4.2: La densidad espectral y el periodograma

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El resultado técnico fundamental que se encuentra en el núcleo del análisis espectral establece que cualquier serie temporal (débilmente) estacionaria puede verse (aproximadamente) como una superposición aleatoria de funciones sinusoidales y cosenales que varían a diversas frecuencias. En otras palabras, la regresión en (4.1.1) es aproximadamente cierta para todas las series de tiempo débilmente estacionarias. En los Capítulos 1-3, se muestra cómo se pueden describir las características de un proceso estocástico estacionario en términos de su ACVF$\gamma(h)$. El primer objetivo en esta sección es introducir la cantidad correspondiente$\gamma(h)$ en el dominio de la frecuencia.

Definición 4.2.1 (Densidad espectral)

Si el ACVF$\gamma(h)$ de una serie temporal estacionaria (X _t) _{t\ in\ mathbb {Z}\ nonumber\]} satisface la condición

\[\sum_{h=-\infty}^\infty|\gamma(h)|<\infty, \nonumber \]

entonces existe una función f definida en (-1/2,1/2] tal que

\[ \gamma(h)=\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega h)f(\omega)d\omega,\qquad h\in\mathbb{Z}, \nonumber \]

\[ f(\omega)=\sum_{h=-\infty}^\infty\gamma(h)\exp(-2\pi i\omega h),\qquad\omega\in(-1/2,1/2]. \nonumber \]

La función f se llama la densidad espectral del proceso$X_t\colon t\in\mathbb{Z})$.

La definición 4.2.1 (que contiene también una parte de teorema) establece que cada proceso débilmente estacionario puede describirse de manera equivalente en términos de su ACVF o su densidad espectral. También proporciona las fórmulas para computar una de la otra. En consecuencia, el análisis de series de tiempo se puede realizar ya sea en el dominio del tiempo (usando$\gamma(h)$) o en el dominio de la frecuencia (usando f$(\omega))$. Qué enfoque es el más adecuado no se puede decidir de manera general sino que tiene que ser reevaluado para cada aplicación de interés.

A continuación, se recogen varias propiedades básicas de la densidad espectral y se evalúan f para varios ejemplos importantes. Que la densidad espectral es análoga a una función de densidad de probabilidad se establece en la proposición siguiente.

Proposición 4.2.1

Si f ($\omega$) es la densidad espectral de un proceso débilmente estacionario$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$, entonces se mantienen las siguientes declaraciones:

f ($\omega$)$\geq$ 0 para todos$\omega$. Esto se desprende de la definición positiva de$\gamma(h)$
f ($\omega$) =f (-$\omega$) y f ($\omega+1$) =f ($\omega$)
La varianza de ($X_t\colon t\in\mathbb{Z})$viene dada por

\[ \gamma(0)=\int_{-1/2}^{1/2}f(\omega)d\omega. \nonumber \]

La parte (c) de la proposición establece que la varianza de un proceso débilmente estacionario es igual a la densidad espectral integrada en todas las frecuencias. Esta propiedad se vuelve a visitar a continuación, cuando se discutirá un análisis espectral de varianza (ANOVA espectral). A continuación se presentan tres ejemplos.

Ejemplo 4.2.1 (Ruido blanco)

Si$(Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim\mbox{WN}(0,\sigma^2)$, entonces su ACVF es distinto de cero solo para h=0, en cuyo caso$\gamma_Z(h)=\sigma^2$. Al conectar este resultado a la ecuación definitoria de la Definición4.2.1 se obtiene que

\[ f_Z(\omega)=\gamma_Z(0)\exp(-2\pi i\omega 0)=\sigma^2. \nonumber \]

Por lo tanto, la densidad espectral de una secuencia de ruido blanco es constante para todos$\omega\in(-1/2,1/2]$, lo que significa que cada frecuencia$\omega$ contribuye por igual al espectro general. Esto explica el término ruido ``blanco” (en analogía a la luz ``blanca”).

Ejemplo 4.2.2 (Media móvil)

Dejar$(Z_t\colon t\in\mathbb{Z})\sim\mbox{WN}(0,\sigma^2)$ y definir las series$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ de tiempo

\[ X_t=\tfrac 12\left(Z_t+Z_{t-1}\right),\qquad t\in\mathbb{Z}. \nonumber \]

Se puede demostrar que

\[ \gamma_X(h)=\frac{\sigma^2}4\left(2-|h|\right),\qquad h=0,\pm 1 \nonumber \]

Figura 4.3: Gráfica de series temporales de ruido blanco$(Z_t\colon t\in\mathbb{Z})$ (izquierda), promedio móvil de dos puntos$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ (medio) y densidad espectral de$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ (derecha).

y que$\gamma$ _X=0 de lo contrario. Por lo tanto,

\[ f_X(\omega)=\sum_{h=-1}^1\gamma_X(h)\exp(2\pi i \omega h) \nonumber \]

\[ = \frac{\sigma^2}4 (\exp(-2\pi i \omega (-1)))+2\exp(-2\pi i \omega 0)+\exp(-2\pi i \omega 1) \nonumber \]

\[ = \frac{\sigma^2}2 (1+\cos(2\pi\omega)) \nonumber \]

usando eso$\exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)$,$\cos(x)=\cos(-x)$ y$\sin(x)=-\sin(-x)$. Se puede observar a partir de las dos gráficas de series de tiempo de la Figura 4.3 que la aplicación de la media móvil de dos puntos a la secuencia de ruido blanco suaviza la trayectoria de la muestra. Esto se debe a una atenuación de las frecuencias más altas que es visible en forma de densidad espectral en el panel derecho de la Figura 4.3. Todas las parcelas se han obtenido utilizando ruido blanco gaussiano con$\sigma^2=1$.

Ejemplo 4.2.3 (Proceso AR (2)).

Let$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$ Ser un proceso AR (2) que se puede escribir en la forma

\[Z_t=X_t-\phi_1X_{t-1}-\phi_2X_{t-2},\qquad t\in\mathbb{Z} \nonumber \]

En esta representación, se puede observar que el ACVF$\gamma_Z$ de la secuencia de ruido blanco se puede obtener como

\[\gamma_Z(h) = E [(X_t-\phi_1X_{t-1}-\phi_2X_{t-2}) (X_{t+h}-\phi_1X_{t+h-1}-\phi_2X_{t+h-2})] \nonumber \]

\[=(1+\phi_1^2+\phi_2^2)\gamma_X(h)+(\phi_1\phi_2-\phi_1)[\gamma_X(h+1)+\gamma_X(h-1)] \nonumber \]

\[ \qquad - \phi_2[\gamma_X(h+2)+\gamma_X(h-2)] \nonumber \]

Ahora se sabe por la Definición 4.2.1 que

\[ \gamma_X(h)=\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega h)f_X(\omega)d\omega \nonumber \]

\[ \gamma_Z(h)=\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega h)f_Z(\omega)d\omega, \nonumber \]

Figura 4.4: Gráfica de series de tiempo y densidad espectral del proceso AR (2) en el Ejemplo 4.2.3.

donde$f_X(\omega)$ y$f_Z(\omega)$ denotan las densidades espectrales respectivas. En consecuencia,

\[\gamma_Z(h)=\int_{-1/2}^{1/2}\exp(2\pi i\omega h)f_Z(\omega)d\omega \\[.2cm] \nonumber \]

\[=(1+\phi_1^2+\phi_2^2)\gamma_X(h)+(\phi_1\phi_2-\phi_1)[\gamma_X(h+1)+\gamma_X(h-1)]-\phi_2[\gamma_X(h+2)+\gamma_X(h-2)]\\[.2cm] \nonumber \]

\[=\int_{-1/2}^{1/2}\left[(1+\phi_1^2+\phi_2^2)+(\phi_1\phi_2-\phi_1)(\exp(2\pi i\omega)+\exp(-2\pi i\omega))\right. \\[.2cm] \nonumber \]

\[\qquad\qquad\left. -\phi_2(\exp(4\pi i \omega)+\exp(-4\pi i \omega)) \right]\exp(2\pi i\omega h)f_X(\omega)d\omega \\[.2cm] \nonumber \]

\[=\int_{-1/2}^{1/2}\left[(1+\phi_1^2+\phi_2^2)+2(\phi_1\phi_2-\phi_1)\cos(2\pi\omega)-2\phi_2\cos(4\pi\omega)\right]\exp(2\pi i\omega h)f_X(\omega)d\omega. \nonumber \]

Lo anterior implica junto con$f_Z(\omega)=\sigma^2$ eso

\[ \sigma^2=\left[(1+\phi_1^2+\phi_2^2)+2(\phi_1\phi_2-\phi_1)\cos(2\pi\omega)-2\phi_2\cos(4\pi\omega)\right]f_X(\omega). \nonumber \]

Por lo tanto, la densidad espectral de un proceso AR (2) tiene la forma

\[ f_X(\omega)=\sigma^2\left[(1+\phi_1^2+\phi_2^2)+2(\phi_1\phi_2-\phi_1)\cos(2\pi\omega)-2\phi_2\cos(4\pi\omega)\right]^{-1}. \nonumber \]

La Figura 4.4 muestra la gráfica de series de tiempo de un proceso AR (2) con parámetros$\phi_1=1.35$,$\phi_2=-.41$ y$\sigma^2=89.34$. Estos valores son muy similares a los obtenidos para la serie de reclutamiento en la Sección 3.5. La misma figura también muestra la densidad espectral correspondiente usando la fórmula recién derivada.

Con el contenido de esta Sección, hasta el momento se ha establecido que la densidad espectral $f (\ omega) $ es una cantidad poblacional que describe el impacto de los diversos componentes periódicos. A continuación, se verifica que el periodograma $I (\ omega_j) $ introducido en la Sección\ ref {sec:4.1} es la contraparte muestral de la densidad espectral.

Proposición 4.2.2.

Vamos a$\omega_j=j/n$ denotar las frecuencias de Fourier. Si el periodograma$I(\omega_j)=|d(\omega_j)|^2$ se basa en observaciones$X_1,\ldots,X_n$ de un proceso débilmente estacionario$(X_t\colon t\in\mathbb{Z})$, entonces

\[ I(\omega_j)=\sum_{h=-n+1}^{n-1}\hat{\gamma}_n(h)\exp(-2\pi i \omega_j h),\qquad j\not=0. \nonumber \]

Si$j=0$, entonces$I(\omega_0)=I(0)=n\bar X_n^2$.

Comprobante. Vamos primero$j\not= 0$. Usando eso$\sum_{t=1}^n\exp(-2\pi i\omega_jt)=0$, se deduce que

\[ I(\omega_j) = \frac 1n\sum_{t=1}^n\sum_{s=1}^n(X_t-\bar X_n)(X_s-\bar X_n)\exp(-2\pi i\omega_j(t-s))\\[.2cm] \nonumber \]

\[ =\frac 1n \sum_{h=-n+1}^{n-1}\sum_{t=1}^{n-|h|}(X_{t+|h|}-\bar X_n)(X_t-\bar X_n)\exp(-2\pi i\omega_jh)\\[.2cm] \nonumber \]

\[ =\sum_{h=-n+1}^{n-1}\hat\gamma_n(h)\exp(-2\pi i\omega_jh), \nonumber \]

lo que prueba la primera pretensión de la proposición. Si$j=0$, las relaciones$\cos(0)=1$ e$\sin(0)=0$ implican eso$I(0)=n\bar X_n^2$. Esto completa la prueba.

Se puede decir más sobre el periodograma. De hecho, se puede interpretar el análisis espectral como un análisis espectral de varianza (ANOVA). Para ver esto, vamos primero

\[d_c(\omega_j) = \mathrm{Re}(d(\omega_j))=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{t=1}^nX_t\cos(2\pi\omega_jt), \\[.2cm] \nonumber \]

\[d_s(\omega_j) = \mathrm{Im}(d(\omega_j))=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{t=1}^nX_t\sin(2\pi\omega_jt). \nonumber \]

Entonces,$I(\omega_j)=d_c^2(\omega_j)+d_s^2(\omega_j)$. Volvamos ahora al ejemplo introductorio y estudiemos el proceso

\[ X_t=A_0+\sum_{j=1}^m\big[A_j\cos(2\pi\omega_j t)+B_j\sin(2\pi\omega_jt)\big], \nonumber \]

donde$m=(n-1)/2$ e$n$ impar. Supongamos$X_1,\ldots,X_n$ que se han observado. Entonces, usando técnicas de regresión como antes, se puede ver que$A_0=\bar{X}_n$ y

\[A_j = \frac 2n\sum_{t=1}^nX_t\cos(2\pi\omega_jt)=\frac{2}{\sqrt{n}}d_c(\omega_j),\\[.2cm] \nonumber \]

\[B_j = \frac 2n\sum_{t=1}^nX_t\sin(2\pi\omega_jt)=\frac{2}{\sqrt{n}}d_s(\omega_j). \nonumber \]

Por lo tanto,

\[ \sum_{t=1}^n(X_t-\bar{X}_n)^2=2\sum_{j=1}^m\big[d_c^2(\omega_j)+d_s^2(\omega_j)\big]=2\sum_{j=1}^mI(\omega_j) \nonumber \]

y se obtiene la siguiente tabla ANOVA. Si el proceso estocástico subyacente exhibe un patrón periódico fuerte a cierta frecuencia, entonces el periodograma probablemente los recogerá.

Ejemplo 4.2.4

Considere los puntos de$n=5$ datos$X_1=2$$X_2=4$,$X_3=6$,$X_5=2$,$X_4=4$ y, que muestran un patrón cíclico pero no sinusoidal. Esto sugiere que$\omega=1/5$ es significativo y no$\omega=2/5$ lo es. En R, el ANOVA espectral se puede producir de la siguiente manera.

>x = c (2,4,6,4,2), t= 1:5

>cos1 = cos (2*pi*t*1/5)

>sin1 = sin (2*pi*t*1/5)

>cos2 = cos (2*pi*t*2/5)

>sin2 = sin (2*pi*t*2/5)

Esto genera los datos y las variables coseno y seno independientes. Ahora ejecuta una regresión y comprueba la salida del ANOVA.

>reg = lm (x\ ~ {} cos1+sin1+cos2+sin2)

>anova (reg)

Esto lleva a la siguiente salida.

Respuesta: x

Df Suma Cuadrados Media Sq Valor F Pr (>F)

cos1 1 7.1777 7.1777

cos2 1 0.0223 0.0223

sin1 1 3.7889 3.7889

sin2 1 0.2111 0.2111

Residuales 0 0.0000

Según razonamiento previo (¡comprueba la última tabla!) , el periodograma a la frecuencia$\omega_1=1/5$ se da como la suma de los$\tt sin1$ coeficientes$cos1$ y, es decir,$I(1/5)=(d_c(1/5)+d_s(1/5))/2=(7.1777+3.7889)/2=5.4833$. Del mismo modo,$I(2/5)=(d_c(2/5)+d_s(2/5))/2=(0.0223+0.2111)/2=0.1167.$

Obsérvese, sin embargo, que el error cuadrático medio se calcula de manera diferente en R. Podemos comparar estos valores con el periodograma:

> abs (fft (x))$\widehat{}$ 2/5

[1] 64.8000000 5.4832816 0.1167184 0.1167184 5.4832816

El primer valor aquí es$I(0)=n\bar{X}_n^2=5*(18/5)^2=64.8$. El segundo y tercer valor son$I(1/5)$ y$I(2/5)$, respectivamente, while$I(3/5)=I(2/5)$ y$I(4/5)=I(1/5)$ completan la lista.

En la siguiente sección, se discuten algunas propiedades de muestra grande del periodograma para obtener una mejor comprensión del análisis espectral. \