4.1: Luz Polarizada y los Parámetros Stokes

Supongamos que deseamos caracterizar un haz de luz monocromática paralela. Una descripción del mismo debe incluir lo siguiente.

* I t s longitud de onda o frecuencia. Su longitud de onda depende del índice de refracción del material en el que se desplaza, mientras que su frecuencia no. Por lo tanto, si se da la longitud de onda, se debe especificar el medio. Puede que no siempre se realice, pero la mayoría de las tablas de longitudes de onda de las líneas espectrales en la región visible del espectro se dan para el aire y no para el vacío. [En realidad para algo llamado “Standard Air” - detalles de los cuales se pueden encontrar en http://orca.phys.uvic.ca/~tatum/stellatm/atm7.pdf ] S pec i fying la frecuencia en lugar de la longitud de onda elimina la posible ambigüedad. Los espectroscopistas suelen citar el número de onda al vacío, que es el recíproco de la longitud de onda del vacío.

* I ts densidad de flujo en W m ⁻². Esta s está relacionada con la intensidad del campo eléctrico de la onda electromagnética, de una manera que se discutirá más adelante en el capítulo.

* I ts estado de polarización. En este capítulo, la luz polarizada se tomará en general como luz polarizada elípticamente, que incluye la luz polarizada circular y linealmente (plana) como casos especiales. El estado de polarización se puede describir especificando

* la centricidad ec de la elipse de polarización

* t él o ientación de la elipse de polarización

* t la c hiralidad (mano) de la elipse de polarización

* donde la polarización es total o parcial y, si es parcial, el grado de polarización.

Hasta t o e incluyendo la Ecuación (\(\ref{A15}\)) (página 8) asumiremos que la polarización es total. Después de eso veremos la polarización parcial.

La luz polarizada pol se describe generalmente suponiendo que, en algún punto del espacio, la punta del vector que representa la intensidad del campo eléctrico describe una elipse Lissajous (Figura IV.1).

En el dibujo el semieje mayor a representa el mayor valor de la intensidad del campo eléctrico, en voltios s por metro, durante un ciclo, y el semieje menor\( b\) representa el menor valor de la intensidad del campo eléctrico durante el ciclo. Si lo prefieres, podrías usar símbolos como\( E_{max}\) un nd\( E_{min}\) i nst ead de\( a\) y\( b\).

A fin de describir la elipse, necesitamos describir su tamaño, su forma, su orientación y su quiralidad o mano (es decir, si el vector gira en sentido horario o antihorario).

La forma na tural de hacer esto es dar la longitud\( a\) del semieje mayor (en voltios por metro), la ecce nt ricidad del (\( e\ =\ \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\)), el ángulo\( \theta\) que el eje mayor hace con el hor izontal, y tal vez una de las palabras “en sentido horario” o “antihorario”. Será necesario, sin embargo, dejar claro si usted, el observador, está mirando hacia la fuente de luz, o está mirando en la dirección de desplazamiento de la luz. No todos usan la misma convención en este asunto, y la responsabilidad recae en el escritor para dejar en claro qué convención está usando. En este capítulo asumiré que estamos mirando hacia la fuente de la luz. En la Figura IV.1, he dibujado el e lli pse wit h\( \frac{b}{a}\ =\ \frac{1}{2}\) (\( e\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}\ =\ 0.8660\)) y\( \theta\ =\ 30^{\circ}\).

[Desde que escribí el párrafo anterior, recibí en diciembre de 2015 un memorándum de la Unión Astronómica Internacional en el que se afirma que desde hace mucho tiempo existe una convención de la UAI de que el ángulo de posición debe ser considerado positivo en sentido contrario a las agujas del reloj para un observador que mira hacia la fuente de luz. Esta es de hecho la convención que utilizo en estas notas. El memorando de la IAU, sin embargo, señaló que algunos científicos que investigan la polarización de la Radiación de Fondo Cósmico han estado utilizando la convención opuesta, y en consecuencia la IAU reitera su recomendación de que todos los astrónomos, incluidos los que trabajan en el CBR, utilicen la convención anterior. Este es un buen ejemplo de lo que quise decir en el párrafo anterior. Yo enfatizaría que, aunque exista una convención de la UAI -una que apoyo firmemente- le corresponde a USTED, cerciorarse, si desea que sus lectores le entiendan, que quede claro sin ambigüedades, cada vez que escriba sobre polarización, en cuanto a qué convención está utilizando. Y no se limite a decir “la convención de la IAU”. Digamos que los ángulos se consideran positivos si aumentan en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se está mirando hacia la fuente de luz. ¡Espero que los árbitros y editores hagan cumplir esto!]

No hemos dicho que la densidad de flujo del haz esté relacionada con la intensidad del campo eléctrico de la onda agnética el ec t r om. En este párrafo y en el siguiente exploramos esta relación. Supongamos, para) ex a m pl e, que la luz está polarizada en plano, y que el valor máximo del campo eléctrico es\( \hat{E}\) volt s. su valor cuadrático medio durante un ciclo es\( \overline{E\ ^{2}}\ =\ \frac{1}{2}\hat{E}\ ^{2}\). El e nergy por unidad de volumen es\( \frac{1}{2}\ \epsilon\ \overline{E\ ^{2}}\ =\ \frac{1}{4}\ \epsilon\ \hat{E}\ ^{2}\ \text{J m}^{-3}\), donde e\( \epsilon\) es la permitividad del medio en el que la radiación es trave lling. Si se mueve a velocidad\( v\), la densidad de flujo de la viga es\( \frac{1}{4}\ v\epsilon\ \hat{E}\ ^{2}\ \ \text{W m}^{-2}\). El spee d de una onda electromagnética en un medio de permitividad\( \epsilon\) y permeabilidad\( \mu\) viene dado por\( v\ =\ \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}\), por lo que esta expresión se convierte\( \frac{1}{4}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\hat{E}\ ^{2}\ =\ \frac{\hat{E}\ ^{2}}{4Z}\), donde\( Z\ =\ \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}}\) está la impedancia (en el s e ns e utilizado en la teoría electromagnética) de la mediano. Para la mayoría de los medios transparentes,\( \mu\) está muy cerca de\( \mu_{0}\). t la permeabilidad del espacio libre. Este no es el caso de la permitividad, que suele oscilar entre 1 y algunas decenas de veces\( \epsilon_{0}\). F o un vacío, la impedancia tiene un valor de aproximadamente 377\( \Omega\).

Si la luz es polarizada ilíticamente, la expresión para la densidad de flujo será\( \frac{a^{2}\ +\ b^{2}}{4Z}\), donde\( a\) y\( b\) a re los campos eléctricos descritos en párrafos anteriores. Que la luz polarizada en el plano\( \hat{E}\ ^{2}\) fo r puede b e reemplazarse por\( a^{2}\ +\ b^{2}\) fo r luz polarizada elípticamente debería hacerse evidente más adelante mientras se analiza en g la propiedad del círculo director de una elipse.

Si bien esos parámetros pueden ser los obvios para usar en la descripción del estado de polarización, lo cierto es que ninguno de ellos es directamente medible. Lo que podemos medir con relativa facilidad es la intensidad de la luz cuando se ve a través de un filtro polarizador orientado en varios ángulos. Lo que podemos medir son cuatro parámetros conocidos como el parámetro Stokes s, que describiremos en breve. Podemos medir los parámetros de Stokes, y entonces será nuestra tarea determinar a partir de estos la excentricidad, orientación y quiralidad de la elipse de polarización, y el grado de polarización.

Befo re describiéndolos, una palabra sobre notación.

Los símbolos tradicionales utilizados para describir los parámetros de Stokes son IQ UV . Th ese puede parecer algo fortuito, por lo que algunos autores modernos prefieren un\( S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\ S_{4}\) whil e más sistemático algunos prefieren\( S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ S_{3}\). Si utilizas la\( S\) notación moderna, te recomendaría (fuertemente)\( S_{0},\ S_{1},\ S_{2},\ S_{3}\) sobre\( S_{1},\ S_{2},\ S_{3},\ S_{4}\). I n estas notas, sin embargo, voy a ser anticuada y voy a usar IQ UV , whi ch al menos tiene la ventaja de evitar la ambigüedad sobre los dos posibles \( S\)anotaciones, y no te tendrás que preocupar qué versión estoy usando.

En la figura e las líneas representan el componente del campo eléctrico que pasa por el filtro. Las longitudes de las moléculas orgánicas largas incrustadas dentro del filtro son perpendiculares a esta dirección de transmisión. La luz (es decir, un campo electromagnético oscilante) que oscila paralela a las longitudes de estas moléculas es fuertemente absorbida, debido a la polarizabilidad altamente anisotrópica de estas moléculas.

Perh aps podemos medir la intensidad de la luz después del paso por el filtro en cada uno de estos ángulos, y también sin el filtro, y de alguna manera determinar a partir de estas mediciones la forma y orientación de la elipse de polarización.

Los parámetros de Stokes llevan el nombre de un físico británico del siglo XIX, Sir George Stokes, y pueden denominarse parámetros de Stokes, parámetros de Stokes o parámetros de Stokes, pero no, por supuesto, como parámetros de Stoke.

Imaginemos que tenemos en nuestra mano un medidor de flujo, y que puede medir la densidad de flujo, en W m ^{− 2} o f ou r haz paralelo de luz monocromática. Si bien preferiríamos usar el símbolo\( F\) para la densidad de flujo, de hecho la densidad de flujo de la luz sin obstrucciones es el primero de los parámetros de Stokes, para lo cual el símbolo tradicional es I (una d cuyo símbolo moderno es\( S_{0}\) o r\( S_{1}\), d ependiente en qué libro estás leyendo.)

No w l et us suponemos que medimos la densidad de flujo de la luz después del paso a través de un filtro polarizador orientado en diversos ángulos como se sugiere en la Figura IV.2. El segundo y tercer parámetros de Stokes, entonces, están definidos por

\[ \textbf{Q}\ =\ F_{0}\ -\ F_{90} \tag{1}\label{4.1}\]

y

\[ \textbf{U}\ =\ F_{45}\ -\ F_{135} \tag{2}\label{4.2}\]

Si eres afortunado o rico, es poco probable que tu pequeño medidor de flujo mida con precisión las densidades de flujo en unidades SI absolutas en W m ^{− 2}. T por lo tanto aquellos de nosotros de medios más modestos solo tendremos que contentarnos con parámetros adimensionales de Stokes, medidos en unidades para que la densidad de flujo sin obstrucciones sea de 1. Definimos los parámetros de Stokes adimensional (para los cuales utilizo una fuente diferente) por

\[ Q\ =\ \frac{F_{0}\ -\ F_{90}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{Q}}{\text{I}}} \tag{3}\label{4.3}\]

\[ U\ =\ \frac{F_{45}\ -\ F_{135}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{U}}{\text{I}}} \tag{4}\label{4.4}\]

Así, para los parámetros acotados de Stokes en W m ^{− 2} (whi ch es posible que no podamos medir fácilmente), utilizo IQ UV . F o r th e parámetros de Stokes adimensionales, utilizo\( QUV\). (No hay necesidad de un adimensional\( I\), porque es 1.)

Es posible determinar la excentricidad\( e\) y la inclinación\( \theta\) de la elipse de polarización desde\( Q\) y\( U\). Aquí doy las relaciones sin derivación. Voy a dar una derivación en un Apéndice a este capítulo. Por el momento, entonces, aquí están las relaciones:

\[ Q\ =\ \frac{e^{2}\cos 2\theta}{2\ -\ e^{2}} \tag{5}\label{4.5}\]

\[ U\ =\ \frac{e^{2}\sin 2\theta}{2\ -\ e^{2}} \tag{6}\label{4.6}\]

Quizás de más interés son las conversas de estos:

\[ e^{2}\ =\ \frac{2\sqrt{Q^{2}\ +\ U^{2}}}{1\ +\ \sqrt{Q^{2}\ + \ U^{2}}} \tag{7}\label{4.7}\]

\[ \tan 2\theta\ =\ \frac{U}{Q} \tag{8}\label{4.8}\]

En solvi ng Ecuación (\( \ref{4.8}\)) para\( \theta\), es necesario conocer los signos de\( U\) y\( Q\) por separado, para evitar una ambigüedad de cuadrante. La provisión de la\( \arctan 2\) función en una calculadora o computadora facilita enormemente esto.

La tabla a continuación muestra una muestra de elipses de polarización para varias combinaciones de\( Q\) y\( U\). Fo r r easones que se harán evidentes durante la derivación de las fórmulas en el Apéndice, todos los ellips se dibujan tal que\( a^{2}\ +\ b^{2}\) es el s ame para cada uno. Thi s asegura que la densidad de flujo sea la misma para cada uno.

Thu s lejos hemos tratado con los parámetros Stokes I (relacionados con la densidad de flujo de la luz), y\( Q\) un d\( U\) (relacionado con la forma y orientación de la elipse de polarización). Ahora tenemos que describir el parámetro S tokes V, y d cómo se relaciona con la quiralidad (handedness) de la elipse. En esta cuenta, cuando use las palabras “en sentido horario” y “antihorario” asumiré que estamos mirando hacia la fuente de luz.

Si somos reales quiero saber la polaridad, necesitamos tener una buena beca de investigación y estar en posesión de un filtro que pase solo luz polarizada circularmente. Un polarizador lineal junto con una placa de cuarto de onda lo hará. Tomaré que el filtro solo pasa luz que está polarizada circularmente en sentido horario. Supongamos que la densidad de flujo después del paso a través de dicho filtro es\( F_{C}\) . Th e S tokes V p aram et er se define como

\[ \textbf{V}\ =\ 2F_{C}\ -\ I, \tag{9}\label{4.9}\]

o, i n forma adimensional,

\[ V\ =\ \frac{2F_{C}}{F}\ -1. \tag{10}\label{4.10}\]

Se observará que este parámetro (al igual que los demás) va desde −1 (si) t o +1 (si\( F_{C}=0\)\( F_{C}=1\)), un nd de ahí que lo negativo\( V\) implica polarización en sentido contrario a las agujas del reloj, y el positivo\( V\) implica polarización en sentido horario. También mostraremos en el Apéndice, que (sujeto a una condición importante - véase más adelante),\( V\) se relaciona con la excentricidad por

\[ V^{2}\ =\ \frac{4(1-e^{2})}{(2-e^{2})^{2}}. \tag{11}\label{4.11}\]

Esto significa que\( V=0\) implica\( e=1\), y de ahí polarización lineal (para la cual no hay quiralidad). También,\( V^{2}=1\) implica\( e=1\), y por ende polarización circular. Por el contrario

\[ e^{2}=\frac{2(-1+V^{2}+\sqrt{1-V^{2}})}{V^{2}} \tag{12}\label{4.12}\]

Así, un ca n determina tanto la quiralidad como la excentricidad (pero no\( \theta\)) de\( V\) solo. La figura IV.3 muestra la relación entre\( |V|\) y\( e\).

Esta redundancia debe significar que\( Q\),\( U\) y no\( V\) son independientes, y de hecho se observará a partir de las ecuaciones (\( \ref{4.5}\)), (\( \ref{4.6}\)) y (\( \ref{4.11}\)) que

\[ Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}\ =\ 1. \tag{13}\label{4.13}\]

En t erms de los parámetros acotados de Stokes:

\[ \bf{Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}\ =\ I^{2}}. \tag{14}\label{4.14}\]

En una de las\( S\) anotaciones, esto sería convenientemente

\[ S^2_1 + S^2_2 + S^2_3 = S^2_0. \tag{15}\label{4.15}\]

Jus t antes de la Ecuación (\( \ref{4.11}\)) nos referimos a una condición importante. Ecuaciones (\( \ref{4.11}\)) - (\( \ref{4.15}\)) y Figura IV. 3, una re válida sólo para el caso de polarización elíptica total. El caso de la polarización parcial se discute en lo que sigue. La sección sobre polarización parcial no debe considerarse como una idea tardía relativamente poco importante, porque la mayoría de las fuentes de luz polarizada con las que uno se encuentra tienen más probabilidades de estar parcialmente polarizadas en lugar de totalmente polarizadas.

Parti al Polarización

Unti l t su punto hemos asumido que nos ha preocupado por una sola onda coherente con un estado de polarización bien definido. En la práctica, rara vez vemos esto, y más a menudo tenemos que lidiar con la luz parcialmente polarizada. La mayoría de nosotros tenemos una idea bastante buena de lo que se entiende por luz que está parcialmente polarizada horizontalmente en plano. Nos referimos a que la luz es mayormente así:

pero t aquí también hay un poco de esto:

Pero si eso fuera así con dos ondas coherentes, esto resultaría, si estuvieran en fase, en esto:

o si no estaban en fase, en esto:

En verdad, a menos que estemos viendo una fuente de luz coherente, como un láser, la luz parcialmente polarizada podría ser más así:

Thi s está parcialmente polarizado plano en aproximadamente un ángulo de 30º, pero claramente no está totalmente polarizado plano. La luz parcialmente polarizada puede describirse como la suma de un componente totalmente polarizado más un componente arizado unpol. Así podríamos describir la situación ilustrada anteriormente por algo como esto:

La luz polarizada elíptica Pa rti ally podría describirse por un componente polarizado totalmente elípticamente, más un componente no polarizado:

Si de alguna manera medimos separadamente las densidades de flujo de los componentes polarizados (p) y no polarizados (u), podríamos definir el grado de polarización mediante

\[ p\ =\ \frac{F_{p}}{F_{p}\ +\ F_{u}} \tag{16}\label{4.16}\]

Si sabemos que la luz está polarizada parcialmente plana (linealmente), como en la Figura IV.5 (en lugar de polarizada elípticamente como en la Figura IV.6), podemos medirla con bastante facilidad. Colocar el filtro polarizador frente a la fuente, y rotarlo hasta que la densidad de flujo transmitida pase por un máximo,\( F_{\text{max}}\). a nd luego throug h un 90º más hasta que pase por un mínimo,\( F_{\text{min}}\). Esto te dará el grado de polarización de.

\[ p\ =\ \frac{F_{\text{max}}\ -\ F_{\text{min}}}{F_{\text{max}}\ +\ F_{\text{min}}}. \tag{17}\label{4.17}\]

y por supuesto también te da el ángulo de polarización. Esto aplica, por supuesto, sólo a la luz que se sabe que está parcialmente polarizada linealmente. No servirá para luz polarizada parcialmente elíptica.

Recordemos que

\[ Q\ =\ \frac{F_{0}\ -\ F_{90}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{Q}}{\text{I}}} \tag{3}\label{4.3b}\]

y

\[ U\ =\ \frac{F_{45}\ -\ F_{135}}{F}\ =\ \bf{\frac{\text{U}}{\text{I}}} \tag{4}\label{4.4b}\]

Si la fuente está parcialmente polarizada en plano, cada una de las mediciones\( F_{0},F_{90},F_{45},F_{135}\) incluye un componente lineal o elíptico total, y un componente no polarizado. Sin embargo, el componente no polarizado es el mismo para cada una de estas cuatro mediciones. En consecuencia Q y U describen únicamente el componente “total”. Así, todas las ecuaciones hasta e incluyendo la Ecuación (\( \ref{4.8}\)), así como la tabla que ilustra la forma de la elipse en función de Q y U, siguen siendo válidas para el componente “total”.

El parámetro\( V\), sin embargo, se definió en las Ecuaciones 9 y 10 por

\[ \textbf{V}\ =\ 2F_{C}\ -\ I, \tag{9}\label{4.9b}\]

o, en forma adimensional,

\[ V\ =\ \frac{2F_{C}}{F}\ -1. \tag{10}\label{4.10b}\]

\( F_{C}\) a nd\( F\) eac h contienen un componente “total” y un componente no polarizado, de manera que, a diferencia de\( Q\) y\( U\), el com ponente “total” no se separa.

Reca l l de E quations (\( \ref{4.13}\)) y (\( \ref{4.14}\)) eso\( \bf{I\ =\ \sqrt{Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}}}\) y\( Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}\ =\ 1\).

Los se derivaron para luz polarizada totalmente elíptica (que incluye linealmente). Para la luz parcialmente polarizada, se aplica únicamente a la parte “total”, de manera que, para la luz parcialmente polarizada,

\[ \text{p}\ =\ \sqrt{Q^{2}\ +\ U^{2}\ +\ V^{2}}. \tag{18}\label{4.18}\]

A partir de las cuaciones E (\( \ref{4.5}\)), (\( \ref{4.6}\)) y (\( \ref{4.18}\)) determinamos que

\[ \text{p}\ =\ \sqrt{V^{2}\ +\ \frac{e^{4}}{(2-e^{2})^{2}}} \tag{19}\label{4.19}\]

Así, a partir de las mediciones de\( F_{0},F_{90},F_{45},F_{135}\) y t combinaciones\( IQUV\) herederos hemos terminado, para la luz parcialmente polarizada, el grado de polarización, y la excentricidad, orientación y quiralidad de la elipse de polarización.

La equa ción (\( \ref{4.18}\)) sugiere que el estado de polarización de la luz puede ser descrito por un punto en\( QUV\) s pa c e. Este concepto es descrito por la esfera Poincaré:

En su contexto he visto muchas veces la notación\( 2\psi\) para\( \phi\) y\( 2\chi\) para 90º −\( \theta\). (El\( \theta\) aquí, por supuesto, no es lo mismo que el\( \theta\) de la Figura IV.1.

Pongamos, para empezar, que tenemos polarización total, así que eso\( p=1\). Se invita al lector a imaginar la forma de la elipse de polarización en cualquier punto de la superficie de la esfera. Recordemos en pa rticular que\( V=0\) implica polarización lineal, e\( V=\pm1\) implica polarización circular. Así una y w re alrededor del ecuador del Poincaré representa polarización lineal, y en los polos tenemos polarización circular.

Vamos a l ook a lo largo del meridiano de longitud con\( \phi\) = 0 (\( U\)= 0). A medida que vamos del “polo norte” al “polo sur”,\( V\) va de +1 (circular) a través de 0 (lineal) a −1 (circular), y\( Q\) va de 0 (c ircular) a través de 1 (lineal) a 0 (circular). Será útil (esencial) referirse a la tabla de la página 5.

Ahora se invita al lector a pensar (al tiempo que hace referencia a la tabla de la página 5) la situación a lo largo del meridiano con φ = 90º. Y luego probar otros meridianos, eventualmente cubriendo la esfera con elipses. Esto va un poco más allá de mi capacidad artística, pero encontré una muy buena al buscar en Google la esfera de Poincaré. Elija “Imágenes para esfera poincare”. Ahí hay algunas excelentes imágenes. Particularmente me gusta el de color naranja de la Universidad de Arizona. Si haces clic en él, la esfera gira, y podrás ver todo alrededor de la esfera.

Apéndice

En el artículo anterior describí los parámetros de Stokes, y los relacioné con la forma, orientación y quiralidad de la elipse de polarización, de la siguiente manera (para polarización total):

\( Q\ =\ \frac{e^{2}\cos2\theta}{2-e^{2}} \qquad U\ =\ \frac{e^{2}\sin2\theta}{2-e^{2}} \qquad V^{2}\ =\ \frac{4(1-e^{2})}{(2-e^{2})^{2}}\)

En t su Apéndice, derivo estas relaciones.

Befo re comenzando, recordemos una propiedad establecida de una elipse de ejes semi mayores y semi menores\( a\) y\( b\), a saber, que el locus de las esquinas de todos los rectángulos circunscritos a un e llips e es un círculo, conocido como el círculo director, que es de radio\( \sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Thi s se ilustra en Fi gure A1, en el que he dibujado tres rectángulos circunscritos. Las semidiagonales de todos los rectángulos de umscrito circ son de la misma longitud, es decir\( \sqrt{a^{2}+b^{2}}\). Una prueba de este teorema se encuentra i n http://or c a.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm2.pd f , S ec ti en 2.3, o en muchos libros sobre las propiedades de las secciones cónicas.

Reca l l ahora t los significados de\( a\) y\( b\). Son los ejes semi mayor y semi menor de la elipse, pero también son los mayores y menores valores del campo eléctrico durante un ciclo. Recordemos también que la energía por unidad de volumen de un campo eléctrico es proporcional al cuadrado de la intensidad del campo eléctrico. Cuando la luz se observa directa sin la intervención de un filtro polarizador, el flujo de intensidad de la luz es proporcional, entonces, a\( a^{2}+b^{2}\). Tha t es decir, el parámetro Stokes\( I\) es proporti onal al cuadrado del radio del círculo director.

En lo que sigue, tendremos ocasión de referir la elipse de polarización a t hree sistemas de coordenadas rectangulares.

i . Un sistema de coordenadas c (\( x, y\)), en el que los ejes de coordenadas coinciden con los ejes de la elipse de polarización.

ii . Un sistema de coordenadas c (\( x_{1}, y_{1}\)), i n en el que los ejes de coordenadas son horizontales y verticales - o, para mayor precisión, paralelos a los ejes de transmisión de los dos primeros filtros ilustrados en la Figura IV.1.

iii . Un sistema de coordenadas c (\( x_{2}, y_{2}\)), i n el cual los ejes de coordenadas son paralelos a los ejes de transmisión de los dos últimos filtros ilustrados en la Figura IV.1.

La elipse referida a estos tres sistemas de coordenadas se muestra en las Figuras A2, A3, A4. En cada uno de estos dibujos, he dibujado un rectángulo circunscrito y el círculo director. La densidad de flujo de la radiación es proporcional al cuadrado de la diagonal rectangular, que es la misma en las tres alas d ra, y es igual al diámetro del círculo director, a saber\( 2\sqrt{a^{2}\ +\ b^{2}}\).

I h ave también indicó las longitudes\( a,\ b,\ a_{1},\ b_{1},\ a_{2},\ b_{2}\) en t hese dibujos. Estos representan los valores m a ximum del componente del campo eléctrico durante un ciclo en las direcciones de los seis ejes. De hecho, el lector podría incluso preferir una notación alternativa:

\( a\ =\ \hat{E}_{x}\)

\( b\ =\ \hat{E}_{y}\)

\( a_{1}\ =\ \hat{E}_{x_{1}}\)

\( b_{1}\ =\ \hat{E}_{y_{1}}\)

\( a_{2}\ =\ \hat{E}_{x_{2}}\)

\( b_{2}\ =\ \hat{E}_{y_{2}}\)

La primera notación es más fácil para el análisis de la geometría de la elipse. La segunda notación nos recuerda el significado físico de los símbolos. En efecto, las lecturas de nuestro caudalímetro son proporti onales, sucesivamente, a\( \hat{E}_{x}\ ^{2}\ +\ \hat{E}_{y}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{1}}\ ^{2}\ ,\ \hat{E}_{y_{1}}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{2}}\ ^{2}\ ,\ \hat{E}_{y_{2}}\ ^{2},\) o, i n la\( a,b\) notación\( a^{2}\ +\ b^{2},\ a_{1}^{2},\ \ b_{1}^{2},\ a_{2}^{2}\ ,\ b_{2}^{2},\). Los parámetros de St okes\( I,Q,U\) son proporcionales sucesivamente a\( \hat{E}_{x}\ ^{2}\ +\ \hat{E}_{y}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{1}}\ ^{2}\ -\ \hat{E}_{y_{1}}\ ^{2},\ \hat{E}_{x_{2}}\ ^{2}\ -\ \hat{E}_{y_{2}}\ ^{2},\), o i n la\( a,b\) notación,\( a^{2}\ +\ b^{2},\ a_{1}^{2}\ -\ b_{1}^{2},\ a_{2}^{2}\ -\ b_{2}^{2}\).

Consulte la Figura A2. La ecuación a la elipse, referida a este sistema de coordenadas, es la familiar

\[ \frac{x^{2}}{a^{2}}\ +\ \frac{y^{2}}{b^{2}}\ =\ 1, \tag{A1}\label{A1}\]

No obstante, quiero expresar longitudes (intensidades de campo eléctrico) en unidades tales que\( a^{2}\ +\ b^{2}\ =1\), y, además, quiero escribir la ecuación en términos de la excentricidad\( e\ =\ \sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}\). En ese caso, la ecuación (\( \ref{A1}\)) se convierte en

\[ fx^{2}\ +\ \text{g}y^{2}\ =\ 1 \tag{A2}\label{A2}\]

donde

\[ f\ =\ 2\ -\ e^{2}\ \text{and}\ \text{g}\ =\ \frac{2-e^{2}}{1-e^{2}}. \tag{A3}\label{A3}\]

Ahora refiérase a la Figura A3. Si el eje mayor de la elipse forma un ángulo\( \theta\) con la horizontal, los sistemas de coordenadas están relacionados por

\[ \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix}c & s \\ -s & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix}, \tag{A4}\label{A4}\]

\( c = \cos \theta\)y\(s = \sin \theta\)

Al hacer uso de las ecuaciones (\(\ref{A2}\)) y (\(\ref{A4}\)), encontramos que la ecuación a la elipse referida al sistema de\((x_1 , y_1)\) coordenadas es

\[(fc^2 + gs^2)x^2_1 - 2(g-f)scx_1y_1 + (fs^2+gc^2)y^2_1 = 1 \tag{A5}\label{A5}\]

Ahora deseamos encontrar\(a_1 = \hat{E}_{x_1}\) y\(b_1 = \hat{E}_{y_1}\), los máximos componentes horizontales y verticales del campo eléctrico. La longitud se\(a_1\) puede encontrar de la siguiente manera. La línea vertical\( x_1 = a_1\) intersecta esta elipse en valores de\(y_1\) dado por

\[(fs^2 + gc^2)y^2_1 - 2(g-f)sca_1y_1 + (fc^2+gs^2)a^2_1 - 1 = 0 \tag{A6}\label{A6}\]

Pero la línea\( x_1 = a_1\) va a ser una tangente vertical a la elipse, y por lo tanto la ecuación cuadrática (\(\ref{A6}\)) debe tener dos raíces reales iguales, lo que nos dice, después de un poco de álgebra, que

\[a^2_1 = \dfrac{fs^2+gc^2}{fg}. \tag{A7}\label{A7}\]

Un análisis similar a partir de la línea horizontal\(y_1 = b_1\) revela que

\[b^2_1 = \dfrac{fc^2+gs^2}{fg}. \tag{A8}\label{A8}\]

Para una comprobación de la exactitud del álgebra, ahora se puede verificar que\(a^2_1 + b^2_1= 1\).

El parámetro Stokes Q es\(a^2_1 - b^2_1\), y, después de algunas identidades álgebra y trigonométricas, se encuentra que

\[Q = a^2_1 - b^2_1 = \dfrac{e^2\cos 2 \theta}{2-e^2}, \tag{A9}\label{A9}\]

que es una de las relaciones que buscábamos.

Ahora refiérase a la Figura A3. Los sistemas de\(x,y\) coordenadas\(x_2,y_2\) y están relacionados por

\[\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}C -S\\ S \quad C\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_2\\ y_2\end{array}\right), \tag{A10}\label{A10}\]

donde

\[S = \sin (45 ^{\circ}- \theta) \quad \text{and} \quad C = \cos(45 ^{\circ}- \theta). \tag{A11}\label{A11}\]

Al hacer uso de las ecuaciones (\(\ref{A2}\)) y (\(\ref{A10}\)), encontramos que la ecuación a la elipse referida al sistema de\((x_2 , y_2)\) coordenadas es

\[(fC^2 + gS^2)x^2_2 + 2(g-f)SCx_2y_2 + (fS^2+gC^2)y^2_2 = 1 \tag{A12}\label{A12}\]

Para obtener\(U\), ahora procedemos de manera similar al análisis de\(Q\). Combinamos esta ecuación con\( x_2 = a_2 \) y ponemos en la condición de que la ecuación cuadrática resultante\(y_2\) tenga dos raíces reales iguales, para obtener

\[a^2_2 = \dfrac{fS^2 + gC^2}{fg} \tag{A13}\label{A13}\]

Así mismo, por combinación con\(y_2 = b_2\), obtenemos

\[b^2_2 = \dfrac{fC^2 + gS^2}{fg} \tag{A14}\label{A14}\]

La exactitud del álgebra se puede verificar verificando que\(a^2_2+b^2_2 = 1\). Entonces\(U\), es decir\(a^2_2 - b^2_2\), se puede calcular con algo de álgebra y trigonometría, para ser

\[U = \dfrac{e^2 \sin 2 \theta}{2-e^2}.\tag{A15}\label{A15}\]

Y este es un buen momento para recordarnos a la ecuación (\(\ref{A9}\))

En nuestros dibujos de este capítulo, hemos tomado\(b = \dfrac{1}{2}a, e= \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \theta = 30^{\circ}\) así que\(Q = 0.3, U = 0.5196\).

Ahora por la quiralidad o la mano de la radiación. De las mediciones de\(Q\) y\(U\) hemos deducido la excentricidad y orientación de la elipse Lissajous, pero aún no sabemos si la punta del vector E se mueve en sentido horario o antihorario (como se ve al mirar hacia la fuente de luz). Esto es lo que nos va a decir el\(V\) parámetro Stokes.

Es bien sabido que se puede generar una elipse Lissajous como resultado de dos simples oscilaciones lineales armónicas en ángulo recto entre sí. Para entender el parámetro V es necesario entender que una elipse Lissajous también puede ser generada por dos movimientos circulares, de diferente amplitud, y moviéndose en direcciones opuestas. Si los ejes semi mayor y semi menor de la elipse Lissajous son, respectivamente,\(a\) y\(b\), los radios de los componentes circulares son\(\dfrac{1}{2}(a+b\) y\(\dfrac{1}{2}(a-b\) (ver Figura 11).

Para medir\(V\) colocamos frente a la fuente de luz un filtro que transmite solo luz polarizada circularmente. Supondremos que transmite luz que es zurda (en sentido contrario a las agujas del reloj) como se ve al mirar hacia la fuente de luz. Es decir, obstruirá el círculo más pequeño de la Figura A5 y transmitirá el círculo grande.

Si la fracción de la densidad de flujo que pasa por el filtro es\(f\), el\(V\) parámetro Stokes es\(2f-1\).

Ejemplos:

Si la luz está polarizada circularmente a la izquierda, el filtro transmitirá toda la luz. Es decir,\(f=1, V=1\).

Si la luz está polarizada circularmente a la derecha, el filtro no transmitirá ninguna luz. Es decir,\(f = 0, V=-1\).

Si la luz está polarizada linealmente, el filtro transmitirá la mitad de la luz. (La luz polarizada linealmente puede ser generada por dos círculos iguales que se mueven en direcciones opuestas). Es decir,\(f = \dfrac{1}{2}, V= 0\).

En la Figura A5,\(b = \dfrac{1}{2}\). El radio del círculo pequeño (que está obstruido) es\(\dfrac{1}{4}a\) y el radio del círculo grande (que se transmite) es\(\dfrac{3}{4}a\). La densidad de flujo de la luz no filtrada es proporcional a\(a^2 + b^2 = \dfrac{5}{4} a^2\). La densidad de flujo de la luz que se pasa es proporcional a\(\dfrac{9}{8}a^2\). (La densidad de flujo, recordamos, es proporcional al cuadrado del círculo director. El radio del círculo director del círculo grande es\(\sqrt{(\dfrac{3}{4}a)^2 + (\dfrac{3}{4}a^2)} = \sqrt{(\dfrac{8}{9}a)^2}\). Así que tenemos\(f =0.9, V = 0.8\).

Si tuviéramos que revertir todas las flechas de la Figura A5, sería el círculo más grande el que se bloquearía y pasaría el círculo pequeño. La densidad de flujo de la luz que se pasa es entonces proporcional a\(\dfrac{1}{8}a^2\). Así que tenemos\(f = 0.1, V = -0.8\).

Por lo tanto, positivo\(V\) significa que la punta del vector E se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo\(V \) significa que está girando en sentido horario.

En general, el radio del círculo grande es\(\dfrac{1}{2} (a+b)\) y el radio de su círculo director es\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}(a+b)\). Si este es el círculo que se transmite, la densidad de flujo pasada es proporcional a\(\dfrac{1}{2} (a+b)^2\).

Tenemos, entonces,\(f = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a+b)^2}{a^2+b^2}, V =\dfrac{2ab}{a^2+b^2}\). Esto significa, por cierto, que\(V\) es proporcional al área de la elipse. Si tomamos\(a^2 + b^2 = 1\), entonces\(V = 2ab\). Si es el círculo pequeño el que se pasa,\(f = \dfrac{\dfrac{1}{2}(a-b)^2}{a^2+b^2}, V =\dfrac{-2ab}{a^2+b^2}\).

Dado que la excentricidad de la elipse viene dada por\(e^2 = 1- \dfrac{b^2}{a^2}\), podemos expresarnos\(V^2\) en términos de la excentricidad, así

\[V^2 = \dfrac{4(1-e^2)}{(2-e^2)^2}.\tag{A16}\label{A16}\]

Esta ecuación es válida para la luz totalmente polarizada. Para luz parcialmente polarizada, volver al texto principal.