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1.13: Logaritmos

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Objetivos de aprendizaje

• Compute los registros usando diferentes bases
• Realizar operaciones aritméticas básicas usando registros
• Indicar la relación entre los registros y el cambio proporcional

La transformación logarítmica reduce el sesgo positivo. Esto puede ser valioso tanto para hacer que los datos sean más interpretables como para ayudar a cumplir con los supuestos de las estadísticas inferenciales.

Conceptos básicos de logaritmos (Logaritmos)

Los registros son, en cierto sentido, lo contrario de los exponentes. Considera la siguiente expresión simple:

$10^2 = 100$

Aquí podemos decir que la base de$$10$$ se eleva a la segunda potencia. Aquí hay un ejemplo de un registro:

$\log_{10}(100) = 2$

Esto se puede leer como: La base logarítmica diez de$$100$$ iguales$$2$$. El resultado es el poder al que se$$10$$ tiene que elevar la base para igualar el valor ($$100$$). Del mismo modo,

$\log_{10}(1000) = 3$

ya que$$10$$ tiene que elevarse al tercer poder para igualar$$1,000$$.

Todos estos ejemplos usaban base$$10$$, pero se podría haber utilizado cualquier base. Hay una base que da como resultado “logaritmos naturales” y que se llama$$e$$ e iguala aproximadamente$$2.718$$. Aquí está más allá del alcance explicar lo que es “natural” al respecto. Los logaritmos naturales pueden indicarse ya sea como:$$\ln (x)\; or\; \log_e(x)$$.

Al cambiar la base del registro se cambia el resultado por una constante multiplicativa. Para convertir de$$\log _{10}$$ a troncos naturales, se multiplica por$$2.303$$. Análogamente, para convertir en la otra dirección, se divide por$$2.303$$.

$\ln X =2.303 \log_{10} X$

Tomando el$$\text{antilog}$$ de un número deshace la operación de tomar el$$\log$$. Por lo tanto$$\log_{10}(1000) = 3$$, ya que, el$$antilog_{10}$$ de$$3$$ es$$10^3 = 1,000$$. Tomando el$$\text{antilog}$$ de un número simplemente eleva la base del logaritmo en cuestión a ese número.

Registros y Cambio Proporcional

Una serie de números que aumentan proporcionalmente aumentarán en cantidades iguales cuando se conviertan en logs. Por ejemplo, los números en la primera columna de Tabla$$\PageIndex{1}$$
aumentan en un factor de$$1.5$$ para que cada fila sea$$1.5$$ veces tan alta como la fila anterior. Los números$$\log_{10}$$ transformados aumentan en pasos iguales de$$0.176$$.

Tabla$$\PageIndex{1}$$: Los cambios brutos proporcionales son iguales en unidades logarí
Crudo Log
4.0 0.602
6.0 0.778
9.0 0.954
13.5 1.130

Como otro ejemplo, si un estudiante incrementó su puntaje de$$100$$ a$$200$$ mientras que un segundo estudiante aumentó el suyo de$$150$$ a$$300$$, el cambio porcentual ($$100\%$$) es el mismo para ambos estudiantes. La diferencia logarítmica también es la misma, como se muestra a continuación.

$Log_{10}(100) = 2.000\\ \log_{10}(200) = 2.301\\ Difference: 0.301\\ \; \\ \log_{10}(150) = 2.176\\ \log_{10}(300) = 2.477\\ Difference: 0.301$

Operaciones Aritméticas

A continuación se muestran las reglas para los registros de productos y cocientes.

$\log(AB) = \log(A) + \log(B)$

$\log\left(\dfrac{A}{B}\right) = \log(A) - \log(B)$

Por ejemplo,

$\log_{10}(10 \times 100) = \log_{10}(10) + \log_{10}(100) = 1 + 2 = 3.$

Del mismo modo,

$\log_{10}\left(\dfrac{100}{10}\right) = \log_{10}(100) - \log_{10}(10) = 2 - 1 = 1.$