Representar una desigualdad como un intervalo en una línea numérica

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 149510

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Resultados de aprendizaje

Gráfica y desigualdad en una recta numérica.
Grafique el complemento en una recta numérica para variables continuas y discretas.

Las desigualdades aparecen frecuentemente en las estadísticas y a menudo es útil trazar la desigualdad en la recta numérica para visualizar la desigualdad. Esto ayuda tanto para las desigualdades que involucran números reales como para las desigualdades que se refieren solo a valores enteros. Como extensión de esta idea, muchas veces queremos mirar el complemento de una desigualdad, es decir todos los números que hacen falsa la desigualdad. En esta sección veremos ejemplos que logran esta tarea.

Dibujar una Desigualdad en una recta numérica donde los valores posibles son números reales.

Hay cuatro desigualdades diferentes:\(<,\:\le,\:>,\:\ge\). Lo que hace que esto sea lo más desafiante es cuando se expresan con palabras. Estas son algunas de las palabras que se utilizan para cada una:

\(<\): “Menos que”, “Menor”, “Menor”, “Menor”, “Joven”
\(\le\): “Menos que o igual a”, “A lo sumo”, “No más que”, “No exceder”
\(>\): “Mayor que”, “Más grande”, “Mayor”, “Más grande”, “Mayor”, “Más que”
\(\ge\): “Mayor o igual a”, “Al menos”, “No Menos que”

Estas son las palabras más comunes que corresponden a las desigualdades, pero hay otras que aparecen con menos frecuencia.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Graficar la desigualdad:\(3<x\le5\) en una recta numérica

Solución

Primero note que el intervalo no incluye el número 3, pero sí incluye el número 5. Podemos representar no incluir un número con un círculo abierto e incluyendo un número con un círculo cerrado. A continuación se muestra la representación numérica de la desigualdad.

línea numérica de 3 con círculo abierto a 5 con círculo cerrado

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

En estadística, a menudo queremos encontrar probabilidades de que un evento sea al menos tan grande o no mayor que un valor dado. Ayuda a trazar primero el intervalo en una recta numérica. Supongamos que quieres encontrar la probabilidad de que tengas que esperar en la fila por lo menos 4 minutos. Dibuje esta desigualdad en una recta numérica.

Solución

Primero, fíjese que “Al menos” tiene el símbolo\(\ge\). Así, tenemos un círculo cerrado en el número 4. No hay límite superior, por lo que dibujamos una flecha larga de 4 a la derecha de 4. La solución se muestra a continuación

Línea numérica con círculo cerrado en 4 y una flecha a la derecha.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Otro tema principal que surge en las estadísticas son los intervalos de confianza. Por ejemplo en encuesta reciente para ver el porcentaje de estadounidenses que piensan que el Congreso está haciendo un buen trabajo encontraron que un intervalo de confianza del 95% tenía límite inferior de 0.18 y un límite superior de 0.24. Esto se puede escribir como [0.18,0,24]. Esboce este intervalo en la recta numérica.

Solución

Lo primero que tenemos que hacer es decidir sobre las marcas para poner en la recta numérica. Si contáramos por 1's, entonces el intervalo de interés sería demasiado pequeño para destacar. En su lugar, contaremos por 0.1's. La línea numérica se muestra a continuación.

Línea numérica marcada de 0.18 a 0.24

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

A menudo en estadística, tratamos variables discretas. La mayoría de las veces esto significará que solo pueden ocurrir valores de números enteros. Por ejemplo, quieres averiguar la probabilidad de que un estudiante universitario esté tomando como máximo tres clases. Grafique esto en una recta numérica.

Solución

Primero tenga en cuenta que los resultados sólo pueden ser números enteros. Segundo, señalar que “a lo sumo” significa\(\le\). Así, los posibles resultados son: 0, 1, 2 y 3. La línea numérica a continuación muestra estos resultados.

línea numérica con 0, 1, 2 y 3 trazados.

Graficando el Complemento

En estadística, muchas veces queremos graficar el complemento de un intervalo. El complemento significa todo lo que no está en el intervalo.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Graficar el complemento del intervalo [2,4).

Solución

Observe que el complemento de números dentro del intervalo entre 2 y 4 son los números fuera de ese intervalo. Este consistirá en los números a la izquierda de 2 y a la derecha de 4. Dado que el número 2 está incluido en el intervalo original, no se incluirá en el complemento. Dado que el número 4 no está incluido en el intervalo original, se incluirá en el complemento. El complemento se muestra en la línea numérica a continuación.

Intervalo de línea -infinito a 2] y (4 a infinito

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Algunas calculadoras solo pueden encontrar probabilidades para valores menores que un cierto número. Si queremos la probabilidad de un intervalo mayor que un número, necesitamos usar el complemento. Supongamos que se quiere encontrar la probabilidad de que una persona haya viajado a más de dos países extranjeros en los últimos doce meses. Encuentra el complemento de esto y gráficalo en una recta numérica.

Solución

Primero nota que solo son posibles números enteros ya que no tiene sentido ir a un número fraccional de países. Segunda nota que el número más bajo que es más de 2 es 3. Si se incluye 3 en la lista original, entonces 3 no se incluirán en el complemento. Así, el número más alto que está en el complemento de “más de 2" es 2. La línea numérica a continuación muestra el complemento de más de 2.

línea numérica con puntos marcados 0, 1 y 2.

Ejercicio

Supongamos que desea encontrar la probabilidad de que al menos 4 personas de su clase tengan un apellido que contenga la letra “W”. Para hacer este cálculo necesitarás primero encontrar el complemento de “al menos 4". Esboce este complemento en la recta numérica.