3.1: Espiral de Cornu

Si un haz paralelo de luz de una fuente distante encuentra un obstáculo, la sombra del obstáculo no es una simple sombra geométrica sino que es, más bien, un patrón de difracción. Por ejemplo, es bien sabido que el patrón de difracción formado por una hendidura se parece a la función mostrada en la Figura 1.

La difracción de S uc h se llama difracción de Fraunhofer.

I f, howe ver, la fuente de luz no está distante, sino que está cerca del obstáculo de difracción para que las ondas incidentes no sean ondas planas, el patrón de difracción se verá algo diferente. Tal difracción se llama difracción de Fresnel, y su teoría es, como era de sorprender, un poco más difícil que la teoría para la difracción de Fraunhofer.

Si la fuente de luz es una fuente puntual, de manera que los frentes de onda incidentes son esféricos, la teoría cuantitativa detallada no es nada fácil. Si los frentes de onda incidentes, sin embargo, son cilíndricos (digamos de una fuente lineal) el análisis, que es bidimensional, es un poco más manejable. La espiral de Cornu es un dispositivo gráfico que nos permite calcular y predecir el patrón de difracción de Fresnel a partir de varios obstáculos simples.

“C o nu”, por cierto, es francés para “cuernos”, y también puede significar “espiral”, es decir, como los cuernos de una oveja cimarrón o de un íbice. Debido a esto me pregunté, cuando escuché por primera vez sobre la espiral de Cornu, si realmente debería llamarse una “espiral cornu”, en lugar de la espiral de Cornu. Sin embargo, se le llama correctamente la espiral de Cornu después de una verdadera científica francesa del siglo XIX, Marie Alfred Cornu. Las propiedades matemáticas de la espiral habían sido examinadas por diversos matemáticos (por ejemplo, Euler) antes de Cornu, pero ha adquirido el nombre de Cornu por su aplicación por Cornu a la teoría de la difracción de Fresnel.

L e t us l ook, en la Figura III.2, en la geometría de un frente de onda cilíndrico de una fuente lineal en O.

Introducir una variable\(v\) adimensional

\[ v=\sqrt{\frac{2(a+b)}{ab\lambda}}\ s. \tag{1}\label{3.1}\]

donde e\( \lambda\) es la longitud de onda de la luz.

El ory muestra que la intensidad (cuadrado de la amplitud) de la radiación recibida en el punto\( P_{0}\) fr om t la porción AB de la longitud\( s\) del arco del frente de onda es proporcional a

\[ \left(\int_{0}^{v}\cos\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du\right)^{2}\ +\ \left(\int_{0}^{v}\sin\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du\right)^{2}. \tag{3}\label{3.3}\]

Aquí

\[ C\ =\ \int_{0}^{v}\cos\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du \quad \text{and} \quad S\ =\ \int_{0}^{v}\sin\dfrac{1}{2}\pi u^{2}du \tag{4}\label{3.4}\]

son las integrales de Fresnel.

La derivación de la Ecuación (\( \ref{3.3}\)) puede ser algo pesada, y la relegaremos al Apéndice A al final de este capítulo. Por el momento, aceptaremos la Ecuación (\( \ref{3.3}\)) como correcta, y veremos cómo usarla para construir la espiral de Cornu y cómo la espiral puede ser utilizada para calcular las formas de las sombras producidas por diversos obstáculos. En Ecuaciones (\( \ref{3.4}\)),\( u\) es solo una variable ficticio. \(C\)y\(S\) son funciones de\( v\), que es proporcional a\( s\). Deben integrarse numéricamente, y he proporcionado una breve tabla de ellas en el Apéndice B.

La espiral de Cornu es una gráfica de\(S\) versus\(C\). En la figura III.3 se muestra dicha gráfica. En la literatura existen mejores, pero ésta bastará para mostrar cómo se usa. No obstante, en breve sugeriré que, si bien es divertido usar la espiral, para un trabajo preciso es preferible computar las formas de las sombras numéricamente en lugar de gráficamente. La espiral era útil en los días previos a las computadoras de alta velocidad, pero hoy en día se pueden calcular las integrales de Fresnel instantáneamente, y de ahí podemos calcular las formas de la sombra, usando la espiral tal vez para guiarnos. Sin embargo, una palabra de advertencia. El cálculo rápido y preciso de las integrales de Fresnel requiere cierto cuidado en la programación, ya que el integrando cambia rápidamente con la variable u. Al preparar las gráficas y tablas de esta nota, encontré que la Regla de Simpson era inadecuada -funcionó siempre que usara un gran número de intervalos, pero esto se ralentizó abajo del cómputo. Pude obtener mejores y más rápidos resultados con cuadratura gaussiana.

La variable adimensional\( v\) (que es proporcional a\( s\) - ver Ecuación\( \ref{3.1}\)) se mide a lo largo de la espiral. He dibujado puntos en la espiral por cada incremento de 0.1 pulg\( v\). No he etiquetado los valores numéricos de\( v\) al lado de los puntos, pero siéntete libre de hacerlo si lo deseas. Tenga en cuenta que, como\( v\rightarrow\pm\infty\),\( C\) y\( S\rightarrow\pm\dfrac{1}{2}\). La intensidad a\( P\) es proporcional al cuadrado de la distancia entre estos dos puntos limitantes (\( \frac{1}{2}\),\( \frac{1}{2}\)) y (\( -\frac{1}{2}\),\( -\frac{1}{2}\)). La distancia entre estos puntos es\( \sqrt{2}\), y el cuadrado de la distancia es 2. Así, sin obstáculos entre la fuente y el punto\(P\), la amplitud de la radiación at\(P\) es\( \sqrt{2}\) (unidades arbitrarias), y la intensidad a\(P\) es de 2 (unidades arbitrarias).

En lo que sigue, vamos a poner tres obstáculos frente a la fuente de luz y vamos a calcular el patrón de difracción de Fresnel (es decir, la estructura de la sombra). Los tres obstáculos serán un solo borde recto, una hendidura entre dos bordes rectos y una tira opaca:

Recordemos todo el tiempo que la distancia s a lo largo del frente de onda está linealmente relacionada con la distancia a\( v\) lo largo de la espiral de Cornu.

Empezaremos con el borde recto único.

En el punto\( P_{0}\) vemos toda la parte superior del frente de onda. Es decir, vemos a lo largo de la espiral de Cornu desde\( v=0\) donde converge la espiral en\( C\ =\ \frac{1}{2}\),\( S\ =\ \frac{1}{2}\). La amplitud de la radiación a\(P\) es proporcional a la distancia entre estos dos puntos, es decir\( \frac{1}{\sqrt{2}}\), y la intensidad a\(P\) es proporcional al cuadrado de este, que es\( \frac{1}{2}\), que es una cuarta parte de la intensidad cuando la luz no estaba obstruida por ningún obstáculo.

Ahora veamos cuál es la intensidad en un punto\(P\) algo muy por encima del eje (Figura 5).

La distancia\( s\) es ahora debe medirse no desde el borde del obstáculo, sino desde el punto Q. En P vemos más del frente de onda que lo hicimos en\( P_{0}\). Vemos todo lo\( s\) anterior Q, así como algunos valores negativos de por\( s\) debajo de Q. La amplitud a P, entonces, corresponde a la longitud de la cuerda en la Figura III.6, en la que lo negativo\( v\) se relaciona con lo negativo\( s\) por la Ecuación (\( \ref{3.1}\)). Vemos que, a medida que avanzamos P hacia arriba en la Figura 5, tomamos cada vez más negativos\( s\), y cada vez más negativos\( v\) en la espiral de Cornu.

Así, a medida que P se mueve hacia arriba en la Figura 5, mantenemos fijo el extremo superior de la cuerda en la Figura 6 y movemos el extremo inferior alrededor de la espiral. La longitud de la cuerda es proporcional a la amplitud de la luz recibida en P, y su cuadrado es proporcional a su intensidad.

Podemos e una regla y la espiral para determinar la intensidad en función de\( v\) y por lo tanto de\( s\), y este habría sido un procedimiento apropiado antes de la llegada de las computadoras de alta velocidad. Para delinear la intensidad en función de\( \text{v}\) por computadora, a medida que nos movemos a lo largo de la espiral, para cada valor de\( \text{v}\) calculamos\( C\)\( S\) y luego calculamos la intensidad a partir de los squ son de la longitud de la cuerda, que es

\[ \left(\dfrac{1}{2}-C\right)^{2}\ +\ \left(\dfrac{1}{2}-S\right)^{2}.\]

Thi s es lo que hice fo r Figura 7 excepto que dividí esta expresión por dos, de manera que una intensidad de un rep resiente la intensidad a\( P_{0}\) la ausencia de cualquier obstáculo. Un lector que intente duplicar esto pronto apreciará el valor de programar un método rápido y preciso de evaluar las integrales de Fresnel.

Th e po rtion a la derecha de\( v\ =\ 0\) está dentro de la sombra geométrica.

No w veremos qué sucede cuando el obstáculo es una hendidura entre dos bordes rectos. Supondremos que el ancho de la hendidura es\( \Delta s\), correspondiente a una distancia a lo largo del spi ral\( \Delta v\ =\ \sqrt{\frac{2(a+b)}{ab\lambda}}\ \Delta s\). En los cálculos que he hecho a continuación, he tomado\( \Delta v\) t o ser 4.0. El punto P (ver Figura 8) está recibiendo energía de la parte del wav efront entre\( s\ -\ \Delta s\) una d\( s\), correspondiente a una cuerda en la espiral que abarca un distán ce\( \Delta v\) a lo largo de la espiral. A medida que el punto P se mueve hacia arriba a lo largo de la pantalla, así el acorde se desliza alon g la espiral (ver Figura 9), manteniendo\( \Delta v\) const ant

Para cada posición del acorde, necesitamos calcular las integrales de Fresnel\( C_{u}\), \( S_{u}\) of the upper end of the chord and the Fresnel integrals \( C_{l}\),\( S_{l}\) of the lower end of the chord and then calculate the square of the length of the chord (and then divide by two, so that an intensity of 1 is the intensity when the light is unobstructed). That is, we calculate

\( \dfrac{1}{2}\left[(C_{u}-C_{l})^{2}\ +\ (S_{u}\ -S_{1})^{2}\right]\)

I got the result shown in Figure 10, using a slit width corresponding to \( \Delta v =\ 4\).

The positions \( v =\ \pm 2\) correspond to the edge of he geometric shadow. The intensity has not fallen to zero there - some light spills over into the geometric shadow.

The details of the diffraction pattern are very sensitive to the value of \( \Delta v\). That is to say to \( \Delta s\). That is to say to the slit width. Figure 11, for example, shows the same calculation but for \( \Delta v\ =\ 3.9\) rather than 0.4.

As the slit width is changed, sometimes there will be a dip at \( v\ =\ 0\), and sometimes a maximum. Generally, a large \( \Delta v\) results in a more complicated pattern, and a smaller \( \Delta v\) results in a simpler pattern. As \( \Delta v\) becomes smaller, the pattern approaches the familiar Fraunhofer diffraction pattern for a slit, as in Figure 1.

Now let us choose as the obstacle a single opaque strip. I’ll make the width of the strip equal to the width of the slit in the example of Figure 10, which corresponds to a distance along the spiral of \( \Delta v\ =\ 4\). Instead of sliding the chord of Figure III.10 along the spiral, we have to slide the two complementary chords shown in Figure 12. We have to calculate the same Fresnel integrals \( C_{u},\ S_{u},\ C_{l},\ S_{l}\) as before, but this time the resultant of the two, added as vectors, and normalized so that the unobstructed intensity is 1, is \( \dfrac{1}{2}\left[(1-C_{u}+C_{l})^{2}\ +\ (1-S_{u}\ +S_{1})^{2}\right]\). I obtain the result shown in Figure 13.

The key to doing these calculations successfully is to have an efficient, fast and accurate routine for calculating the Fresnel integrals. In each of these graphs each of the Fresnel integrals (sine and cosine) was calculated by numerical integration about 400 times. I found Simpson’s Rule was inadequate, so I used Gaussian Quadrature.

APPENDIX A

In the above notes, I have described what the Fresnel integrals and the Cornu spiral are, and how to use them in some simple cases. I have not shown why it is that the diffraction patterns can be generated by the Fresnel integrals, or how to derive Equation (\( \ref{3.3}\)). I hope sometime to derive this and explain the rationale behind the theory in this Appendix at some later date. I’m afraid I can’t say when I expect to get round to doing this. Could be this year, next year, sometime, never...

APPENDIX B

The Fresnel Integrals

v	C	S
0.10	0.1000	0.0005
0.20	0.1999	0.0042
0.30	0.2994	0.0141
0.40	0.3975	0.0334
0.50	0.4923	0.0647
0.60	0.5811	0.1105
0.70	0.6597	0.1721
0.80	0.7228	0.2493
0.90	0.7648	0.3398
1.00	0.7799	0.4383
1.10	0.7638	0.5365
1.20	0.7154	0.6234
1.30	0.6385	0.6863
1.40	0.5431	0.7135
1.50	0.4453	0.6975
1.60	0.3655	0.6389
1.70	0.3238	0.5492
1.80	0.3336	0.4509
1.90	0.3945	0.3733
2.00	0.4883	0.3434
2.10	0.5816	0.3743
2.20	0.6363	0.4557
2.30	0.6266	0.5532
2.40	0.5550	0.6197
2.50	0.4574	0.6192
2.60	0.3889	0.5500
2.70	0.3925	0.4529
2.80	0.4675	0.3915
2.90	0.5624	0.4101
3.00	0.6057	0.4963
3.10	0.5616	0.5818

3.20	0.4663	0.5933
3.30	0.4057	0.5193
3.40	0.4385	0.4296
3.50	0.5326	0.4152
3.60	0.5879	0.4923
3.70	0.5419	0.5750
3.80	0.4481	0.5656
3.90	0.4223	0.4752
4.00	0.4984	0.4205
4.10	0.5737	0.4758
4.20	0.5417	0.5632
4.30	0.4494	0.5540
4.40	0.4383	0.4623
4.50	0.5260	0.4343
4.60	0.5672	0.5162
4.70	0.4914	0.5671
4.80	0.4338	0.4967
4.90	0.5002	0.4351
5.00	0.5636	0.4992
5.10	0.4998	0.5624