6.2: Problemas en Variables Aleatorias y Probabilidades

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Paul Pfeiffer
Rice University

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

La siguiente variable aleatoria simple está en forma canónica:

$X = -3.75 I_A - 1.13 I_B + 0 I_C + 2.6 I_D$.

Expresar los eventos$\{X \in (-4, 2]\}$$\{X \in (0, 3]\}$,$\{X \in (-\infty, 1]\}$,, y {$X \ge 0$} en términos de$A$,$B$,$C$, y$D$.

Contestar

$A \bigvee B \bigvee C$
$D$
$A \bigvee B \bigvee C$
$C$
$C \bigvee D$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Variable aleatoria$X$, en forma canónica, viene dada por$X = -2I_{A} - I_B + I_C + 2I_D + 5I_E$.

Expresar los eventos$\{X \in [2, 3)\}$$\{X \le 0\}$,$\{X < 0\}$,,$\{|X - 2| \le 3\}$, y$\{X^2 \ge 4\}$, en términos de$A, B, C, D, and E$.

Contestar

$D$
$A \bigvee B$
$A \bigvee B$
$B \bigvee C \bigvee D \bigvee E$
$A \bigvee D \bigvee E$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

La clase$\{C_j: 1 \le j \le 10\}$ es una partición. $X$La variable aleatoria tiene valores {1, 3, 2, 3, 4, 2, 1, 3, 5, 2} on$C_1$ through$C_{10}$, respectivamente. Express X\) en forma canónica.

Contestar

T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
[X,I] = sort(T)
X =   1   1   2   2   2   3   3   3   4   5
I =   1   7   3   6  10   2   4   8   5   9

$X = I_A + 2I_B + 3I_C + 4I_D + 5I_E$

$A = C_1 \bigvee C_7$,$B = C_3 \bigvee C_6 \bigvee C_{10}$,$C = C_2 \bigvee C_4 \bigvee C_8$,$D = C_5$,$E = C_9$

Ejercicio$\PageIndex{4}$

La clase$\{C_j: 1 \le j \le 10\}$ en Ejercicio tiene respectivas probabilidades 0.08, 0.13, 0.06, 0.09, 0.14, 0.11, 0.12, 0.07, 0.11, 0.09. Determinar la distribución para$X$

Contestar

T = [1 3 2 3 4 2 1 3 5 2];
pc = 0.01*[8 13 6 9 14 11 12 7 11 9];
[X,PX] = csort(T,pc);
disp([X;PX]')
    1.0000    0.2000
    2.0000    0.2600
    3.0000    0.2900
    4.0000    0.1400
    5.0000    0.1100

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Se hace girar una rueda produciendo sobre una base igualmente probable los números enteros del 1 al 10. Que C _i sea el evento en el que la rueda se detenga$i$,$1 \le i \le 10$. Cada uno$P(C_i) = 0.1$. Si los números 1, 4 o 7 suben, el jugador pierde diez dólares; si los números 2, 5 o 8 aparecen, el jugador no gana nada; si los números 3, 6 o 9 aparecen, el jugador gana diez dólares; si el número 10 aparece, el jugador pierde un dólar. La variable aleatoria que expresa los resultados puede expresarse en forma primitiva como

$X = -10I_{C_1} + 0I_{C_2} + 10I_{C_3} - 10I_{C_4} + 0I_{C_5} + 10I_{C_6} - 10I_{C_7} + 0I_{C_8} + 10I_{C_9} - I_{C_{10}}$

Determinar la distribución para$X$, (a) a mano, (b) usando MATLAB.
Determinar$P(X < 0)$,$P(X > 0)$.

Contestar

p = 0.1*ones(1,10);
c = [-10 0 10 -10 0 10 -10 0 10 -1];
[X,PX] = csort(c,p);
disp([X;PX]')
  -10.0000    0.3000
   -1.0000    0.1000
         0    0.3000
   10.0000    0.3000
Pneg = (X<0)*PX'
Pneg =  0.4000
Ppos = (X>0)*PX'
Ppos =  0.300

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Una tienda tiene ocho artículos a la venta. Los precios son de $3.50, $5.00, $3.50, $7.50, $5.00, $5.00, $3.50 y $7.50, respectivamente. Entra un cliente. Ella compra uno de los artículos con probabilidades 0.10, 0.15, 0.15, 0.20, 0.10 0.05, 0.10 0.15. Se puede escribir la variable aleatoria que expresa el monto de su compra

$X = 3.5 I_{C_1} + 5.0 I_{C_2} + 3.5 I_{C_3} + 7.5 I_{C_4} + 5.0 I_{C_5} + 5.0I_{C_6} + 3.5 I_{C_7} + 7.5I_{C_8}$

Determinar la distribución para$X$ (a) a mano, (b) usando MATLAB.

Contestar

p = 0.01*[10 15 15 20 10  5 10 15];
c = [3.5 5 3.5 7.5 5 5 3.5 7.5];
[X,PX] = csort(c,p);
disp([X;PX]')
    3.5000    0.3500
    5.0000    0.3000
    7.5000    0.3500

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Supongamos$X$,$Y$ en forma canónica son

$X = 2 I_{A_1} + 3 I_{A_2} + 5 I_{A_3}$$Y = I_{B_1} + 2 I_{B_2} + 3I_{B_3}$

Los$P(A_i)$ son 0.3, 0.6, 0.1, respectivamente, y los$P(B_j)$ son 0.2 0.6 0.2. Cada par {$A_i, B_j$} es independiente. Considera la variable aleatoria$Z = X + Y$. Después$Z = 2 + 1$ encendido$A_1 B_1$,$Z = 3 + 3$ encendido$A_2 B_3$, etc. Determinar el valor de$Z$ en cada uno$A_i B_j$ y determinar el correspondiente$P(A_i B_j)$. A partir de esto, determinar la distribución para$Z$.

Contestar

A = [2 3 5];
B = [1 2 3];
a = rowcopy(A,3);
b = colcopy(B,3);
Z =a + b               % Possible values of sum Z = X + Y
Z = 3     4     6
    4     5     7
    5     6     8
PA = [0.3 0.6 0.1];
PB = [0.2 0.6 0.2];
 pa= rowcopy(PA,3);
 pb = colcopy(PB,3);
 P = pa.*pb            % Probabilities for various values
P =  0.0600    0.1200    0.0200
     0.1800    0.3600    0.0600
     0.0600    0.1200    0.0200
[Z,PZ] = csort(Z,P);
 disp([Z;PZ]')         % Distribution for Z = X + Y
    3.0000    0.0600
    4.0000    0.3000
    5.0000    0.4200
    6.0000    0.1400
    7.0000    0.0600
    8.0000    0.0200

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Para las variables aleatorias en Ejercicio, let$W = XY$. Determinar el valor de$W$ en cada uno$A_i B_j$ y determinar la distribución de$W$.

Contestar

XY = a.*b
XY = 2     3     5               % XY values
     4     6    10
     6     9    15
 
 
       W        PW               % Distribution for W = XY
    2.0000    0.0600
    3.0000    0.1200
    4.0000    0.1800
    5.0000    0.0200
    6.0000    0.4200
    9.0000    0.1200
   10.0000    0.0600
   15.0000    0.0200

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Se tira un par de dados.

$X$Sea el mínimo de los dos números que aparecen. Determinar la distribución para$X$
$Y$Sea el máximo de los dos números. Determinar la distribución para$Y$.
$Z$Sea la suma de los dos números. Determinar la distribución para$Z$.
$W$Sea el valor absoluto de la diferencia. Determinar su distribución.

Contestar

t = 1:6;
c = ones(6,6);
[x,y] = meshgrid(t,t)
x =  1     2     3     4     5     6     % x-values in each position
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
     1     2     3     4     5     6
y =  1     1     1     1     1     1     % y-values in each position
     2     2     2     2     2     2
     3     3     3     3     3     3
     4     4     4     4     4     4
     5     5     5     5     5     5
     6     6     6     6     6     6
m = min(x,y);                         % min in each position
M = max(x,y);                         % max in each position
s = x + y;                            % sum x+y in each position
d = abs(x - y);                       % |x - y| in each position
[X,fX] = csort(m,c)                   % sorts values and counts occurrences
X =   1     2     3     4     5     6
fX = 11     9     7     5     3     1    % PX = fX/36
[Y,fY] = csort(M,c)
Y =   1     2     3     4     5     6
fY =  1     3     5     7     9    11    % PY = fY/36
[Z,fZ] = csort(s,c)
Z =   2     3     4     5     6     7     8     9    10    11    12
fZ =  1     2     3     4     5     6     5     4     3     2     1  %PZ = fZ/36
[W,fW] = csort(d,c)
W =   0     1     2     3     4     5
fW =  6    10     8     6     4     2    % PW = fW/36

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Las probabilidades minterm$p(0)$ a través$p(15)$ de la clase$\{A, B , C, D\}$ son, en orden,

0.072 0.048 0.018 0.012 0.168 0.112 0.042 0.028 0.062 0.048 0.028 0.010 0.170 0.110 0.040 0.

Determinar la distribución para la variable aleatoria

$X = -5.3I_A - 2.5 I_B + 2.3 I_C + 4.2 I_D - 3.7$

Contestar

% file npr06_10.m
% Data for Exercise 6.2.10.
pm = [ 0.072 0.048 0.018 0.012 0.168 0.112 0.042 0.028 ...
       0.062 0.048 0.028 0.010 0.170 0.110 0.040 0.032];
c  = [-5.3 -2.5 2.3 4.2 -3.7];
disp('Minterm probabilities are in pm, coefficients in c')
npr06_10
Minterm probabilities are in pm, coefficients in c
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
XDBN
XDBN =
  -11.5000    0.1700
   -9.2000    0.0400
   -9.0000    0.0620
   -7.3000    0.1100
   -6.7000    0.0280
   -6.2000    0.1680
   -5.0000    0.0320
   -4.8000    0.0480
   -3.9000    0.0420
   -3.7000    0.0720
   -2.5000    0.0100
   -2.0000    0.1120
   -1.4000    0.0180
    0.3000    0.0280
    0.5000    0.0480
    2.8000    0.0120

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Un martes por la noche, los Houston Rockets, los Orlando Magic y los Chicago Bulls tienen partidos (pero no entre ellos). Que A sea el evento que ganen los Rockets,$B$ sea el evento que gane el Magic y$C$ sea el evento que ganen los Bulls. Supongamos que la clase {$A, B, C$} es independiente, con probabilidades respectivas 0.75, 0.70 0.8. El novio de Ellen es un fanático rabioso de los Rockets, a quien no le gusta el Magic. Quiere apostar por los juegos. Ella decide asumirlo en sus apuestas de la siguiente manera:

$10 a 5 en los Rockets — es decir, pierde cinco si los Rockets ganan y gana diez si pierden
$10 a 5 contra la Magia
incluso $5 a 5 en los Toros.

La victoria de Ellen se puede expresar como la variable aleatoria

$X = -5 I_A + 10 I_{A^c} + 10 I_B - 5 I_{B^c} - 5 I_C + 5I_{C^c} = -15 I_A + 15 I_B - 10 I_C + 10$

Determinar la distribución para$X$. ¿Cuáles son las probabilidades de que Ellen pierda dinero, se quiebre, o salga adelante?

Contestar

P = 0.01*[75 70 80];
c = [-15 15 -10 10];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
  -15.0000    0.1800
   -5.0000    0.0450
         0    0.4800
   10.0000    0.1200
   15.0000    0.1400
   25.0000    0.0350
PXneg = (X<0)*PX'
PXneg =  0.2250
PX0 = (X==0)*PX'
PX0 =    0.4800
PXpos = (X>0)*PX'
PXpos =  0.2950

Ejercicio$\PageIndex{12}$

La clase {$A, B, C, D$} tiene probabilidades minterm

$pm = 0.001 *$[5 7 6 8 9 14 22 33 21 32 50 75 86 129 201 302]

Determinar si la clase es independiente o no.
La variable aleatoria$X = I_A + I_B + I_C + I_D$ cuenta el número de eventos que ocurren en un ensayo. Encuentre la distribución para X y determine la probabilidad de que dos o más ocurran en un ensayo. Encuentra la probabilidad de que uno o tres de estos ocurran en un juicio.

Contestar

npr06_12
Minterm probabilities in pm, coefficients in c
a = imintest(pm)
The class is NOT independent
Minterms for which the product rule fails
a =
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  pm
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
XDBN =
         0    0.0050
    1.0000    0.0430
    2.0000    0.2120
    3.0000    0.4380
    4.0000    0.3020
P2 = (X>=2)*PX'
P2 =  0.9520
P13 = ((X==1)|(X==3))*PX'
P13 =  0.4810

Ejercicio$\PageIndex{13}$

James espera tres cheques por correo, por $20, 26 dólares y 33 dólares. Sus llegadas son los eventos$A, B, C$. Supongamos que la clase es independiente, con probabilidades respectivas 0.90, 0.75, 0.80. Entonces

$X = 20 I_A + 26 I_B + 33 I_C$

representa el monto total recibido. Determinar la distribución para$X$. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba al menos $50? ¿Menos de $30?

Contestar

c = [20 26 33 0];
P = 0.01*[90 75 80];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
         0    0.0050
   20.0000    0.0450
   26.0000    0.0150
   33.0000    0.0200
   46.0000    0.1350
   53.0000    0.1800
   59.0000    0.0600
   79.0000    0.5400
P50 = (X>=50)*PX'
P50 =  0.7800
P30 = (X <30)*PX'
P30 =  0.0650

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Un jugador hace tres apuestas. Él pone dos dólares por cada apuesta. Recoge tres dólares (su apuesta original más un dólar) si gana la primera apuesta, cuatro dólares si gana la segunda apuesta, y seis dólares si gana la tercera. Su ganancia neta puede ser representada por la variable aleatoria

$X = 3I_A + 4I_B + 6I_C - 6$, con$P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.4$,$P(C) = 0.3$

Supongamos que los resultados de los juegos son independientes. Determinar la distribución para$X$.

Contestar

c = [3 4 6 -6];
P = 0.1*[5 4 3];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
dsp(XDBN)
   -6.0000    0.2100
   -3.0000    0.2100
   -2.0000    0.1400
         0    0.0900
    1.0000    0.1400
    3.0000    0.0900
    4.0000    0.0600
    7.0000    0.0600

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Henry va a una ferretería. Considera que un taladro eléctrico es de 35 dólares, un juego de llaves de casquillo en 56 dólares, un juego de destornilladores a 18 dólares, un tornillo de banco a 24 dólares y un martillo a 8 dólares. Decide de manera independiente sobre las compras de los artículos individuales, con probabilidades respectivas 0.5, 0.6, 0.7, 0.4, 0.9. Dejar$X$ ser el monto de sus compras totales. Determinar la distribución para$X$.

Contestar

c = [35 56 18 24 8 0];
P = 0.1*[5 6 7 4 9];
canonic
 Enter row vector of coefficients  c
 Enter row vector of minterm probabilities  minprob(P)
Use row matrices X and PX for calculations
Call for XDBN to view the distribution
disp(XDBN)
         0    0.0036
    8.0000    0.0324
   18.0000    0.0084
   24.0000    0.0024
   26.0000    0.0756
   32.0000    0.0216
   35.0000    0.0036
   42.0000    0.0056
   43.0000    0.0324
   50.0000    0.0504
   53.0000    0.0084
   56.0000    0.0054
   59.0000    0.0024
   61.0000    0.0756
   64.0000    0.0486
   67.0000    0.0216
   74.0000    0.0126
   77.0000    0.0056
   80.0000    0.0036
   82.0000    0.1134
   85.0000    0.0504
   88.0000    0.0324
   91.0000    0.0054
   98.0000    0.0084
   99.0000    0.0486
  106.0000    0.0756
  109.0000    0.0126
  115.0000    0.0036
  117.0000    0.1134
  123.0000    0.0324
  133.0000    0.0084
  141.0000    0.0756

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Se realiza una secuencia de ensayos (no necesariamente independientes). $E_i$Sea el evento de éxito en la prueba de componentes$i$ th. Asociamos con cada ensayo una “función de pago”$X_i = aI_{E_i} + b I_{E_i^c}$. Así,$a$ se gana una cantidad si hay éxito en el juicio y una cantidad$b$ (generalmente negativa) si hay un fracaso. $S_n$Sea el número de éxitos en los$n$ ensayos y$W$ sea el beneficio neto. $W = (a - b) S_n + bn$Demuéstralo.

Contestar

$X_i = aI_{E_i} + b(1 - I_{E_i}) = (a - b) I_{E_i} + b$

$W = \sum_{i = 1}^{n} X_i = (a - b) \sum_{i = 1}^{n} I_{E_i} + bn = (a - b) S_n + bn$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

Un marcador se coloca en una posición de referencia en una línea (tomada para ser el origen); una moneda se arroja repetidamente. Si una cabeza gira hacia arriba, el marcador se mueve una unidad hacia la derecha; si una cola gira hacia arriba, el marcador se mueve una unidad hacia la izquierda.

Mostrar que la posición al final de diez tiradas viene dada por la variable aleatoria
$X = \sum_{i = 1}^{10} I_{E_i} - \sum_{i = 1}^{10} I_{E_i^c} = 2 \sum_{i = 1}^{10} I_{E_i} - 10 = 2S_{10} - 10$

donde$E_i$ es el evento de una cabeza en el$i$ th lanzamiento y$S_{10}$ es el número de cabezas en diez ensayos.

Después de diez tiradas, ¿cuáles son las posiciones posibles y las probabilidades de estar en cada uno?

Contestar

$X_i = I_{E_i} - I_{E_i^c} = I_{E_i} - (1 - I_{E_i}) = 2I_{E_i} - 1$

$X = \sum_{i = 1}^{10} X_i = 2\sum_{i = 1}^{n} I_{E_i} - 10$

S = 0:10;
PS = ibinom(10,0.5,0:10);
X = 2*S - 10;
disp([X;PS]')
  -10.0000    0.0010
   -8.0000    0.0098
   -6.0000    0.0439
   -4.0000    0.1172
   -2.0000    0.2051
         0    0.2461
    2.0000    0.2051
    4.0000    0.1172
    6.0000    0.0439
    8.0000    0.0098
   10.0000    0.0010

Ejercicio$\PageIndex{18}$

Margaret considera cinco compras en los montos 5, 17, 21, 8, 15 dólares con probabilidades respectivas 0.37, 0.22, 0.38, 0.81, 0.63. Anne contempla seis compras en los montos 8, 15, 12, 18, 15, 12 dólares, con probabilidades respectivas 0.77, 0.52, 0.23, 0.41, 0.83, 0.58. Supongamos que las once compras posibles forman una clase independiente.

Determinar la distribución para$X$, la cantidad comprada por Margaret.
Determinar la distribución para$Y$, la cantidad comprada por Anne.
Determinar la distribución para$Z = X + Y$, el monto total que compran los dos.

Sugerencia para la parte c). Deje que MATLAB realice los cálculos.

Contestar

[r,s] = ndgrid(X,Y);
[t,u] = ndgrid(PX,PY);
z = r + s;
pz = t.*u;
[Z,PZ] = csort(z,pz);

% file npr06_18.m
cx = [5 17 21 8 15 0];
cy = [8 15 12 18 15 12 0];
pmx = minprob(0.01*[37 22 38 81 63]);
pmy = minprob(0.01*[77 52 23 41 83 58]);
npr06_18
[X,PX] = canonicf(cx,pmx);  [Y,PY] = canonicf(cy,pmy);
[r,s] = ndgrid(X,Y);   [t,u] = ndgrid(PX,PY);
z = r + s;   pz = t.*u;
[Z,PZ] = csort(z,pz);
a = length(Z)
a  =  125              % 125 different values
plot(Z,cumsum(PZ))  % See figure     Plotting details omitted