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Recordemos que\[ \P(R_t \gt x) = F^c(t + x) + \int_0^t F^c(t + x - s) \, dM(s), \quad x \in [0, \infty) \] Pero\( F^c(t + x) \to 0 \) como\( t \to \infty \), y por el teorema clave de la renovación, la integral converge a\( \frac{1}{\mu} \int_0^\infty F^c(x + y) \, dy \). Finalmente un cambio de variables en la integral limitante da el resultado.

    Si el proceso de renovación es aperiódico, entonces

    \[ \P(R_t \gt x) \to \frac{1}{\mu} \int_x^\infty F^c(y) \, dy \text{ as } t \to \infty, \quad x \in [0, \infty) \]
    Prueba

    Recordemos que, dado que el proceso de renovación es aperiódico,\[ \P(C_t \gt x) = F^c(t) + \int_0^{t - x} F^c(t - s) \, dM(s), \quad x \in [0, t] \] Nuevamente,\( F^c(t) \to 0 \) como\( t \to \infty \). El cambio de variables\( u = t - x \) cambia la integral en\( \int_0^u F^c(u + x - s) \, dM(s) \). Por el teorema clave de la renovación, esta integral converge\( \frac{1}{\mu} \int_0^\infty F^c(y + x) \, dy = \int_x^\infty F^c(y + x) \, dy \).

    La vida actual y restante tienen la misma distribución limitante. En particular,\[ \lim_{t \to \infty} \P(C_t \le x) = \lim_{t \to \infty} \P(R_t \le x) = \frac{1}{\mu} \int_0^x F^c(y) \, dy, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Según los dos teoremas anteriores, las funciones de distribución de derechos limitantes de\( R_t \) y\( C_t \) son las mismas. La función de distribución limitante ordinaria (izquierda) es\[ 1 - \frac{1}{\mu} \int_x^\infty F^c(y) \, dy = \frac{1}{\mu} \left(\mu - \int_x^\infty F^c(y) \, dy \right) \] Pero recuerda que\( \mu = \int_0^\infty F^c(y) \, dy \) así el resultado sigue desde\( \int_0^\infty F^c(y) \, dy - \int_x^\infty F^c(y) \, dy = \int_0^x F^c(y) \, dy \)

    El hecho de que los procesos actuales y de la edad restante tengan la misma distribución limitante puede parecer sorprendente al principio, pero hay una explicación sencilla e intuitiva. Después de un largo periodo de tiempo, el proceso de renovación se ve casi igual hacia atrás en el tiempo que hacia adelante en el tiempo. Pero al invertir la dirección del tiempo se revierten los rollos de la edad actual y restante.

    Ejemplos y Casos Especiales

    El proceso de Poisson

    Recordemos que el proceso de Poisson, el más importante de todos los procesos de renovación, tiene tiempos interllegados que se distribuyen exponencialmente con el parámetro de tasa\( r \gt 0 \). Por lo tanto, la función de distribución entre llegadas es\( F(x) = 1 - e^{-r x} \) para\( x \ge 0 \) y el tiempo medio entre llegadas es\( \mu = 1 / r \).

    Verifica directamente cada una de las siguientes opciones:

    1. La ley de grandes números para el proceso de conteo.
    2. El teorema del límite central para el proceso de conteo.
    3. El teorema de la renovación elemental.
    4. El teorema de la renovación.

    Juicios de Bernoulli

    Supongamos que\( \bs{X} = (X_1, X_2, \ldots) \) es una secuencia de ensayos de Bernoulli con parámetro de éxito\( p \in (0, 1) \). Recordemos que\( \bs{X} \) es una secuencia de variables indicadoras independientes, distribuidas idénticamente con\( p = \P(X = 1) \). Hemos estudiado una serie de procesos aleatorios derivados de\( \bs{X} \):

    Procesos aleatorios asociados con ensayos de Bernoulli.

    1. \( \bs{Y} = (Y_0, Y_1, \ldots) \)donde\( Y_n \) el número de éxitos en los primeros\( n \) ensayos. La secuencia\( \bs{Y} \) es el proceso de suma parcial asociado con\( \bs{X} \). La variable\( Y_n \) tiene la distribución binomial con parámetros\( n \) y\( p \).
    2. \( \bs{U} = (U_1, U_2, \ldots) \)donde\( U_n \) el número de ensayos necesarios para pasar del número de éxito\( n - 1 \) al número de éxito\( n \). Se trata de variables independientes, cada una de las cuales tiene la distribución geométrica\( \N_+ \) con parámetro\( p \).
    3. \( \bs{V} = (V_0, V_1, \ldots) \)donde\( V_n \) está el número de prueba de éxito\( n \). La secuencia\( \bs{V} \) es el proceso de suma parcial asociado con\( \bs{U} \). La variable\( V_n \) tiene la distribución binomial negativa con parámetros\( n \) y\( p \).

    Considera el proceso de renovación con secuencia entre llegadas\( \bs{U} \). Así,\( \mu = 1 / p \) es el tiempo medio entre llegadas, y\( \bs{Y} \) es el proceso de conteo. Verifica directamente cada una de las siguientes opciones:

    1. La ley de grandes números para el proceso de conteo.
    2. El teorema del límite central para el proceso de conteo.
    3. El teorema de la renovación elemental.

    Considera el proceso de renovación con secuencia entre llegadas\( \bs{X} \). Así, el tiempo medio entre llegadas es\( \mu = p \) y el número de llegadas en el intervalo\( [0, n] \) es\( V_{n+1} - 1 \) para\( n \in \N \). Verifica directamente cada una de las siguientes opciones:

    1. La ley de grandes números para el proceso de conteo.
    2. El teorema del límite central para el proceso de conteo.
    3. El teorema de la renovación elemental.

    This page titled 15.3: Teoremas del límite de renovación is shared under a CC BY 2.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Kyle Siegrist (Random Services) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.