1.1: Reflexión y Refracción

El reflejo de la luz de una superficie lisa y brillante se llama reflexión especular. (Espéculo latino un espejo.) En el otro extremo tenemos el tipo de dispersión difusa que ocurre cuando haces brillar luz sobre papel secante. Y hay muchas situaciones entre estos extremos. En este capítulo voy a tratar únicamente de la reflexión especular, siendo la ley de la reflexión especular que el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Cuando la luz pasa de un medio a otro, los ángulos de incidencia y refracción, y los dos índices de refracción están relacionados por la conocida Ley de Snell,

\[n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2.\]

En este capítulo vamos a ver las leyes de reflexión y refracción desde el punto de vista del Principio de Acción Menor de Fermat, y la ley de refracción de Snell desde el punto de vista de la construcción de Huygens. Comenzaremos con la ley de reflexión (ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia).

La luz va de A a B a través de la reflexión desde un punto P en un espejo.

La distancia\(s\) recorrida viene dada por

\[s = \sqrt{a^2 +x^2} + \sqrt{a^2 + (b-x)^2}. \]

Aquí hay una gráfica de\(s\) versus\(x\) (es decir\(s\), en función de la posición del punto P desde el que se refleja la luz). El dibujo anterior se dibuja para\(a = \frac{1}{2}b \), y, en la gráfica de abajo,\(s\) y\(x\) están en unidades de b.

De la gráfica, o por diferenciación de\(s\) con respecto a\(x\) (¡hazlo!) , se observa que la longitud de la trayectoria es menor cuando\(x = \dfrac{1}{2} b\), es decir, cuando el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

De todos los caminos posibles que la luz podría tomar, el camino que realmente toma es el que tiene el camino más corto.

Ahora veamos la refracción en una interfaz.

En el dibujo, la luz está viajando de A a B, primero en un medio de índice de refracción\(n_1\) (speed =\(v_1\)) y luego en un medio de índice de refracción\(n_2\) (speed =\(v_2\)), vía el punto P.

El tiempo que se tarda en llegar de A a B es

\[t = \dfrac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1}+ \dfrac{\sqrt{b^2 +(l-x)^2}}{v_2}\]

Dado eso\(v_1 = c / n_1\) y\( v_2 = c / n_2\), esto se puede escribir

\[ct = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2 \sqrt{b^2 + (l-x)^2}.\]

Si variamos la posición de P, el tiempo tomado varía según

\[c \dfrac{dt}{dx} = \dfrac{n_1x}{\sqrt{a^2 + x^2}}-\dfrac{n_2(l-x)}{\sqrt{b^2+(l-x)}^2} = n_1 \sin\theta_1 - n_2 \sin \theta_2.\]

La ruta realmente tomada es tal que para cualquier pequeña desviación\(dx\) de la ruta realmente tomada, la variación correspondiente\(dt\) en el tiempo tomado es cero. Es decir, la derivada es cero, o\(n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2\).

En ambos casos, la reflexión y la refracción, la ruta tomada es tal que el tiempo que se toma es el menor. Este es un ejemplo del Principio de Menor Acción de Fermat. No estoy seguro de que esta sea una explicación de por qué la reflexión y la refracción suceden de la manera en que lo hacen tanto como una descripción interesante de lo que sucede en la naturaleza. Otro ejemplo del principio, de la Mecánica Clásica, es el Principio Variacional de Hamilton. La acción que toma un sistema mecánico al ir de un estado a otro es\( \int Ldt\), donde\(L\) está el lagrangiano en el momento\(t\). La ruta que realiza cualquier sistema mecánico al ir de un estado a otro es tal que cualquier pequeña desviación de esta ruta no da como resultado ningún cambio en la acción (lo que generalmente significa que la acción es mínima). Nuevamente, no estoy seguro de que esto explique por qué los sistemas mecánicos se comportan como lo hacen. Es más una descripción útil de cómo se desarrollan los eventos mecánicos.

Ahora veamos la Construcción de Huygens. Imagina que estás siguiendo el progreso de un frente de onda, y puedes ver el frente de onda en algún instante del tiempo, y que quieres saber qué pasa después. La construcción de Huygens supone que cualquier punto en el frente de onda puede considerarse como fuente puntual para una nueva perturbación.

Por ejemplo, en el dibujo de abajo, tenemos frente de onda moviéndose de arriba a abajo.

Ahora suponemos que cada punto en el frente de onda es una fuente puntual para una nueva perturbación:

La tangente a estas pequeñas ondículas es el nuevo frente de onda:

Ahora veamos la refracción en una interfaz entre dos medios.

Las líneas discontinuas verticales en A, B, C representan frentes de onda, separados por la longitud de onda\(\lambda_1\). El ángulo de incidencia es\( \theta_1\). En algún instante de tiempo, el rayo inferior alcanza el punto P, y comienza a generar una nueva ondícula. En un momento\(P\) posterior, donde\(P\) está el periodo de las oscilaciones electromagnéticas, el rayo superior ha alcanzado el punto Q, donde CQ =\( \lambda_1\), mientras que la ondícula generada en P ha alcanzado un radio\( \lambda 2\). Aquí\(\lambda_1\lambda_2 = v_1/v_2 = n_2/n_1\).

La nueva ondícula generada en Q aún no ha comenzado, o al menos está a punto de comenzar. El nuevo frente de onda se construye dibujando la tangente de Q a la ondícula generada en P. De la geometría del dibujo vemos que

\(\dfrac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2}=\dfrac{\lambda_1 \text{/PQ}}{\lambda_2 \text{/PQ}}=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}=\dfrac{n_1}{n_2},\)

y así la Ley de Snell se deriva de la Construcción Huygens. Dejo al lector decidir si esto explica lo que sucede, o simplemente describe lo que sucede. Quizás en la ciencia nunca “explicamos” la naturaleza, solo la “describimos”.