8.3: Intervalos de confianza

Hasta este punto, hemos aprendido a estimar el parámetro poblacional para la media utilizando datos de muestra y un estadístico de muestra. Desde un punto de vista, esto tiene sentido: tenemos un valor para nuestro parámetro por lo que usamos un solo valor (llamado estimación puntual) para estimarlo. Sin embargo, hemos visto que todas las estadísticas tienen error de muestreo y que el valor que encontramos para la media muestral rebotará en función de las personas de nuestra muestra, simplemente por casualidad aleatoria. Pensando en la estimación desde esta perspectiva, tendría más sentido tomar en cuenta ese error en lugar de confiar solo en nuestra estimación de puntos. Para ello, calculamos lo que se conoce como intervalo de confianza.

Un intervalo de confianza comienza con nuestra estimación de puntos y luego crea un rango de puntuaciones consideradas plausibles en función de nuestra desviación estándar, nuestro tamaño de muestra y el nivel de confianza con el que nos gustaría estimar el parámetro. Este rango, que se extiende por igual en ambas direcciones alejándose de la estimación puntual, se denomina margen de error. Calculamos el margen de error multiplicando nuestro valor crítico de dos colas por nuestro error estándar:

\[\text {Margin of Error }=t^{*}(s / \sqrt{n}) \]

Una consideración importante a la hora de calcular el margen de error es que solo se puede calcular utilizando el valor crítico para una prueba de dos colas. Esto se debe a que el margen de error se aleja de la estimación puntual en ambas direcciones, por lo que un valor de una cola no tiene sentido.

El valor crítico que usemos se basará en un nivel de confianza elegido, que es igual a 1 —\(α\). Así, un nivel de confianza del 95% corresponde a\(α\) = 0.05. Así, al nivel de significancia 0.05, creamos un Intervalo de Confianza del 95%. La forma de interpretar eso se discute más adelante.

Una vez calculado nuestro margen de error, lo sumamos a nuestra estimación de puntos para que la media obtenga un límite superior al intervalo de confianza y lo restemos de la estimación puntual para la media para obtener un límite inferior para el intervalo de confianza:

\[\begin{array}{l}{\text {Upper Bound}=\bar{X}+\text {Margin of Error}} \\ {\text {Lower Bound }=\bar{X}-\text {Margin of Error}}\end{array} \]

O simplemente:

\[\text { Confidence Interval }=\overline{X} \pm t^{*}(s / \sqrt{n}) \]

Para escribir un intervalo de confianza, siempre usamos corchetes suaves y colocamos el límite inferior, una coma y el límite superior:

\[\text { Confidence Interval }=\text { (Lower Bound, Upper Bound) } \]

Veamos cómo se ve esto con algunos números reales tomando nuestros datos de cambio de aceite y usándolos para crear un intervalo de confianza del 95% estimando el tiempo promedio que tarda en el nuevo mecánico. Ya encontramos que nuestro promedio era\(\overline{X}\) = 53.75 y nuestro error estándar fue\(s_{\overline{X}}\) = 6.86. También encontramos un valor crítico para probar nuestra hipótesis, pero recuerde que estábamos probando una hipótesis de una cola, para que el valor crítico no funcione. Para ver por qué es eso, mira los encabezados de columna en la\(t\) tabla -table. La columna para una cola\(α\) = 0.05 es lo mismo que una de dos colas\(α\) = 0.10. Si usáramos el antiguo valor crítico, en realidad estaríamos creando un intervalo de confianza del 90% (1.00-0.10 = 0.90, o 90%). Para encontrar el valor correcto, utilizamos la columna para dos colas\(α\) = 0.05 y, nuevamente, la fila para 3 grados de libertad, para encontrar\(t*\) = 3.182.

Ahora tenemos todas las piezas que necesitamos para construir nuestro intervalo de confianza:

\[95 \% C I=53.75 \pm 3.182(6.86) \nonumber \]

\[\begin{aligned} \text {Upper Bound} &=53.75+3.182(6.86) \\ U B=& 53.75+21.83 \\ U B &=75.58 \end{aligned} \nonumber \]

\[\begin{aligned} \text {Lower Bound} &=53.75-3.182(6.86) \\ L B &=53.75-21.83 \\ L B &=31.92 \end{aligned} \nonumber \]

\[95 \% C I=(31.92,75.58) \nonumber \]

Entonces encontramos que nuestro intervalo de confianza del 95% va de 31.92 minutos a 75.58 minutos, pero ¿qué significa eso en realidad? El rango (31.92, 75.58) representa valores de la media que consideramos razonables o plausibles con base en nuestros datos observados. Incluye nuestra estimación puntual de la media,\(\overline{X}\) = 53.75, en el centro, pero también tiene un rango de valores que también podría haber sido el caso en base a lo que sabemos sobre cuánto varían estas puntuaciones (es decir, nuestro error estándar).

Es muy tentador interpretar también este intervalo diciendo que estamos 95% seguros de que la verdadera media poblacional cae dentro del rango (31.92, 75.58), pero esto no es cierto. La razón por la que no es cierto es que formular nuestra interpretación de esta manera sugiere que hemos establecido firmemente un intervalo y la media poblacional cae o no en él, sugiriendo que nuestro intervalo es firme y la media poblacional se moverá. Sin embargo, la media poblacional es un absoluto que no cambia; es nuestro intervalo el que variará de la recolección de datos a la recolección de datos, incluso teniendo en cuenta nuestro error estándar. La interpretación correcta, entonces, es que estamos 95% seguros de que el rango (31.92, 75.58) se encuentra entre paréntesis con la verdadera media poblacional. Esta es una diferencia muy sutil, pero es importante.

Prueba de hipótesis con intervalos de confianza

En función de cómo se construyen, también podemos usar intervalos de confianza para probar hipótesis. Sin embargo, nos limitamos a probar hipótesis de dos colas únicamente, debido a cómo funcionan los intervalos, como se discutió anteriormente.

Una vez construido un intervalo de confianza, usarlo para probar una hipótesis es simple. El rango de los paréntesis de intervalo de confianza (o contiene, o está alrededor) el valor de hipótesis nula, fallamos en rechazar la hipótesis nula. Si no corchete el valor de hipótesis nula (es decir, si todo el rango está por encima del valor de hipótesis nula o por debajo de él), rechazamos la hipótesis nula. El motivo de esto es claro si pensamos en lo que representa un intervalo de confianza. Recuerde: un intervalo de confianza es un rango de valores que consideramos razonables o plausibles en base a nuestros datos. Así, si el valor de hipótesis nula está en ese rango, entonces es un valor que es plausible en base a nuestras observaciones. Si la hipótesis nula es plausible, entonces no tenemos razón para rechazarla. Así, si nuestro intervalo de confianza se encuentra entre corchetes con el valor de hipótesis nula, convirtiéndolo así en un valor razonable o plausible basado en nuestros datos observados, entonces no tenemos evidencia contra la hipótesis nula y fallamos en rechazarla. Sin embargo, si construimos un intervalo de confianza de valores razonables basado en nuestras observaciones y no contiene el valor de hipótesis nula, entonces no tenemos razón empírica (observada) para creer el valor de hipótesis nula y por lo tanto rechazar la hipótesis nula.

Veamos un ejemplo. Se oye que el promedio nacional en una medida de amabilidad es de 38 puntos. Quieres saber si las personas de tu comunidad son más o menos amigables que las personas a nivel nacional, por lo que recolectas datos de 30 personas aleatorias en la ciudad para buscar una diferencia. Seguiremos el mismo procedimiento de prueba de hipótesis de cuatro pasos que antes.

Paso 1: Declarar las Hipótesis Empezaremos por exponer nuestras hipótesis nulas y alternativas:

\(H_0\): No hay diferencia en lo amigable que es la comunidad local en comparación con el promedio nacional

\(H_0: μ = 38\)

\(H_A\): Hay una diferencia en lo amigable que es la comunidad local en comparación con el promedio nacional

\(H_A: μ ≠ 38\)

Paso 2: Encuentra los Valores Críticos Necesitamos nuestros valores críticos para determinar el ancho de nuestro margen de error. Asumiremos un nivel de significancia de\(α\) = 0.05 (lo que nos dará un IC 95%). De la\(t\) tabla -un valor crítico de dos colas a\(α\) = 0.05 con 29 grados de libertad (\(N\)— 1 = 30 — 1 = 29) es\(t*\) = 2.045.

Paso 3: Cálculos Ahora podemos construir nuestro intervalo de confianza. Después de recopilar nuestros datos, encontramos que la persona promedio en nuestra comunidad obtuvo 39.85, o\(\overline{X}\) = 39.85, y nuestra desviación estándar fue\(s\) = 5.61. Primero, necesitamos usar esta desviación estándar, más nuestro tamaño de muestra de\(N\) = 30, para calcular nuestro error estándar:

\[s_{\overline{X}}=\dfrac{s}{\sqrt{n}}=\dfrac{5.61}{5.48}=1.02 \nonumber \]

Ahora podemos poner ese valor, nuestra estimación de puntos para la media de la muestra y nuestro valor crítico del paso 2 en la fórmula para un intervalo de confianza:

\[95 \% C I=39.85 \pm 2.045(1.02) \nonumber \]

\[\begin{aligned} \text {Upper Bound} &=39.85+2.045(1.02) \\ U B &=39.85+2.09 \\ U B &=41.94 \end{aligned} \nonumber \]

\[\begin{aligned} \text {Lower Bound} &=39.85-2.045(1.02) \\ L B &=39.85-2.09 \\ L B &=37.76 \end{aligned} \nonumber \]

\[95 \% C I=(37.76,41.94) \nonumber \]

Paso 4: Tomar la decisión Finalmente, podemos comparar nuestro intervalo de confianza con nuestro valor de hipótesis nula. El valor nulo de 38 es mayor que nuestro límite inferior de 37.76 y menor que nuestro límite superior de 41.94. Así, el intervalo de confianza entre corchetes nuestro valor de hipótesis nula, y fallamos en rechazar la hipótesis nula:

No Rechazar\(H_0\). Con base en nuestra muestra de 30 personas, nuestra comunidad no es diferente en amabilidad promedio (\(\overline{X}\)= 39.85) que la nación en su conjunto, IC 95% = (37.76, 41.94).

Tenga en cuenta que no reportamos un estadístico de prueba o\(p\) -value porque no es así como probamos la hipótesis, pero sí reportamos el valor que encontramos para nuestro intervalo de confianza.

Una característica importante de las pruebas de hipótesis es que ambos métodos siempre te darán el mismo resultado. Eso se debe a que ambos se basan en el error estándar y en los valores críticos en sus cálculos. Para comprobarlo, podemos calcular una estadística t para el ejemplo anterior y encontrarla\(t\) = 1.81, que es menor que nuestro valor crítico de 2.045 y no logra rechazar la hipótesis nula.

Los intervalos de\(z\) confianza mediante intervalos de confianza también se pueden construir usando criterios\(z\) -score, si se conoce la desviación estándar de la población. El formato, los cálculos y la interpretación son todos exactamente iguales, solo reemplazando\(t*\) con\(z*\) y\(s_{\overline{X}}\) con\(\sigma_{\overline{X}}\).