7.4: Factor de Corrección de Población Finita
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\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}\nonumber\]
y para la varianza de proporciones es:
\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\nonumber\]
Los siguientes ejemplos muestran cómo aplicar el factor. Las varianzas de muestreo se ajustan usando la fórmula anterior.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Se aprende que la población de pastores alemanes blancos en EEUU es de 4,000 perros y el peso medio para los pastores alemanes es de 75.45 libras. También se aprende que la desviación estándar poblacional es de 10.37 libras. Si el tamaño de la muestra es de 100 perros, entonces encuentra la probabilidad de que una muestra tenga una media que difiera de la verdadera probabilidad media en menos de 2 libras.
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Solución 7.1
\(N=4000, \quad n=100, \quad \sigma=10.37, \quad \mu=75.45, \quad(\overline{x}-\mu)=\pm 2\)
\[Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{ \pm 2}{\frac{10.37}{\sqrt{100}} \cdot \sqrt{\frac{4000-100}{4000-1}}}=\pm 1.95\nonumber\]
\[f(Z)=0.4744 \cdot 2=0.9488\nonumber\]
Tenga en cuenta que “difiere por menos” hace referencia al área en ambos lados de la media dentro de 2 libras derecha o izquierda.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Cuando un cliente realiza un pedido con Rudy's On-Line Office Supplies, un sistema informatizado de información contable (AIS) verifica automáticamente si el cliente ha excedido su límite de crédito. Los registros anteriores indican que la probabilidad de que los clientes superen su límite de crédito es de .06.
Supongamos que en un día dado, se hacen 3 mil pedidos en total. Si seleccionamos al azar 360 pedidos, ¿cuál es la probabilidad de que entre 10 y 20 clientes superen su límite de crédito?
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Solución 7.2
\(N=3000, \quad n=360, \quad p=0.06\)
\[\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \times \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\frac{0.06(1-0.06)}{360}} \times \sqrt{\frac{3000-360}{3000-1}}=0.0117\nonumber\]
\[p_{1}=\frac{10}{360}=0.0278, \quad p_{2}=\frac{20}{360}=0.0556\nonumber\]
\[Z=\frac{p^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \cdot \sqrt{\frac{N-n}{N-1}}}=\frac{0.0278-0.06}{0.011744}=-2.74\nonumber\]
\[p\left(\frac{0.0278-0.06}{0.011744}
<\frac{0.0556-0.06}{0.011744}\right)\]