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# 11.5: Comparando Dos Proporciones

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En el Capítulo 10, cubrimos la prueba para comparar una proporción con un valor hipotético. En esta sección queremos explorar una prueba para comparar dos proporciones poblacionales.

Al igual que los medios de prueba, la hipótesis nula habitual será que las proporciones sean las mismas. Normalmente denotaremos cada una de las dos proporciones con un subíndice, digamos 1 y 2. Aquí hay algunas hipótesis posibles de dos colas y una cola:

\ (\ begin {array} {lll}
h_o: p_ {1} =p_ {2} & h_o: p_ {1}\ geq p_ {2} & h_o: p_ {1}\ leq p_ {2}\\
h_a: p_ {1}\ neq p_ {2} & H_a: p_ {1 p_ <p_ {2} & H_a: p_ {1} > {2}\
end {array}\)

Observe que la Hipótesis Null se puede escribir como $$H_o: p_{1}-p_{2}=0$$, es decir, queremos ver la distribución de la diferencia de proporciones muestrales como una variable aleatoria.

## Distribución de la diferencia de proporciones de la muestra

Supongamos que tomamos una muestra$$n_1$$ de la población 1 y$$n_2$$ de la población 2. $$X_1$$Sea el número de éxitos en la muestra 1 y$$X_2$$ sea el número de éxitos en la muestra 2.

$$\hat{p}_{1}=\dfrac{X_{1}}{n_{1}}$$representa la proporción de éxitos en la muestra 1

$$\hat{p}_{2}=\dfrac{X_{2}}{n_{2}}$$representa la proporción de éxitos en la muestra 2

Siempre y cuando haya al menos 10 éxitos y 10 fracasos en cada muestra, entonces la diferencia de proporciones muestrales$$\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}$$ tendrá una Distribución Normal.

##### Teorema de Límite Central para la diferencia de proporciones$$\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}$$
1. $$\mu_{\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}}=p_{1}-p_{2}$$
2. $$\sigma_{\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}}=\sqrt{\dfrac{p_{1}\left(1-p_{1}\right)}{n_{1}}+\dfrac{p_{2}\left(1-p_{2}\right)}{n_{2}}}$$
3. Si todos$$n 1 p 1, n 1(1-p 1), n 2 p 2, n 2(1-p 2)$$ son al menos 10, entonces la Distribución de Probabilidad de$$\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}$$ es aproximadamente Normal.

Combinando todo lo anterior en una sola fórmula:

$Z=\dfrac{\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)-\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\sqrt{\frac{p_{1}\left(1-p_{1}\right)}{n_{1}}+\frac{p_{2}\left(1-p_{2}\right)}{n_{2}}}} \nonumber$

Ejemplo: Mano izquierda por género

12% de los norteamericanos afirman ser zurdos. En cuanto al género, los hombres son ligeramente más propensos que las mujeres a ser zurdos, siendo la mayoría de los estudios que indican que alrededor del 13% de los hombres y alrededor del 11% de las mujeres son zurdos 82.

$$p_m$$= 0.13 = proporción de hombres zurdos

$$p_w$$= 0.11 = proporción de mujeres zurdas

$$p_m ‐ p_w$$= diferencia en la proporción de hombres y mujeres zurdos

Solución

Supongamos que tomamos una muestra de 100 hombres y 150 mujeres. Investiguemos la variable aleatoria$$\hat{p}_{m}-\hat{p}_{w}$$

100 (0.13) = 13 100 (1-0.13) = 87

150 (0.11) = 16.5 150 (1-0.11) = 133.5

Dado que todos los valores son mayores a 10,$$\hat{p}_{m}-\hat{p}_{w}$$ tiene aproximadamente una distribución normal.

$$\mu_{\hat{p}_{m}-\hat{p}_{w}}=0.13-0.11=0.02$$

$$\sigma_{\hat{p}_{m}-\hat{p}_{w}}=\sqrt{\dfrac{0.13(1-0.13)}{100}+\dfrac{0.11(1-0.11)}{150}}=0.0422$$

## Prueba de hipótesis para diferencia de proporciones

Al realizar una prueba de Hipótesis donde la hipótesis Nulo asume proporciones iguales, es mejor práctica juntar o combinar las proporciones de la muestra en una sola proporción estimada$$\bar{p}$$, y usar un error estándar estimado,$$S_{\hat{p}_{m}-\hat{p}_{w}}$$:

$$\bar{p}=\dfrac{X_{1}+X_{2}}{n_{1}+n_{2}}$$

$$s_{\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}}=\sqrt{\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{1}}+\dfrac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{2}}}$$

El estadístico de prueba tendrá una Distribución Normal siempre y cuando haya al menos 10 éxitos y 10 fallas en ambas muestras.

$$Z=\dfrac{\left(\hat{p}_{1}-\hat{p}_{2}\right)-\left(p_{1}-p_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{1}}+\frac{\bar{p}(1-\bar{p})}{n_{2}}}}$$

Ejemplo: Verificaciones de antecedentes en exhibiciones de armas

Bajo la ley vigente de los Estados Unidos, las ventas privadas entre propietarios están exentas de los requisitos de verificación de antecedentes. Esto a veces se le llama “Gun Show Loophole” ya que puede permitir que delincuentes, terroristas y enfermos mentales compren armas de asalto, como las utilizadas en tiroteos masivos. 83

En un estudio de agosto de 2016, Pew Research analizó las opiniones de los estadounidenses sobre las leyes y los derechos de armas. 84 Pew tomó una muestra representativa de 990 hombres y 1020 mujeres y les hizo varias preguntas. En particular, preguntaron a los estadounidenses muestreados si las verificaciones de antecedentes requeridas en las tiendas de armas deberían hacerse universales y extenderse a todas las ventas de armas entre propietarios privados o en exhibiciones de armas. 772 de 990 hombres dijeron que sí, mientras que 857 de 1020 mujeres dijeron que sí.

¿Hay alguna diferencia en la proporción de hombres y mujeres que apoyan la verificación universal de antecedentes para la compra de armas? Diseñar y realizar la prueba con un nivel de significancia del 1%.

Solución

Diseño

$$H_{o}: p_{m}=p_{w}$$(No hay diferencia en la proporción de apoyo para la verificación de antecedentes por género)

$$H_{a}: p_{m} \neq p_{w}$$(Existe una diferencia en la proporción de apoyo para la verificación de antecedentes por género)

Modelo:$$Z$$ Prueba de dos proporciones. Esta es una prueba de dos colas con$$\alpha$$ = 0.01.

Supuestos modelo: para los hombres hay 772 sí y 218 no. Para las mujeres hay 857 sí y 163 no. Dado que todos estos números superan los 10, el modelo es apropiado.

Reglas de decisión:

Método de Valor Crítico ‐ Rechazar$$H_o$$ si$$Z$$ > 2.58 o$$Z$$ < ‐2.58.

$$P$$‐método de valor ‐ Rechazar$$H_o$$ si$$p$$ ‐valor <0.01

$$\hat{p}_{m}=\dfrac{772}{990}=0.780 \qquad \hat{p}_{w}=\dfrac{857}{1020}=0.840 \qquad \bar{p}=\dfrac{772+857}{990+1020}=0.810$$
$$Z=\dfrac{(0.780-0.840)-0}{\sqrt{\frac{0.810(1-0.810)}{990}+\frac{0.810(1-0.810)}{1020}}}=-3.45 \mathrm{p} \text {-value }=0.0005<\alpha$$
Rechazar$$H_o$$ bajo ambos métodos