12.5: Ansiedad y Depresión

A menudo se informa que la ansiedad y la depresión están altamente vinculadas (o “comórbidas”). Nuestro procedimiento de prueba de hipótesis sigue el mismo proceso de cuatro pasos que antes, comenzando con nuestras hipótesis nulas y alternativas. Buscaremos una relación positiva entre nuestras variables entre un grupo de 10 personas porque eso es lo que esperaríamos en base a que sean comórbidas.

Paso 1: Indicar las Hipótesis

Nuestras hipótesis para correlaciones comienzan con un supuesto basal de no relación, y nuestra alternativa será direccional si esperamos encontrar un tipo específico de relación. Para este ejemplo, esperamos una relación positiva:

\[\begin{array}{c}{\mathrm{H}_{0}: \text { There is no relation between anxiety and depression}} \\ {\mathrm{H}_{0}: \rho=0}\end{array} \nonumber \]

\[\begin{array}{c}{\mathrm{H}_{\mathrm{A}}: \text {There is a positive relation between anxiety and depression}} \\ {\mathrm{H}_{0}: \rho>0}\end{array} \nonumber \]

Recuerde que\(ρ\) (“rho”) es nuestro parámetro poblacional para la correlación con la que estimamos\(r\), al igual que\(\overline{X}\) y\(μ\) para las medias. Recuerde también que si no hay relación entre variables, la magnitud será 0, que es donde obtenemos los valores de hipótesis nulos y alternativos.

Paso 2: Encuentra los Valores Críticos

Los valores críticos para las correlaciones provienen de la tabla de correlación, que se ve muy similar a la\(t\) tabla -( ver Figura\(\PageIndex{1}\)). Al igual que nuestra\(t\) -tabla, la columna de valores críticos se basa en nuestro nivel de significancia (\(α\)) y la direccionalidad de nuestra prueba. La fila está determinada por nuestros grados de libertad. Para las correlaciones, tenemos\(N – 2\) grados de libertad, más que\(N – 1\) (por qué este es el caso no es importante). Para nuestro ejemplo, tenemos 10 personas, por lo que nuestros grados de libertad = 10 — 2 = 8.

Figura\(\PageIndex{1}\): Tabla de correlación

No se nos dio ninguna información sobre el nivel de significancia en el que deberíamos probar nuestra hipótesis, por lo que asumiremos\(α = 0.05\) como siempre. De nuestra tabla, podemos ver que una prueba de 1 cola (porque solo esperamos una relación positiva) al\(α = 0.05\) nivel tiene un valor crítico de\(r^* = 0.549\). Así, si nuestra correlación observada es mayor a 0.549, será estadísticamente significativa. Esta es una barra bastante alta (recuerden, la pauta para una relación fuerte es\(r\) = 0.50); esto se debe a que tenemos muy poca gente. Muestras más grandes facilitan la búsqueda de relaciones significativas.

Paso 3: Calcular el estadístico de prueba

Hemos establecido nuestras hipótesis y los criterios que usaremos para evaluarlas, por lo que ahora podemos pasar a nuestra estadística de prueba. Antes de hacer eso, primero debemos crear una gráfica de dispersión de los datos para asegurarnos de que la forma más probable de nuestra relación es, de hecho, lineal. La\(\PageIndex{2}\) siguiente figura muestra nuestros datos trazados, y parece que, de hecho, están relacionados linealmente, por lo que los de Pearson son\(r\) son apropiados.

Figura\(\PageIndex{2}\): Gráfica de dispersión de ansiedad y depresión

Los datos que recabamos de nuestros participantes son los siguientes:

Tabla\(\PageIndex{1}\): Datos de los participantes

Dep	2.81	1.96	3.43	3.40	4.71	1.80	4.27	3.68	2.44	3.13
Anx	3.54	3.05	3.81	3.43	4.03	3.59	4.17	3.46	3.19	4.12

Tendremos que poner estos valores en nuestra tabla Suma de Productos para calcular la desviación estándar y la covarianza de nuestras variables. Usaremos\(X\) para la depresión y\(Y\) para la ansiedad para hacer un seguimiento de nuestros datos, pero ten en cuenta que esta elección es arbitraria y las matemáticas funcionarán igual si decidimos hacer lo contrario. Nuestra mesa es así:

Tabla\(\PageIndex{2}\): Tabla Suma de Productos

\(X\)	\((X-\overline{X})\)	\((X-\overline{X})^2\)	\(Y\)	\((Y-\overline{Y})\)	\((Y-\overline{Y})^2\)	\((X-\overline{X})(Y-\overline{Y})\)
\ (X\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204); border-bottom-style:dashed; border-bottom-width:1px; frontera -image-outset:0; border-image-repetir:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-fuente:ninguno; border-image-ancho:1; border-izquierda-color:rgb (204, 204); border-izquierda-estilo:discontinua; border-izquierda-ancho:1px; border-derecho-color:rgb (204, 204); border-derecho-estilo:dashed; border-derecha-ancho:1px; border-top-top-color:rgb (204, 204 , 204); border-top-style:dashed; border-top-width:1px; box-sizing:border-box; overflow-wrap:break-word; padding-bottom:1em; padding-izquierda:1em; padding-derecha:1em; padding-top:1em; text-align:center; vertical-align:middle; ">2.81	\ ((X-\ overline {X})\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; 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border-bottom-color:rgb (204, 204); border-bottom-style:dashed; frontera-abajo- ancho:1px; border-image-outset:0; border-image-repetir:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-fuente:ninguno; border-image-ancho:1; border-izquierda-color:rgb (204, 204); border-izquierda-estilo:discontinua; border-izquierda-ancho:1px; border-derecho-color:rgb (204, 204); border-derecho-estilo:dashed; border-derecho-ancho:rgb (204, 204); border-derecho-estilo:dashed; border-derecho-width::1px; frontera-superior color:rgb (204, 204); border-top-style:dashed; border-top-width:1px; box-sizing:border-box; desbordamiento-envoltura:break-word; padding-bottom:1em; padding-izquierda:1em; padding-derecha:1em; padding-top:1em; text-align:center; vertical-align:middle; ">-0.10	\ ((Y-\ overline {Y}) ^2\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; 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estilo de borde inferior:discontinua ; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repetir:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204); border-left-style:dashed; border-izquierda-ancho:1px; border-derecho-color:rgb (204, 204); border-derecho-estilo:dashed; frontera-ancho derecho:1 px; border-top-color:rgb (204, 204); border-top-style:dashed; border-top-width:1px; box-sizing:border-box; desbordamiento-envoltura:break-word; padding-bottom:1em; padding-izquierda:1em; padding-derecha:1em; padding-top:1em; text-align:center; vertical-align:middle; ">0.04
\ (X\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; background-color:rgb (239, 239); background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204); border-bottom-style:rgb (204, 204); border-bottom--style: discontinua; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repetir:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-fuente:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204); border-left-style:dashed; border-izquierda-ancho:1px; border-derecha-color:rgb (204, 204); border-derecha-estilo:dashed ed; frontera-derecha ancho:1px; border-top-color:rgb (204, 204); border-top-style:dashed; border-top-width:1px; box-sizing:border-box; desbordamiento-envoltura:break-word; padding-bottom:1em; padding-izquierda:1em; padding-derecha:1em; padding-top:1em; text-align:center; vertical-align:middle; ">1.96	\ ((X-\ overline {X})\)” style="background-attachment:scroll; 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\ (X\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204); border-bottom-style:dashed; border-bottom-width:1px; frontera -image-outset:0; border-image-repetir:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-fuente:ninguno; border-image-ancho:1; border-izquierda-color:rgb (204, 204); border-izquierda-estilo:discontinua; border-izquierda-ancho:1px; border-derecho-color:rgb (204, 204); border-derecho-estilo:dashed; border-derecha-ancho:1px; border-top-top-color:rgb (204, 204 , 204); border-top-style:dashed; border-top-width:1px; box-sizing:border-box; overflow-wrap:break-word; padding-bottom:1em; padding-izquierda:1em; padding-derecha:1em; padding-top:1em; text-align:center; vertical-align:middle; ">3.43	\ ((X-\ overline {X})\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; 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\ (X\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; background-color:rgb (239, 239); background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204); border-bottom-style:rgb (204, 204); border-bottom--style: discontinua; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repetir:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-fuente:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204); border-left-style:dashed; border-izquierda-ancho:1px; border-derecha-color:rgb (204, 204); border-derecha-estilo:dashed ed; frontera-derecha ancho:1px; border-top-color:rgb (204, 204); border-top-style:dashed; border-top-width:1px; box-sizing:border-box; desbordamiento-envoltura:break-word; padding-bottom:1em; padding-izquierda:1em; padding-derecha:1em; padding-top:1em; text-align:center; vertical-align:middle; ">3.13	\ ((X-\ overline {X})\)” style="background-attachment:scroll; 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\ (X\)” style="background-attachment:scroll; background-clip:border-box; background-color:rgb (239, 239); background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204); border-bottom-style:rgb (204, 204); border-bottom--style: discontinua; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repetir:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-fuente:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204); border-left-style:dashed; border-izquierda-ancho:1px; border-derecha-color:rgb (204, 204); border-derecha-estilo:dashed ed; frontera-derecha ancho:1px; border-top-color:rgb (204, 204); border-top-style:dashed; border-top-width:1px; box-sizing:border-box; desbordamiento-envoltura:break-word; padding-bottom:1em; padding-izquierda:1em; padding-derecha:1em; padding-top:1em; text-align:center; vertical-align:middle; ">31.63	\ ((X-\ overline {X})\)” style="background-attachment:scroll; 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La fila inferior es la suma de cada columna. De esto podemos ver que la suma de las\(X\) observaciones es 31.63, lo que hace la media de la\(X\) variable\(\overline{X}=3.16\). La desviación puntúa para\(X\) suma a 0.03, que está muy cerca de 0, dado error de redondeo, por lo que todo parece correcto hasta el momento. La siguiente columna son las desviaciones cuadradas para\(X\), así podemos ver que la suma de cuadrados para\(X\) es\(SS_X = 7.97\). Lo mismo ocurre con las\(Y\) columnas, con un promedio de\(\overline{Y} = 3.64\), desviaciones que suman a cero dentro del error de redondeo, y una suma de cuadrados como\(SS_Y = 1.33\). La columna final es producto de nuestras puntuaciones de desviación (NO de nuestras desviaciones cuadradas), lo que nos da una suma de productos de\(SP = 2.22\).

Ahora hay tres piezas de información que necesitamos calcular antes de calcular nuestro coeficiente de correlación: la covarianza de\(X\) y\(Y\) y la desviación estándar de cada uno.

La covarianza de dos variables, recuerde, es la suma de productos dividida por\(N – 1\). Para nuestros datos:

\[\operatorname{cov}_{X Y}=\dfrac{S P}{N-1}=\dfrac{2.22}{9}=0.25 \nonumber \]

La fórmula para la desviación estándar es la misma que antes. Usando subíndices\(X\) y\(Y\) para denotar depresión y ansiedad:

\[s_{X}=\sqrt{\dfrac{\sum(X-\overline{X})^{2}}{N-1}}=\sqrt{\dfrac{7.97}{9}}=0.94 \nonumber \]

\[s_{Y}=\sqrt{\dfrac{\sum(Y-\overline{Y})^{2}}{N-1}}=\sqrt{\dfrac{1.33}{9}}=0.38 \nonumber \]

Ahora tenemos toda la información que necesitamos para calcular\(r\):

\[r=\dfrac{\operatorname{cov}_{X Y}}{s_{X} S_{Y}}=\dfrac{0.25}{0.94 * 0.38}=0.70 \nonumber \]

Podemos verificar esto usando nuestra otra fórmula, que es computacionalmente más corta:

\[r=\dfrac{S P}{\sqrt{S S X * S S Y}}=\dfrac{2.22}{\sqrt{7.97 * 1.33}}=.70 \nonumber \]

Por lo que es nuestra correlación observada entre ansiedad y depresión\(r = 0.70\), la cual, basada en el signo y la magnitud, es una correlación fuerte y positiva. Ahora necesitamos compararlo con nuestro valor crítico para ver si también es estadísticamente significativo.

Paso 4: Tomar una decisión

Nuestro valor crítico fue\(r^* = 0.549\) y nuestro valor obtenido fue\(r = 0.70\). Nuestro valor obtenido fue mayor que nuestro valor crítico, por lo que podemos rechazar la hipótesis nula.

Rechazar\(H_0\). Con base en nuestra muestra de 10 personas, existe una relación estadísticamente significativa, fuerte, positiva entre ansiedad y depresión,\(r(8) = 0.70, p < .05\).

Observe en nuestra interpretación que, debido a que ya conocemos la magnitud y dirección de nuestra correlación, podemos interpretar eso. También reportamos los grados de libertad, al igual que con\(t\), y lo sabemos\(p < α\) porque rechazamos la hipótesis nula. Como podemos ver, a pesar de que estamos tratando con un tipo de datos muy diferente, nuestro proceso de prueba de hipótesis se ha mantenido sin cambios.