4.10: Anova bidireccional
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Objetivos de aprendizaje
- Para usar anova bidireccional cuando se tiene una variable de medición y dos variables nominales, y cada valor de una variable nominal se encuentra en combinación con cada valor de la otra variable nominal. Prueba tres hipótesis nulas: que las medias de la variable de medición son iguales para diferentes valores de la primera variable nominal; que las medias son iguales para diferentes valores de la segunda variable nominal; y que no hay interacción (los efectos de una variable nominal no dependen del valor de la otra variable nominal).
Cuándo usarlo
Se utiliza un anova bidireccional (también conocido como anova factorial, con dos factores) cuando se tiene una variable de medición y dos variables nominales. Las variables nominales (a menudo llamadas “factores” o “efectos principales”) se encuentran en todas las combinaciones posibles. Por ejemplo, aquí hay algunos datos que recopilé sobre la actividad enzimática de los genotipos manosa-6-fosfato isomerasa (MPI) y MPI en el crustáceo anfípodo Platorchestia platensis. Debido a que no sabía si el sexo también afectaba la actividad del MPI, separé los anfípodos por sexo.
| Genotipo | Hembra | Macho |
|---|---|---|
| FF | 2.838 4.216 2.889 4.198 |
1.884 2.283 4.939 3.486 |
| FS | 3.55 4.556 3.087 1.943 |
2.396 2.956 3.105 2.649 |
| SS | 3.620 3.079 3.586 2.669 |
2.801 3.421 4.275 3.110 |
A diferencia de un anova anidado, cada agrupación se extiende a través de la otra agrupación: cada genotipo contiene algunos machos y algunas hembras, y cada sexo contiene los tres genotipos.
Un anova bidireccional generalmente se realiza con replicación (más de una observación por cada combinación de las variables nominales). Para nuestros anfípodos, un anova bidireccional con replicación significa que hay más de un macho y más de una hembra de cada genotipo. También puedes hacer anova bidireccional sin replicación (solo una observación por cada combinación de las variables nominales), pero esto es menos informativo (no puedes probar el término de interacción) y requiere que asumas que no hay interacción.
Medidas repetidas
Un diseño experimental que las personas analizan con un anova bidireccional son las medidas repetidas, donde se ha hecho una observación sobre el mismo individuo más de una vez. Esto generalmente implica mediciones tomadas en diferentes puntos de tiempo. Por ejemplo, podrías medir la velocidad de carrera antes, una semana después y tres semanas en un programa de ejercicio. Debido a que los individuos comenzarían con diferentes velocidades de carrera, es mejor analizar usando un anova bidireccional, con “individual” como uno de los factores, en lugar de agrupar a todos juntos y analizar con un anova unidireccional. A veces las medidas repetidas se repiten en diferentes lugares y no en diferentes momentos, como el ángulo de abducción de cadera medido en la cadera derecha e izquierda de los individuos. Los experimentos de medidas repetidas a menudo se realizan sin replicación, aunque podrían hacerse con replicación.
En un diseño de medidas repetidas, uno de los efectos principales suele ser poco interesante y la prueba de su hipótesis nula puede no ser reportada. Si el objetivo es determinar si un programa de ejercicios en particular afecta la velocidad de carrera, tendría poco sentido probar si los individuos diferían entre sí en su velocidad promedio de carrera; solo sería de interés el cambio en la velocidad de carrera a lo largo del tiempo.
Bloques aleatorios
Otro diseño experimental que se analiza mediante un anova bidireccional son los bloques aleatorios. Esto ocurre a menudo en la agricultura, donde es posible que desee probar diferentes tratamientos en parcelas pequeñas dentro de bloques de tierra más grandes. Debido a que los bloques más grandes pueden diferir de alguna manera que pueda afectar a la variable de medición, los datos se analizan con un anova bidireccional, con el bloque como una de las variables nominales. Cada tratamiento se aplica a una o más parcelas dentro del bloque mayor, y las posiciones de los tratamientos se asignan al azar. Esto se hace más comúnmente sin replicación (una gráfica por bloque), pero también se puede hacer con replicación.
Hipótesis nulas
Un anova bidireccional con replicación prueba tres hipótesis nulas: que las medias de observaciones agrupadas por un factor son las mismas; que las medias de observaciones agrupadas por el otro factor son las mismas; y que no hay interacción entre los dos factores. La prueba de interacción te indica si los efectos de un factor dependen del otro factor. En el ejemplo de anfípodos, imagina que los anfípodos femeninos de cada genotipo tienen aproximadamente la misma actividad de MPI, mientras que los anfípodos masculinos con el\(SS\) genotipo tuvieron una actividad MPI mucho menor que los machos\(FF\) o\(FS\) anfípodos (no lo hacen, pero imagínense que lo hacen por un momento). Los diferentes efectos del genotipo sobre la actividad en anfípodos femeninos y masculinos resultarían en un término de interacción significativo en el anova, lo que significa que el efecto del genotipo sobre la actividad dependería de si se estaba mirando a machos o hembras. Si no hubiera interacción, las diferencias entre genotipos en la actividad enzimática serían las mismas para machos y hembras, y la diferencia de actividad entre machos y hembras sería la misma para cada uno de los tres genotipos.
Cuando el término de interacción es significativo, el consejo habitual es que no se deben probar los efectos de los factores individuales. En este ejemplo, sería engañoso examinar los factores individuales y concluir que “los\(SS\) anfípodos tienen menor actividad que\(FF\) o”\(FS\), cuando eso solo es cierto para los machos, o “Los anfípodos machos tienen menor actividad MPI que las hembras”, cuando eso solo es cierto para el\(SS\) genotipo.
Lo que puedes hacer, si el término de interacción es significativo, es mirar cada factor por separado, usando un anova unidireccional. En el ejemplo de anfípodos, podrías decir que para los anfípodos femeninos, no hay un efecto significativo del genotipo sobre la actividad de MPI, mientras que para los anfípodos masculinos, hay un efecto significativo del genotipo sobre la actividad del MPI. O bien, si te interesa más la diferencia de sexo, podrías decir que los anfípodos machos tienen una actividad enzimática media significativamente menor que las hembras cuando tienen el\(SS\) genotipo, pero no cuando tienen los otros dos genotipos.
Cuando haces un anova bidireccional sin replicación, aún puedes probar los dos efectos principales, pero no puedes probar la interacción. Esto significa que tus pruebas de los efectos principales tienen que asumir que no hay interacción. Si encuentras una diferencia significativa en las medias de uno de los efectos principales, no sabrías si esa diferencia fue consistente para diferentes valores del otro efecto principal.
Cómo funciona la prueba
Con replicación
Cuando los tamaños de muestra en cada subgrupo son iguales (un “diseño equilibrado”), se calcula el cuadrado medio para cada uno de los dos factores (los “efectos principales”), para la interacción y para la variación dentro de cada combinación de factores. Luego se calcula cada\(F\) estadística dividiendo un cuadrado medio por el cuadrado medio dentro del subgrupo.
Cuando los tamaños de muestra para los subgrupos no son iguales (un “diseño desequilibrado”), el análisis es mucho más complicado, y existen varias técnicas diferentes para probar los efectos principales y de interacción que no voy a cubrir aquí. Si estás haciendo un anova bidireccional, tu vida estadística será mucho más fácil si lo haces un diseño equilibrado.
Sin replicación
Cuando sólo hay una sola observación para cada combinación de las variables nominales, sólo hay dos hipótesis nulas: que las medias de observaciones agrupadas por un factor son las mismas, y que las medias de observaciones agrupadas por el otro factor son las mismas. Es imposible probar la hipótesis nula de no interacción; en cambio, hay que asumir que no hay interacción para probar los dos efectos principales.
Cuando no hay replicación, se calcula el cuadrado medio para cada uno de los dos efectos principales, y también se calcula un cuadrado medio total considerando todas las observaciones como un solo grupo. El cuadrado medio restante (también llamado el cuadrado medio de discrepancia o error) se encuentra restando los dos cuadrados medios del efecto principal del cuadrado medio total. El\(F\) -estadístico para un efecto principal es el cuadrado medio del efecto principal dividido por el cuadrado medio restante.
Supuestos
El anova bidireccional, como todos los anovas, supone que las observaciones dentro de cada celda se distribuyen normalmente y tienen desviaciones estándar iguales. No sé qué tan sensible es ante las violaciones de estos supuestos.
Ejemplo
Shimoji y Miyatake (2002) criaron el gorgojo del camote de las Indias Occidentales durante\(14\) generaciones con una dieta artificial. Compararon estos gorgojos de dieta artificial (\(AD\)cepa) con gorgojos criados en raíces de camote (\(SP\)cepa), el alimento natural del gorgojo. Colocaron múltiples hembras de cada cepa, ya sea en la dieta artificial o en la raíz de camote, y contaron el número de huevos que cada hembra puso durante un periodo\(28\) de un día. Hay dos variables nominales, la cepa del gorgojo (\(AD\)o\(SP\)) y el alimento de prueba de oviposición (dieta artificial o camote), y una variable de medición (el número de huevos puestos).
Los resultados del anova bidireccional con replicación incluyen un término de interacción significativo (\(F_{1,\: 117}=17.02,\; \; P=7\times 10^{-5}\)). Mirando la gráfica, la interacción se puede interpretar de esta manera: en la dieta del camote, la\(SP\) cepa puso más huevos que la\(AD\) cepa; en la dieta artificial, la\(AD\) cepa puso más huevos que la\(SP\) cepa. Cada efecto principal también es significativo: la cepa del gorgojo (\(F_{1,\: 117}=8.82,\; \; P=0.0036\)) y el alimento de prueba de oviposición (\(F_{1,\: 117}=345.92,\; \; P=9\times 10^{-37}\)). Sin embargo, el efecto significativo de la cepa es un poco engañoso, ya que la dirección de la diferencia entre cepas depende de qué alimento comieron. Es por ello que es importante mirar primero el término de interacción.
Place y Abramson (2008) pusieron serpientes de cascabel de diamante (Crotalus atrox) en una “caja de cascabeles”, una caja con una tapa que se deslizaría abierta y se cerraría cada\(5\) minuto. Al principio, la serpiente sacudiría su cola cada vez que se abriera la caja. Después de un tiempo, la serpiente se acostumbraría a la apertura de la caja y dejaría de traquetear su cola. Contaron el número de aberturas de caja hasta que una serpiente dejó de traquetear; menos aberturas de caja significa que la serpiente se habituó más rápidamente. Repitieron este experimento en cada serpiente en cuatro días sucesivos, lo que trataré como una variable nominal para este ejemplo. Place y Abramson (2008) usaron\(10\) serpientes, pero algunas de ellas nunca se habituaron; para simplificar este ejemplo, usaré datos de las\(6\) serpientes que sí se habituaron cada día:
| ID de serpiente | Día 1 | Día 2 | Día 3 | Día 4 |
|---|---|---|---|---|
| D1 | 85 | 58 | 15 | 57 |
| D3 | 107 | 51 | 30 | 12 |
| D5 | 61 | 60 | 68 | 36 |
| D8 | 22 | 41 | 63 | 21 |
| D11 | 40 | 45 | 28 | 10 |
| D12 | 65 | 27 | 3 | 16 |
La variable de medición es ensayos a habituación, y las dos variables nominales son día (\(1\)a\(4\)) e ID de serpiente. Este es un diseño de medidas repetidas, ya que la variable de medición se mide repetidamente en cada serpiente. Se analiza mediante un anova bidireccional sin replicación. El efecto de la serpiente no es significativo (\(F_{5,\: 15}=1.24,\; \; P=0.34\)), mientras que el efecto del día es significativo (\(F_{3,\: 15}=3.32,\; \; P=0.049\)).
Graficando los resultados
Algunas personas trazan los resultados de un anova bidireccional en una\(3-D\) gráfica, con la variable de medición en el\(Y\) eje, una variable nominal en el\(X\) eje y la otra variable nominal en el\(Z\) eje (entrando en el papel). Esto hace que sea difícil comparar visualmente las alturas de las barras en las filas delantera y trasera, por lo que no recomiendo esto. En cambio, te sugiero que trates un gráfico de barras con las barras agrupadas por una variable nominal, con la otra variable nominal identificada usando el color o patrón de las barras.
Si una de las variables nominales es la interesante, y la otra es solo un posible confusor, agruparía las barras por el posible confusor y usaría diferentes patrones para la variable interesante. Para los datos de anfípodos descritos anteriormente, me interesó ver si el fenotipo MPI afectaba la actividad enzimática, con alguna diferencia entre machos y hembras como un confuso molesto, por lo que agrupé las barras por sexo.
Pruebas similares
Un anova bidireccional sin replicación y solo dos valores para la variable nominal interesante pueden analizarse mediante una prueba t pareada. Los resultados de una\(t\) prueba pareada son matemáticamente idénticos a los de un anova bidireccional, pero la\(t\) prueba pareada es más fácil de hacer y es familiar para más personas. Los conjuntos de datos con una variable de medición y dos variables nominales, con una variable nominal anidada debajo de la otra, se analizan con un anova anidado.
Son posibles los anovas de tres vías y de orden superior, al igual que los anovas que combinan aspectos de un anova anidado y uno bidireccional o de orden superior. El número de términos de interacción aumenta rápidamente a medida que los diseños se complican, y la interpretación de cualquier interacción significativa puede ser bastante difícil. Es mejor, cuando sea posible, diseñar tus experimentos para que se controlen tantos factores como sea posible, en lugar de recolectar una mezcolanza de datos y esperar que un análisis estadístico sofisticado pueda darle algún sentido.
Cómo hacer la prueba
Hoja de Cálculo
No he elaborado una hoja de cálculo para hacer anovas bidireccionales.
Página web
Hay una página web para realizar un anova bidireccional con replicación, con hasta\(4\) grupos para cada efecto principal.
R
El\(R\) compañero de Salvatore Mangiafico tiene un programa R de muestra para anova bidireccional.
SAS
Utilice PROC GLM para un anova bidireccional. La instrucción CLASS enumera las dos variables nominales. La sentencia MODEL tiene la variable de medición, luego las dos variables nominales y su interacción después del signo igual. Aquí hay un ejemplo usando los datos de actividad de MPI descritos anteriormente:
DATA anfípodos;
INPUT id $ sexo $ genotipo $ actividad @@;
DATALINES;
1 macho ff 1.884 2 macho ff 2.283 3 macho fs 2.396 4 hembra ff 2.838
5 machos fs 2.956 6 hembra ff 4.216 7 hembra ss 3.620 8 hembra ff 2.889
9 hembra fs 3.550 10 macho fs 3.105 11 hembra fs 4.556 12 hembra fs 3.087
13 macho ff 4.939 14 macho ff 3.486 15 hembra ss 3.079 16 macho fs 2.649
17 hembra fs 1.943 19 hembra ff 4.198 20 hembra ff 2.473 22 hembra ff 2.033
24 hembra fs 2.200 25 hembra fs 2.157 26 macho ss 2.801 28 macho ss 3.421
29 hembra ff 1.811 30 hembra fs 4.281 32 hembra fs 4.772 34 hembra ss 3.586
36 hembra ff 3.944 38 hembra ss 2.669 39 hembra ss 3.050 41 macho ss 4.275
43 hembra ss 2 .963 46 hembra ss 3.236 48 hembra ss 3.673 49 macho ss 3.110
;
PROC GLM data=anfípodos;
CLASE sexo genotipo;
MODELO actividad=sexo genotipo sexo*genotipo;
RUN;
Los resultados indican que el término de interacción no es significativo (\(P=0.60\)), el efecto del genotipo no es significativo (\(P=0.84\)), y el efecto de la concentración sexual no significativo (\(P=0.77\)).
Fuente DF Tipo I SS Media Cuadrado F Valor Pr > F
sexo 1 0.06808050 0.06808050 0.09 0.7712
genotipo 2 0.27724017 0.13862008 0.18 0.8400
sex*genotipo 2 0.81464133 0.40732067 0.52 0.6025
Si está utilizando SAS para hacer un anova bidireccional sin replicación, no ponga un término de interacción en la declaración del modelo (sex*genotipo es el término de interacción en el ejemplo anterior).
Referencias
Place, A.J., y C.I. Abramson. 2008. Habituación de la respuesta de traqueteo en serpientes cascabeles occidentales, Crotalus atrox. Copeia 2008:835-843.
Shimoji, Y., y T. Miyatake. 2002. Adaptación a la cría artificial durante generaciones sucesivas en el gorgojo del camote de las Indias Occidentales, Euscepes postfasciatus (Coleoptera: Curuculionidae). Anales de la Sociedad Entomológica de América 95:735-739.