Saltar al contenido principal

# 6.3: Función de distribución de probabilidad (PDF) para variables aleatorias discretas

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Todas las variables aleatorias tienen el valor asignado de acuerdo con un modelo de probabilidad. Para las variables discretas, esta asignación de probabilidades a cada valor posible de la variable aleatoria se denomina función de distribución de probabilidad, o PDF para abreviar.

Esta función de distribución de probabilidad se escribe como$$P(X=x)$$ o$$P(x)$$ para abreviar. Este PDF se puede leer como “La probabilidad de que la variable aleatoria$$X$$ sea igual al valor”$$x$$.

$$P(X < x)$$significa que la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea menor que$$x$$.

$$P(X \leq x)$$significa la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea como máximo$$x$$.

$$P(X > x)$$significa que la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea mayor que$$x$$.

$$P(X \geq x)$$significa la probabilidad de que el valor de la variable aleatoria sea al menos$$x$$.

Como cualquier función en Matemáticas, una función de distribución de probabilidad puede definirse mediante una descripción, una tabla, una gráfica o una fórmula. El método general de asignación de probabilidades a valores sigue este procedimiento.

Procedimiento para crear una función de distribución de probabilidad discreta

1. Definir la variable aleatoria$$X$$
2. Enumere todos los valores posibles
3. Asignar probabilidades a cada valor. Se pueden utilizar métodos de conteo o frecuencias relativas.
4. Esta asignación debe seguir estas dos reglas:$$P(x) \geq 0$$ y$$\sum P(x)=1$$

Ejemplo: Voltear dos monedas

Se voltean dos monedas y se cuenta el número de cabezas.

$$X$$= el número de cabezas cuando se voltean dos monedas

Valores Posibles = {0, 1, 2}

Aquí hay 5 posibles funciones de distribución de probabilidad:

A B C D E
\ (x\)$$x$$$$x$$ 1$$x$$$$x$$ "class="lt-stats-20889">
$$x$$ $$P(x)$$
\ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1/3
\ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1/3
\ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1/3
\ (P (x)\)$$P(x)$$$$P(x)$$$$P(x)$$$$P(x)$$ "class="lt-stats-20889">
$$x$$ $$P(x)$$
\ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.25
\ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.50
\ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.25
$$x$$ $$P(x)$$
\ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0
\ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0
\ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">1
1$$x$$ $$P(x)$$
\ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.3
\ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.3
\ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.3
$$x$$ $$P(x)$$
\ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.6
\ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">-0.1
\ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.5

Los modelos A, B y C son válidos porque cada asignación de probabilidad no es negativa y todas las probabilidades son totales a 1.

El modelo B es el modelo correcto para voltear monedas justas ya que hay dos formas de obtener una cabeza.

El modelo C (una moneda que solo sube de cabeza) es válido ya que se permite la probabilidad cero.

El modelo D no es válido ya que las probabilidades no suman a 1.

El modelo E no es válido porque no se permiten probabilidades negativas.

Ejemplo: Prueba de opción múltiple

A los estudiantes se les da un examen de opción múltiple con 4 preguntas.

La variable aleatoria X = el número de respuestas correctas. Valores posibles = {0, 1, 2, 3, 4}

De datos anteriores, el 10% de los estudiantes obtienen cero respuestas correctas, el 10% obtiene exactamente una respuesta correcta, el 20% obtiene dos correctas y el 40% obtiene tres correctas. Dado que las probabilidades deben sumar a 1, se puede determinar que el 20% de los estudiantes obtuvo todo correcto, y el PDF se puede terminar.

$$x$$ $$P(x)$$
\ (x\)” class="lt-estados-20889">0 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.1
\ (x\)” class="lt-estados-20889">1 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.1
\ (x\)” class="lt-estados-20889">2 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.2
\ (x\)” class="lt-estados-20889">3 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.. 4
\ (x\)” class="lt-estados-20889">4 \ (P (x)\)” class="lt-stats-20889">0.2

Solución

Podemos usar la tabla para responder a cualquier tipo de pregunta de probabilidad:

La probabilidad de exactamente 2 preguntas correctas:$$P(X =2) = P(2) = 0.2$$

La probabilidad de que menos de 2 preguntas corrijan:$$P(X < 2) = P(0) + P(1) = 0.1 + 0.1 = 0.2$$

La probabilidad de que más de 2 preguntas corrijan:$$P(X > 2) = P(3) + P(4) = 0.4 + 0.2 = 0.6$$

La probabilidad de que al menos 2 preguntas corrijan:$$P(X \geq 2) = P(2) + P(3) + P(4) = 0.2 + 0.4 + 0.2 = 0.8$$

La probabilidad de que como máximo 2 preguntas corrijan:$$P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.1 + 0.1 + 0.2 = 0.4$$

La probabilidad de al menos 1 pregunta correcta:$$P(X >1) = 1 – P(0) = 1 – 0.1 = 0.9$$

El último ejemplo se hizo usando la Regla de Complemento. El complemento de “al menos una respuesta correcta” es “cero respuestas correctas”.

This page titled 6.3: Función de distribución de probabilidad (PDF) para variables aleatorias discretas is shared under a CC BY-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Maurice A. Geraghty via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.