2.1: Ondas en una cuerda estirada

Antes de discutir el reflejo de la luz, será útil discutir el siguiente problema. Considere dos cuerdas, una delgada y otra gruesa, conectadas entre sí, y una onda sinusoidal que se mueve de izquierda a derecha a lo largo de las cuerdas:

La velocidad\(c\) de las olas en una cuerda bajo tensión es\(c =\sqrt{F/\mu}\), donde\(F\) está la tensión, y\(\mu\) es la masa por unidad de longitud, por lo que la velocidad y la longitud de onda son menores en la cuerda más gruesa. Llamaremos a la velocidad en la cuerda de la mano izquierda\(c_1\) y a la velocidad en la cuerda de la derecha\(c_2\). En el límite\((x = 0)\), parte de la onda se transmite, y otra se refleja. (no he dibujado la parte reflejada en el dibujo). Deseamos encontrar cuánto se transmite y cuánto se refleja. Llamaré a las amplitudes de las ondas incidentes, transmitidas y reflejadas 1,\(T\) y\(R\) respectivamente, y supongo que la onda es una onda sinusoidal de frecuencia angular\(\omega\). Las ecuaciones a las ondas incidentes, transmitidas y reflejadas son las siguientes:

\[y = \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_1}\right)\]

\[y = T \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_2}\right)\]

\[y =R \cos \omega \left(t + \dfrac{x}{c_1}\right)\]

A la derecha de la frontera, el desplazamiento en función de\(x\) y\(t\) es

\[y = T \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_2}\right)\]

y a la izquierda del límite el desplazamiento es

\[y = \cos \omega \left(t - \dfrac{x}{c_1}\right) +R \cos \omega \left(t + \dfrac{x}{c_1}\right)\]

En el límite\((x = 0)\), a menos que la cuerda rompa estos dos desplazamientos deben ser iguales, y por lo tanto

\[ T = 1 + R. \label{eq:2.1} \]

Los\(x\) -derivados (es decir, las pendientes) de las cuerdas son:

A la derecha de la frontera

\[\dfrac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{T}{c_2}\sin\omega\left(t-\dfrac{x}{c_1}\right).\]

y a la izquierda de la frontera

\[\dfrac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{A}{c_1}\sin\omega\left(t-\dfrac{x}{c_1}\right) - \dfrac{AR}{c_1}\sin \omega \left(t+\dfrac{x}{c_1}\right).\]

A menos que haya una torcedura en la cuerda en el límite, estos son iguales en\(x = 0\), y por lo tanto

\[ \dfrac{T}{c_2} = \dfrac{1}{c_1} - \dfrac{R}{c_1}. \label{eq:2.2} \]

Combinando estos con la Ecuación\ ref {eq:2.1}, obtenemos

\[T = \dfrac{2c_2}{c_2+c_1} \, \text{and} \, R = \dfrac{c_2-c_1}{c_2+c_1}. \label{eq:2.3} \]

Vemos que si\( c_2 < c_1 \),\(R\) es negativo; es decir, hay un cambio de fase en la reflexión. Si\(c_2 = c_1\) (es decir, si solo hay un tipo de cuerda) no hay reflexión (¡porque no hay límite!).

En el análisis anterior, consideramos una onda sinusoidal simple. Sin embargo, cualquier función, incluso una función no periódica, puede ser representada por una suma (quizás una suma infinita) de ondas sinusoidales, por lo que se obtendrá el mismo resultado para cualquier función.

Se espera que se conserve la energía, así que veamos. La energía en una ola es proporcional al cuadrado de su amplitud y, en el caso de una cuerda vibratoria, a la masa por unidad de longitud. Y la tasa de transmisión de energía es igual a esta veces la velocidad. Por lo tanto, la tasa de transmisión de energía es proporcional a\(A^2 \mu lc \). No obstante\(c = \sqrt{F / \mu} \),, para que el poder sea proporcional a\(A^2 / c\). Así, las potencias incidentes, transmitidas y reflejadas están en la proporción

\[ 1: \dfrac{4c_1c_2}{(c_1+c_2)^2} : \dfrac{(c_1-c_2)^2}{(c_1+c_2)^2}. \label{eq:2.4} \]

Vemos que la suma de los poderes transmitidos y reflejados es igual al poder incidente, y todo va bien con el mundo.