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LibreTexts Español

6.2: Problemas en Variables Aleatorias y Probabilidades

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ejercicio6.2.1

La siguiente variable aleatoria simple está en forma canónica:

X=3.75IA1.13IB+0IC+2.6ID.

Expresar los eventos{X(4,2]}{X(0,3]},{X(,1]},, y {X0} en términos deA,B,C, yD.

Contestar
  • ABC
  • D
  • ABC
  • C
  • CD

Ejercicio6.2.2

Variable aleatoriaX, en forma canónica, viene dada porX=2IAIB+IC+2ID+5IE.

Expresar los eventos{X[2,3)}{X0},{X<0},,{|X2|3}, y{X24}, en términos deA,B,C,D,andE.

Contestar
  • D
  • AB
  • AB
  • BCDE
  • ADE

Ejercicio6.2.3

La clase{Cj:1j10} es una partición. XLa variable aleatoria tiene valores {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} onC1 throughC10, respectivamente. Express X\) en forma canónica.

Contestar
T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
[X,I] = sort(T)
X =   1   1   2   2   2   3   3   3   4   5
I =   1   7   3   6  10   2   4   8   5   9

X=IA+2IB+3IC+4ID+5IE

A=C1C7,B=C3C6C10,C=C2C4C8,D=C5,E=C9

Ejercicio6.2.4

La clase{Cj:1j10} en Ejercicio tiene respectivas probabilidades 0.08, 0.13, 0.06, 0.09, 0.14, 0.11, 0.12, 0.07, 0.11, 0.09. Determinar la distribución paraX

Contestar
T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
pc = 0.01*[8 13 6 9 14 11 12 7 11 9];
[X,PX] = csort(T,pc);
disp([X;PX]')
    1.0000    0.2000
    2.0000    0.2600
    3.0000    0.2900
    4.0000    0.1400
    5.0000    0.1100

Ejercicio6.2.5

Se hace girar una rueda produciendo sobre una base igualmente probable los números enteros del 1 al 10. Que C i sea el evento en el que la rueda se detengai,1i10. Cada unoP(Ci)=0.1. Si los números 1, 4 o 7 suben, el jugador pierde diez dólares; si los números 2, 5 o 8 aparecen, el jugador no gana nada; si los números 3, 6 o 9 aparecen, el jugador gana diez dólares; si el número 10 aparece, el jugador pierde un dólar. La variable aleatoria que expresa los resultados puede expresarse en forma primitiva como

X=10IC1+0IC2+10IC310IC4+0IC5+10IC610IC7+0IC8+10IC9IC10

  • Determinar la distribución paraX, (a) a mano, (b) usando MATLAB.
  • DeterminarP(X<0),P(X>0).
Contestar
p = 0.1*ones(1,10);
c = [-10 0 10 -10 0 10 -10 0 10 -1];
[X,PX] = csort(c,p);
disp([X;PX]')
  -10.0000    0.3000
   -1.0000    0.1000
         0    0.3000
   10.0000    0.3000
Pneg = (X<0)*PX'
Pneg =  0.4000
Ppos = (X>0)*PX'
Ppos =  0.300

Ejercicio6.2.6

Una tienda tiene ocho artículos a la venta. Los precios son de $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 y $7.50, respectivamente. Entra un cliente. Ella compra uno de los artículos con probabilidades 0.10, 0.15, 0.15, 0.20, 0.10 0.05, 0.10 0.15. Se puede escribir la variable aleatoria que expresa el monto de su compra

X=3.5IC1+5.0IC2+3.5IC3+7.5IC4+5.0IC5+5.0IC6+3.5IC7+7.5IC8

Determinar la distribución paraX (a) a mano, (b) usando MATLAB.

Contestar
p = 0.01*[10 15 15 20 10  5 10 15];
c = [3.5 5 3.5 7.5 5 5 3.5 7.5];
[X,PX] = csort(c,p);
disp([X;PX]')
    3.5000    0.3500
    5.0000    0.3000
    7.5000    0.3500

Ejercicio6.2.7

SupongamosX,Y en forma canónica son

X=2IA1+3IA2+5IA3Y=IB1+2IB2+3IB3

LosP(Ai) son 0.3, 0.6, 0.1, respectivamente, y losP(Bj) son 0.2 0.6 0.2. Cada par {Ai,Bj} es independiente. Considera la variable aleatoriaZ=X+Y. DespuésZ=2+1 encendidoA1B1,Z=3+3 encendidoA2B3, etc. Determinar el valor deZ en cada unoAiBj y determinar el correspondienteP(AiBj). A partir de esto, determinar la distribución paraZ.

Contestar
A = [2 3 5];
B = [1 2 3];
a = rowcopy(A,3);
b = colcopy(B,3);
Z =a + b               % Possible values of sum Z = X + Y
Z = 3     4     6
    4     5     7
    5     6     8
PA = [0.3 0.6 0.1];
PB = [0.2 0.6 0.2];
 pa= rowcopy(PA,3);
 pb = colcopy(PB,3);
 P = pa.*pb            % Probabilities for various values
P =  0.0600    0.1200    0.0200
     0.1800    0.3600    0.0600
     0.0600    0.1200    0.0200
[Z,PZ] = csort(Z,P);
 disp([Z;PZ]')         % Distribution for Z = X + Y
    3.0000    0.0600
    4.0000    0.3000
    5.0000    0.4200
    6.0000    0.1400
    7.0000    0.0600
    8.0000    0.0200

Ejercicio6.2.8

Para las variables aleatorias en Ejercicio, letW=XY. Determinar el valor deW en cada unoAiBj y determinar la distribución deW.

Contestar
XY = a.*b
XY = 2     3     5               % XY values
     4     6    10
     6     9    15
 
 
       W        PW               % Distribution for W = XY
    2.0000    0.0600
    3.0000    0.1200
    4.0000    0.1800
    5.0000    0.0200
    6.0000    0.4200
    9.0000    0.1200
   10.0000    0.0600
   15.0000    0.0200

Ejercicio6.2.9

Se tira un par de dados.

  1. XSea el mínimo de los dos números que aparecen. Determinar la distribución paraX
  2. YSea el máximo de los dos números. Determinar la distribución paraY.
  3. ZSea la suma de los dos números. Determinar la distribución paraZ.
  4. WSea el valor absoluto de la diferencia. Determinar su distribución.
Contestar
t = 1:6;
c = ones(6,6);
[x,y] = meshgrid(t,t)
x =  1     2     3     4     5     6     % x-values in each position
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
y =  1     1     1     1     1     1     % y-values in each position
     2     2     2     2     2     2
     3     3     3     3     3     3
     4     4     4     4     4     4
     5     5     5     5     5     5
     6     6     6     6     6     6
m = min(x,y);                         % min in each position
M = max(x,y);                         % max in each position
s = x + y;                            % sum x+y in each position
d = abs(x - y);                       % |x - y| in each position
[X,fX] = csort(m,c)                   % sorts values and counts occurrences
X =   1     2     3     4     5     6
fX = 11     9     7     5     3     1    % PX = fX/36
[Y,fY] = csort(M,c)
Y =   1     2     3     4     5     6
fY =  1     3     5     7     9    11    % PY = fY/36
[Z,fZ] = csort(s,c)
Z =   2     3     4     5     6     7     8     9    10    11    12
fZ =  1     2     3     4     5     6     5     4     3     2     1  %PZ = fZ/36
[W,fW] = csort(d,c)
W =   0     1     2     3     4     5
fW =  6    10     8     6     4     2    % PW = fW/36

Ejercicio6.2.10

Las probabilidades mintermp(0) a travésp(15) de la clase{A,B,C,D} son, en orden,

0.072 0.048 0.018 0.012 0.168 0.112 0.042 0.028 0.062 0.048 0.028 0.010 0.170 0.110 0.040 0.

Determinar la distribución para la variable aleatoria

X=5.3IA2.5IB+2.3IC+4.2ID3.7

Contestar
% file npr06_10.m
% Data for Exercise 6.2.10.
pm = [ 0.072 0.048 0.018 0.012 0.168 0.112 0.042 0.028 ...
       0.062 0.048 0.028 0.010 0.170 0.110 0.040 0.032];
c  = [-5.3 -2.5 2.3 4.2 -3.7];
disp('Minterm probabilities are in pm, coefficients in c')
npr06_10
Minterm probabilities are in pm, coefficients in c
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
XDBN
XDBN =
  -11.5000    0.1700
   -9.2000    0.0400
   -9.0000    0.0620
   -7.3000    0.1100
   -6.7000    0.0280
   -6.2000    0.1680
   -5.0000    0.0320
   -4.8000    0.0480
   -3.9000    0.0420
   -3.7000    0.0720
   -2.5000    0.0100
   -2.0000    0.1120
   -1.4000    0.0180
    0.3000    0.0280
    0.5000    0.0480
    2.8000    0.0120

Ejercicio6.2.11

Un martes por la noche, los Houston Rockets, los Orlando Magic y los Chicago Bulls tienen partidos (pero no entre ellos). Que A sea el evento que ganen los Rockets,B sea el evento que gane el Magic yC sea el evento que ganen los Bulls. Supongamos que la clase {A,B,C} es independiente, con probabilidades respectivas 0.75, 0.70 0.8. El novio de Ellen es un fanático rabioso de los Rockets, a quien no le gusta el Magic. Quiere apostar por los juegos. Ella decide asumirlo en sus apuestas de la siguiente manera:

  • $10 a 5 en los Rockets — es decir, pierde cinco si los Rockets ganan y gana diez si pierden
  • $10 a 5 contra la Magia
  • incluso $5 a 5 en los Toros.

La victoria de Ellen se puede expresar como la variable aleatoria

X=5IA+10IAc+10IB5IBc5IC+5ICc=15IA+15IB10IC+10

Determinar la distribución paraX. ¿Cuáles son las probabilidades de que Ellen pierda dinero, se quiebre, o salga adelante?

Contestar
P = 0.01*[75 70 80];
c = [-15 15 -10 10];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
  -15.0000    0.1800
   -5.0000    0.0450
         0    0.4800
   10.0000    0.1200
   15.0000    0.1400
   25.0000    0.0350
PXneg = (X<0)*PX'
PXneg =  0.2250
PX0 = (X==0)*PX'
PX0 =    0.4800
PXpos = (X>0)*PX'
PXpos =  0.2950

Ejercicio6.2.12

La clase {A,B,C,D} tiene probabilidades minterm

pm=0.001[5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

  • Determinar si la clase es independiente o no.
  • La variable aleatoriaX=IA+IB+IC+ID cuenta el número de eventos que ocurren en un ensayo. Encuentre la distribución para X y determine la probabilidad de que dos o más ocurran en un ensayo. Encuentra la probabilidad de que uno o tres de estos ocurran en un juicio.
Contestar
npr06_12
Minterm probabilities in pm, coefficients in c
a = imintest(pm)
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
a =
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
XDBN =
         0    0.0050
    1.0000    0.0430
    2.0000    0.2120
    3.0000    0.4380
    4.0000    0.3020
P2 = (X>=2)*PX'
P2 =  0.9520
P13 = ((X==1)|(X==3))*PX'
P13 =  0.4810

Ejercicio6.2.13

James espera tres cheques por correo, por $20, 26 dólares y 33 dólares. Sus llegadas son los eventosA,B,C. Supongamos que la clase es independiente, con probabilidades respectivas 0.90, 0.75, 0.80. Entonces

X=20IA+26IB+33IC

representa el monto total recibido. Determinar la distribución paraX. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos $50? ¿Menos de $30?

Contestar
c = [20 26 33 0];
P = 0.01*[90 75 80];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
         0    0.0050
   20.0000    0.0450
   26.0000    0.0150
   33.0000    0.0200
   46.0000    0.1350
   53.0000    0.1800
   59.0000    0.0600
   79.0000    0.5400
P50 = (X>=50)*PX'
P50 =  0.7800
P30 = (X <30)*PX'
P30 =  0.0650

Ejercicio6.2.14

Un jugador hace tres apuestas. Él pone dos dólares por cada apuesta. Recoge tres dólares (su apuesta original más un dólar) si gana la primera apuesta, cuatro dólares si gana la segunda apuesta, y seis dólares si gana la tercera. Su ganancia neta puede ser representada por la variable aleatoria

X=3IA+4IB+6IC6, conP(A)=0.5,P(B)=0.4,P(C)=0.3

Supongamos que los resultados de los juegos son independientes. Determinar la distribución paraX.

Contestar
c = [3 4 6 -6];
P = 0.1*[5 4 3];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
dsp(XDBN)
   -6.0000    0.2100
   -3.0000    0.2100
   -2.0000    0.1400
         0    0.0900
    1.0000    0.1400
    3.0000    0.0900
    4.0000    0.0600
    7.0000    0.0600

Ejercicio6.2.15

Henry va a una ferretería. Considera que un taladro eléctrico es de 35 dólares, un juego de llaves de casquillo en 56 dólares, un juego de destornilladores a 18 dólares, un tornillo de banco a 24 dólares y un martillo a 8 dólares. Decide de manera independiente sobre las compras de los artículos individuales, con probabilidades respectivas 0.5, 0.6, 0.7, 0.4, 0.9. DejarX ser el monto de sus compras totales. Determinar la distribución paraX.

Contestar
c = [35 56 18 24 8 0];
P = 0.1*[5 6 7 4 9];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
         0    0.0036
    8.0000    0.0324
   18.0000    0.0084
   24.0000    0.0024
   26.0000    0.0756
   32.0000    0.0216
   35.0000    0.0036
   42.0000    0.0056
   43.0000    0.0324
   50.0000    0.0504
   53.0000    0.0084
   56.0000    0.0054
   59.0000    0.0024
   61.0000    0.0756
   64.0000    0.0486
   67.0000    0.0216
   74.0000    0.0126
   77.0000    0.0056
   80.0000    0.0036
   82.0000    0.1134
   85.0000    0.0504
   88.0000    0.0324
   91.0000    0.0054
   98.0000    0.0084
   99.0000    0.0486
  106.0000    0.0756
  109.0000    0.0126
  115.0000    0.0036
  117.0000    0.1134
  123.0000    0.0324
  133.0000    0.0084
  141.0000    0.0756

Ejercicio6.2.16

Se realiza una secuencia de ensayos (no necesariamente independientes). EiSea el evento de éxito en la prueba de componentesi th. Asociamos con cada ensayo una “función de pago”Xi=aIEi+bIEci. Así,a se gana una cantidad si hay éxito en el juicio y una cantidadb (generalmente negativa) si hay un fracaso. SnSea el número de éxitos en losn ensayos yW sea el beneficio neto. W=(ab)Sn+bnDemuéstralo.

Contestar

Xi=aIEi+b(1IEi)=(ab)IEi+b

W=ni=1Xi=(ab)ni=1IEi+bn=(ab)Sn+bn

Ejercicio6.2.17

Un marcador se coloca en una posición de referencia en una línea (tomada para ser el origen); una moneda se arroja repetidamente. Si una cabeza gira hacia arriba, el marcador se mueve una unidad hacia la derecha; si una cola gira hacia arriba, el marcador se mueve una unidad hacia la izquierda.

  1. Mostrar que la posición al final de diez tiradas viene dada por la variable aleatoria

    X=10i=1IEi10i=1IEci=210i=1IEi10=2S1010

dondeEi es el evento de una cabeza en eli th lanzamiento yS10 es el número de cabezas en diez ensayos.

  • Después de diez tiradas, ¿cuáles son las posiciones posibles y las probabilidades de estar en cada uno?
Contestar

Xi=IEiIEci=IEi(1IEi)=2IEi1

X=10i=1Xi=2ni=1IEi10

S = 0:10;
PS = ibinom(10,0.5,0:10);
X = 2*S - 10;
disp([X;PS]')
  -10.0000    0.0010
   -8.0000    0.0098
   -6.0000    0.0439
   -4.0000    0.1172
   -2.0000    0.2051
         0    0.2461
    2.0000    0.2051
    4.0000    0.1172
    6.0000    0.0439
    8.0000    0.0098
   10.0000    0.0010

Ejercicio6.2.18

Margaret considera cinco compras en los montos 5, 17, 21, 8, 15 dólares con probabilidades respectivas 0.37, 0.22, 0.38, 0.81, 0.63. Anne contempla seis compras en los montos 8, 15, 12, 18, 15, 12 dólares, con probabilidades respectivas 0.77, 0.52, 0.23, 0.41, 0.83, 0.58. Supongamos que las once compras posibles forman una clase independiente.

  1. Determinar la distribución paraX, la cantidad comprada por Margaret.
  2. Determinar la distribución paraY, la cantidad comprada por Anne.
  3. Determinar la distribución paraZ=X+Y, el monto total que compran los dos.

Sugerencia para la parte c). Deje que MATLAB realice los cálculos.

Contestar
[r,s] = ndgrid(X,Y);
[t,u] = ndgrid(PX,PY);
z = r + s;
pz = t.*u;
[Z,PZ] = csort(z,pz);
% file npr06_18.m
cx = [5 17 21 8 15 0];
cy = [8 15 12 18 15 12 0];
pmx = minprob(0.01*[37 22 38 81 63]);
pmy = minprob(0.01*[77 52 23 41 83 58]);
npr06_18
[X,PX] = canonicf(cx,pmx);  [Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
[r,s] = ndgrid(X,Y);   [t,u] = ndgrid(PX,PY);
z = r + s;   pz = t.*u;
[Z,PZ] = csort(z,pz);
a = length(Z)
a  =  125              % 125 different values
plot(Z,cumsum(PZ))  % See figure     Plotting details omitted

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