2.6: Incidencia en Ángulo Arbitrario.

En la Sección 4 (Incidencia en el Ángulo Brewster) quedó claro que la reflexión de la luz polarizada en el plano de incidencia fue diferente de la reflexión de la luz polarizada plana polarizada en ángulo recto con la incidencia del plano. Por lo tanto, tiene sentido, en esta sección, considerar los dos planos de polarización por separado. Supongo que ambos medios son isotrópicos (es decir, no birrefringentes).

En la siguiente discusión, supondremos que la luz está viajando de un medio de permitividad\(\epsilon_1\) a un medio de mayor permitividad\(\epsilon_2\). Ambas permeabilidades son iguales, y cercanas a\(\mu_0\). Los campos eléctricos y magnéticos de la onda incidente serán denotados por\(E\) y\(H\). Los campos eléctricos y magnéticos de la onda reflejada serán denotados por\(E_1\) y\(H_1\). Los campos eléctricos y magnéticos de la onda transmitida serán denotados por\(E_2\) y\(H_2\). (Y en caso de que se lo esté preguntando,\(H\) quiero decir\(H\), y por\(B\) lo que quiero decir\(B\).)

Comenzaremos suponiendo que la luz incidente esté polarizada en plano con el campo eléctrico perpendicular (senkrecht) al plano de incidencia. Es decir, el campo eléctrico tiene sólo un\(z\) -componente. El campo eléctrico oscilante\(E\) está indicado por puntos azules, y el campo magnético\(H\) por guiones rojos en el siguiente dibujo.

Las condiciones límite son: Para el\((z)\) componente tangencial de\(\mathbf{E}\)

\[ E + E_1 = E_2\tag{9}\label{eq:2.9} \]

Para el componente tangencial (y) de\(\mathbf{H}\)

\[ (H-H_1)\cos\theta_1 = H_2 \cos \theta_2. \tag{10}\label{eq:2.10} \]

Es decir,

\[ \dfrac{(E-E_1)}{Z_1}\cos\theta_1 = \dfrac{E_2}{Z_2}\cos \theta_2, \tag{11}\label{eq:2.11} \]

o

\[n_1(E-E_1)\cos\theta_1 = n_2E_2\cos\theta_2. \tag{12}\label{eq:2.12} \]

Eliminar\(E_2\) entre ecuaciones\(\ref{eq:2.9}\) y\(\ref{eq:2.12}\):

Amplitud reflejada:

\[\dfrac{E_1}{E} = \dfrac{n_1\cos\theta_1 - n_2\cos\theta_2}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}. \tag{13}\label{eq:2.13} \]

Usar Ecuación\(\ref{eq:2.9}\):

Amplitud transmitida

\[ \dfrac{E_2}{E} = \dfrac{2n_2\cos\theta_1}{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}. \tag{14}\label{eq:2.14} \]

Ahora supondremos que la luz incidente esté polarizada en plano con el campo eléctrico paralelo al plano de incidencia. Esto, es el campo magnético el que sólo tiene un\(z\) -componente. El campo eléctrico oscilante\(E\) está indicado por guiones azules, y el campo magnético\(H\) por puntos rojos en el siguiente dibujo.

Las condiciones de contorno son:

Para el\((z)\) componente tangencial de\(\mathbf{H}\)

\(H+H_1 = H_2\)

Es decir:

\[\dfrac{E+E_1}{Z_1} = \dfrac{E_2}{Z_2} \, \text{or} \, n_1(E+E_1) = n_2E_2. \tag{15}\label{eq:2.15} \]

Para el\((y)\) componente tangencial de\(\mathbf{E}\)

\[ (E- E_1) \cos \theta_1 = E_2\cos\theta_2. \tag{16}\label{eq:2.16} \]

Eliminar\(E_2\) entre ecuaciones\(\ref{eq:2.15}\) y\(\ref{eq:2.16}\):

Amplitud reflejada:

\[ \dfrac{E_1}{E} = \dfrac{n_2\cos\theta_1 -n_1\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}.\tag{17}\label{eq:2.17} \]

Usar Ecuación\(\ref{eq:2.15}\):

Amplitud transmitida:

\[\dfrac{E_2}{E} = \dfrac{2n_1\cos\theta_1}{n_2\cos\theta_1+n_1\cos\theta_2}. \tag{18}\label{eq:2.18} \]

Estas son las Ecuaciones de Fresnel, reunidas a continuación:

Perperpendicular (Senkrecht)

Amplitud reflejada:

\(\dfrac{E_1}{E} = \dfrac{n_2\cos\theta_1 -n_2\cos\theta_2}{n_2\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}.\)

Amplitud transmitida:

\(\dfrac{E_2}{E} = \dfrac{2n_1\cos\theta_1 }{n_1\cos\theta_1+n_2\cos\theta_2}.\)

Paralelo

Amplitud reflejada:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ \dfrac{n_{2}\cos\theta_{1}\ -n_{1}\cos\theta_{2}}{n_{2}\cos\theta_{1}\ +n_{1}\cos\theta_{2}}\).

Amplitud transmitida:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2n_{1}\cos\theta_{1}}{n_{2}\cos\theta_{1}\ +n_{1}\cos\theta_{2}}\).

Evidentemente, dependen únicamente de la relación de los índices de refracción (es decir, el índice de refracción de un medio con respecto al del otro). Si escribimos\(n= n_2/n_1\), las ecuaciones se convierten en

Perperpendicular (Senkrecht)

Amplitud reflejada:

\( \dfrac{E_{1}}{E} = \dfrac{\cos\theta_{1} -n\cos\theta_{2}}{\cos\theta_{1} +n\cos\theta_{2}}\).

Amplitud transmitida:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2\cos\theta_{1}}{\cos\theta_{1}\ +n\cos\theta_{2}}\).

Paralelo

Amplitud reflejada:

\( \dfrac{E_{1}}{E} = \dfrac{n\cos\theta_{1} -\cos\theta_{2}}{n\cos\theta_{1} +\cos\theta_{2}}\).

Amplitud transmitida:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2\cos\theta_{1}}{n\cos\theta_{1}\ +\cos\theta_{2}}\).

Para la incidencia normal, las proporciones para el componente senkrecht llegan a ser\( \dfrac{1\ -\ n}{1\ +\ n}\) y\( \dfrac{2}{1\ +\ n}\) como se esperaba. Las relaciones para el componente paralelo, sin embargo, se convierten\( \dfrac{n\ -\ 1}{n\ +\ 1}\) y\( \dfrac{2}{1\ +\ n}\), aparentemente, no predicen ningún cambio de fase en la reflexión externa para el componente paralelo. Esto sólo es evidente, sin embargo, y la explicación de la aparente anomalía se da en las pp. 20-24.

Se señalará que también\( n,\ \theta_{1},\ \theta_{2}\) están relacionados por la ley de Snell:\( \sin\theta_{1}\ =\ n\sin\theta_{2}\), para que podamos eliminar\( n\) de las ecuaciones de Fresnel para expresarlas en términos de los ángulos de incidencia y refracción únicamente. Si se hace esto obtenemos:

Perperpendicular (Senkrecht):

Amplitud reflejada:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ -\dfrac{\sin(\theta_{1}\ -\theta_{2})}{\sin(\theta_{1}\ +\theta_{2})}\).

Amplitud transmitida:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ = \dfrac{2\sin\theta_{2}\cos\theta_{1}}{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})}\ =\ \frac{2}{1\ +\frac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}}\).

Paralelo

Amplitud reflejada:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ -\dfrac{\tan(\theta_{1}\ -\theta_{2})}{\tan(\theta_{1}\ +\theta_{2})}\).

Amplitud transmitida:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ = \dfrac{2\sin\theta_{2}\cos\theta_{1}}{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\cos(\theta_{1}\ -\theta_{2})}\).

En quizás la forma más útil de todas, podríamos eliminar\( \theta_{2}\) de las ecuaciones de Fresnel y de ahí obtenerlas como funciones de\( \theta_{1}\) y\( n\) solo. Esto nos permitirá calcular fácilmente las amplitudes reflejadas y transmitidas en términos del ángulo de incidencia. Así:

Perperpendicular (Senkrecht)

Amplitud reflejada:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\ -\dfrac{(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}\ -\cos\theta_{1}}{(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}\ +\cos\theta_{1}}\)

Amplitud transmitida:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ -\dfrac{2\cos\theta_{1}}{(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}\ +\cos\theta_{1}}\).

Paralelo

Amplitud reflejada:

\( \dfrac{E_{1}}{E}\ =\dfrac{n^{2}\cos\theta_{1}\ -(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}{n^{2}\cos\theta_{1}\ +(n^{2}\ -\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}\).

Amplitud transmitida:

\( \dfrac{E_{2}}{E}\ =\ \dfrac{2n\cos\theta_{1}}{n^{2}\cos\theta_{1}+(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}\).

Las curvas negras son las amplitudes de las ondas reflejadas.

Las curvas azules son las amplitudes de las ondas transmitidas.

Las curvas continuas son para ondas senkrecht (perpendiculares).

Las curvas discontinuas son para ondas paralelas.

Los valores negativos muestran donde hay un desplazamiento de fase de 180º en la reflexión. Observe que, en el ángulo de Brewster (aproximadamente 56º), no se refleja ninguno de los componentes paralelos.

A 90º (incidencia de pastoreo) no se transmite luz; todo se refleja, pero con un cambio de fase (amplitud negativa).

Consideraciones energéticas

Recordemos que para el componente paralelo, las amplitudes incidentes, reflejadas y transmitidas están en la proporción

\( E \quad:\quad E_{1} \quad : \quad E_{2}=1 \quad : \quad -\dfrac{(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}-\cos\theta_{1}}{(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}+\cos\theta_{1}} \quad : \quad \dfrac{2\cos\theta_{1}}{(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}+\cos\theta_{1}}\)

y para el componente senkrecht están en la proporción

\( E \quad:\quad E_{1} \quad : \quad E_{2}=1 \quad : \quad \dfrac{n^{2}\cos\theta_{1}-(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}{n^{2}\cos\theta_{1}+(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}} \quad : \quad \dfrac{2\cos\theta_{1}}{n^{2}\cos\theta_{1}+(n^{2}-\sin^{2}\theta_{1})^{\frac{1}{2}}}\)

(Aquí\( n\ =\ \dfrac{n_{2}}{n_{1}}\).)

Supongamos que la luz incidente incide en la interfaz en un área\(A\). Eso significa que la luz incidente y reflejada están cada una en haces de área de sección transversal\( A\cos\theta_{1}\), y la luz transmitida está en un haz de área transversal\( A_{2}\). Vamos a calcular la relación\( P \quad : \quad P_{1} \quad: \quad P_{2}\) de la tasa de transmisión de energía (potencia) en cada haz; y si hacemos nuestro álgebra correctamente, deberíamos encontrarla\( P_{1}\ +\ P_{2}\ =\ P\).

Recordemos que la energía por unidad de volumen en un campo eléctrico es proporcional a\( \epsilon E^{2}\), donde\( \epsilon\), la permitividad, es proporcional al cuadrado del índice de refracción. La potencia transmitida por cada haz es proporcional a la energía por unidad de volumen, multiplicada por la velocidad de transmisión (que es inversamente proporcional al índice de refracción), y al área de sección transversal del haz.

Por lo tanto, para el componente paralelo y para el componente senkrecht,

\( P\ \ :\ \ P_{1} \ \ :\ \ P_{2}=n_{1}E^{2}\cos\theta_{1} \ \ :\ \ n_{1}E_{1}^{2}\cos\theta_{1} \ \ :\ \ n_{2}E_{2}^{2}\cos\theta_{2}\)

Normalizando esta expresión para que\( P\ =\ 1\), obtengamos

\( P\ \ :\ \ P_{1} \ \ :\ \ P_{2}=1 \ \ :\ \ \left(\dfrac{E_{1}}{E}\right)^{2} \ \ :\ \ n\left(\dfrac{E_{2}}{E}\right)^{2}\dfrac{\cos\theta_{2}}{\cos\theta_{1}}\).

Estos se muestran a continuación para\( n\) = 1.5, y de hecho\( P_{1}\ +\ P_{2}\ =\ P\) para cada componente, y la energía se conserva.

Observe que en la incidencia de pastoreo tenemos reflexión externa total.

Las curvas negras son los coeficientes de reflexión de las ondas reflejadas.

Las curvas azules son los coeficientes de transmisión de las ondas transmitidas.

Las curvas continuas son para ondas senkrecht (perpendiculares).

Las curvas discontinuas son para ondas paralelas.

En el ángulo de Brewster no se reflejan ondas paralelas.

Para la luz que va de\( n_{1}\ =\ 1.5\) a\( n_{2}\ =\ 1\):

Las curvas negras son los coeficientes de reflexión de las ondas reflejadas.

Las curvas azules son los coeficientes de transmisión de las ondas transmitidas.

Las curvas continuas son para ondas senkrecht (perpendiculares).

Las curvas discontinuas son para ondas paralelas.

Para ángulos de incidencia mayores a 42 grados (el ángulo crítico para la reflexión interna total) se refleja toda la luz. La fase de esta luz totalmente reflejada es algo que aún no hemos discutido.

Vuelvo ahora a la reflexión externa y a las gráficas, repetidas a continuación, que muestran las amplitudes reflejadas y transmitidas de los componentes paralelos y senkrecht. Las curvas azules muestran las amplitudes transmitidas, y no hay problema con ellas. Las amplitudes son todas positivas, lo que significa que las ondas transmitidas no tienen cambio de fase en el límite. Mis alumnos señalaron una aparente paradoja con la curva negra discontinua, que es la amplitud reflejada del componente paralelo. Es positivo, indicando (aparentemente) ningún cambio de fase, incluso con incidencia normal -y sin embargo sabemos que debe haber un cambio de fase para la luz reflejada a incidencia normal. Mis alumnos exigieron (y con razón) una explicación. La aparente anomalía también se observó en la p.15. Siguiendo el diagrama está la solución que ofrezco.

Cuando describimos el estado de polarización de la luz, ya sea lineal, circular o elíptica, nos referimos por conveniencia y necesidad a un sistema de coordenadas en el que el\( z\) eje está en la dirección del rayo, y el\( xy\) plano es perpendicular a éste. Se supone que el observador está en el\( z\) eje positivo mirando hacia la fuente de luz:

Considera que un rayo desciende en un ángulo pronunciado con respecto a una superficie de agua. Supongamos que en algún instante de tiempo el vector eléctrico justo encima de la superficie es como lo muestra la pequeña flecha azul de abajo.

¿Qué ve nuestro observador (que está debajo del agua) y cómo describe el estado de polarización? Esto es lo que ve:

Ahora la luz se refleja, el observador cambia de posición, y mira el agua desde arriba.

Y esto es lo que ve:

Y así no ha habido cambio de fase.

¿O ahí?

Se podría decir que ha habido un cambio de fase, pero parece que no lo ha habido. En efecto, antes y después, estamos refiriendo la situación a dos marcos de referencia, uno de los cuales es la imagen especular del otro.

Verás que esta aparente paradoja no surge con el componente senkrecht.

Hasta ahora hemos considerado la reflexión y transmisión de la luz que inicialmente fue polarizada plana ya sea paralela al plano de incidencia, o perpendicular (senkrecht) al mismo. Supongamos que la luz incidente es plano polarizado en una dirección 45º a los planos paralelos y senkrecht. Podemos resolverlo en componentes paralelos y senkrecht, cada uno de amplitud\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\). Suponemos que el ángulo de incidencia es\( \theta_{1}\), y el ángulo de refracción, que se calcula fácilmente a partir de la Ley de Snell, lo es\( \theta_{2}\). Y así no ha habido cambio de fase.

Después de la reflexión, las amplitudes del componente paralelo serán\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{\tan(\theta_{1}-\theta_{2})}{\tan(\theta_{1}+\theta_{2})}\).

y la amplitud del componente senkrecht será\( -\dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{\sin(\theta_{1}-\theta_{2})}{\sin(\theta_{1}+\theta_{2})}\).

A partir de estos podemos calcular la amplitud resultante de la onda reflejada así como su dirección de polarización (que es bastante diferente del plano de polarización de la onda incidente).

La luz transmitida tendrá un componente paralelo de amplitud

\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{2\sin\theta_{2}\cos\theta_{1}}{\sin(\theta_{1}\ +\ \theta_{2})\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}\)

y un componente senkrecht de amplitud

\( \dfrac{E}{\sqrt{2}}\ \times\ \dfrac{2}{1\ +\ \dfrac{\tan\theta_{1}}{\tan\theta_{2}}}\).

A partir de estos podemos calcular la amplitud resultante de la onda transmitida así como su dirección de polarización (que, en cuanto a la onda reflejada, se encuentra en un plano diferente al plano de polarización de la onda incidente).

Aquí se muestran las magnitudes (sin tener en cuenta el signo) de los coeficientes de reflexión de amplitud y transmisión, y las direcciones de polarización para la onda reflejada y transmitida, en función del ángulo de incidencia\( \theta_{1}\), asumiendo\( n\ =\ \frac{n_{2}}{n_{1}}\ =1.5\).

A la incidencia de pastoreo\( \theta_{1}\) = 90º, se refleja toda la luz. Si bien no tiene significancia particular, observamos que, para\( n\) = 1.5, los coeficientes de amplitud de reflexión y transmisión son iguales (a 0.4544) para un ángulo de incidencia igual a 72º.464. A excepción de la incidencia normal y de pastoreo, los coeficientes de amplitud de reflexión y transmisión no se suman exactamente a uno. Si bien existe un requisito para que se conserve la energía, no existe un requerimiento similar para las amplitudes.

A medida que el ángulo de incidencia va de cero (incidencia normal) a 90º (incidencia de pastoreo), el plano de polarización de la onda reflejada va de

Obsérvese que, para la incidencia normal, la onda reflejada tiene un cambio de fase para el componente senkrecht, pero (aparentemente) no para el componente paralelo, como se explicó anteriormente.

El plano de polarización de los transmitidos se mueve ligeramente desde los 45º iniciales a 56º.6 (el ángulo Brewster) en la incidencia de pastoreo, aunque esto tiene poca significación ya que no se transmite luz en la incidencia de pastoreo.

Como se describe en\( \ref{eq:2.17}\) -\( \ref{eq:2.18}\), si las amplitudes incidentes, reflejadas y transmitidas están en la proporción\( \), y las potencias correspondientes están en la proporción\( \), entonces

\( P\ \ :\ \ P_{1} \ \ :\ \ P_{2}=1 \ \ :\ \ \left(\dfrac{E_{1}}{E}\right)^{2} \ \ :\ \ n\left(\dfrac{E_{2}}{E}\right)^{2}\dfrac{\cos\theta_{2}}{\cos\theta_{1}}\)

Estos se muestran a continuación para\( n\) = 1.5.

Recordemos que en estos cálculos, se ha supuesto que la luz incidente está polarizada en plano a 45º a los planos paralelo y senkrecht, de manera que las componentes de amplitud paralela y senkrecht de la luz incidente son iguales. La luz incidente completamente no polarizada también tiene componentes iguales de amplitud paralela y senkrecht, de manera que la gráfica anterior también muestra los coeficientes de reflexión y transmisión para la luz incidente no polarizada. Para\( n\) = 1.5, los coeficientes de reflexión y transmisión son iguales para un ángulo de incidencia de 82º.82. Para cualquier ángulo de incidencia inferior a 60º, se transmite mucha más luz que reflejada., pero, en el límite como\( \theta_{1}\rightarrow90^{\circ}\), se refleja toda la luz.

A continuación se muestran los coeficientes de reflexión y transmisión de reflexión interna para ángulos de incidencia desde cero hasta el ángulo crítico, que para\( n\) = 1.5 es 41º.8. Esto se logra simplemente sustituyendo 1.5 por\( \frac{2}{3}\) en los cálculos.