7.11: Girar

El modelo descrito en la sección 7.10 describe bastante bien el espectro de hidrógeno y, aunque matemáticamente es mucho más pesado que el modelo Bohr, es mucho más satisfactorio porque no tiene los supuestos ad hoc del modelo Bohr. Sin embargo, todavía no es lo suficientemente bueno. Predice que todas las funciones de\(n^2\) onda con un valor dado de\(n\) tienen la misma energía, porque la expresión para la energía incluía solo el número cuántico único\(n\). Mediciones cuidadosas muestran, sin embargo, que las líneas de Balmer tienen una estructura fina, y en consecuencia los niveles de energía tienen alguna estructura fina y, por lo tanto, la energía no es una función de\(n\) solo. La estructura fina es mucho más obvia en átomos más complejos, por lo que la forma de la ecuación de Schrödinger que hemos visto hasta ahora es inadecuada para explicar esta estructura. A nivel teórico, obviamente se utilizó la expresión no relativista\(p^2 /(2m)\) para la energía cinética. Esto es lo suficientemente bueno excepto para mediciones precisas, cuando es necesario utilizar la expresión relativista correcta.

Este breve capítulo no es un libro de texto o curso formal de mecánica cuántica, y su intención es poco más que introducir las diversas palabras e ideas que se utilizan en la espectroscopia. En esta etapa, entonces, aunque existe una fuerte tentación de profundizar en la mecánica cuántica y perseguir más las ideas que hemos iniciado, simplemente voy a resumir algunos de los resultados y las formas en que se describen los espectros. Cualquiera que quiera seguir más y en detalle la teoría cuántica de los espectros tarde o temprano se encontrará con algunos términos bastante prohibitivos, como los coeficientes Clebsch-Gordan, el álgebra de Racah, los\(j\) símbolos\(3\)\(6\) -\(j\) y -, y los armónicos tensoriales. A lo que les preocupa es el álgebra de combinar las funciones de onda de dos o más electrones y calcular los momentos angulares resultantes. Los\(j\) símbolos\(3\) -\(j\) y\(6\) - son paréntesis o llaves en las que se muestran varios números cuánticos, y se manipulan de acuerdo con ciertas reglas a medida que se combinan dos o más funciones de onda. De hecho, es muy divertido usarlos, y puedes hacer cálculos estupendos a una velocidad enorme y con muy poco pensamiento, pero solo después de haber superado el empinado proceso inicial de aprendizaje y solo si mantienes la práctica constante. Si programas las manipulaciones para que una computadora las pueda manejar, no solo los cálculos se hacen aún más rápido, sino que no importa si estás fuera de práctica, ¡la memoria de la computadora no va a caer!

Se encuentra que la función de onda completa que describe un electrón unido en un átomo requiere no sólo tres, sino cuatro números cuánticos. Están los tres números cuánticos con los que ya estamos familiarizados\(n\) -,\(l\) y\(m\), salvo que el tercero de estos ahora lleva un subíndice y está escrito\(m_l\). La energía de una función de onda depende principalmente de n, pero también hay una pequeña dependencia de\(l\). Momento angular orbital, en unidades de\(\hbar\), es\(\sqrt{l(l +1)}\) y su\(z\) -componente es\(m_l\). El número cuántico adicional necesario para describir un electrón unido a un átomo se denota por el símbolo ms, y puede tomar cualquiera de dos valores,\(+1/2\) y\(−1/2\). Para un valor dado de\(n\), por lo tanto, ahora hay\(2n^2\) combinaciones de los números cuánticos, es decir,\(2n^2\) las funciones de onda. (Recordemos que, antes de introducir el concepto de espín de electrones, habíamos predicho solo\(n^2\) funciones de onda para un dado\(n\). Ver la discusión inmediatamente después de la ecuación 7.9.2.)

En términos de un modelo mecánico del electrón, es conveniente asociar el número cuántico extra con un momento angular de espín del electrón. El momento angular de giro de un electrón, en unidades de\(\hbar\), es\(\sqrt{s(s+1)}\), donde\(s\) tiene el único valor\(1/2\). En otras palabras, el momento angular de giro de un electrón, en unidades de\(\hbar\), es\(3/2\). Su\(z\) -componente es\(m_s\); es decir,\(+1/2\) o\(−1/2\).

El concepto de que un electrón tiene un espín intrínseco y que su\(z\) -componente es\(+1/2\) o\(−1/2\) surgió no solo de un estudio de espectros (incluyendo especialmente la división de líneas cuando la fuente se coloca en un campo magnético, conocido como el efecto Zeeman) sino también del famoso experimento de Stern y Gerlach en 1922. La totalidad de la evidencia de la espectroscopia más el experimento de Stern-Gerlach llevaron a Goudsmit y Uhlenbeck en 1925 a proponer formalmente que un electrón tiene un momento magnético intrínseco, y ciertamente si pensamos en un electrón como una carga eléctrica giratoria, de hecho esperaríamos que tuviera un momento magnético. Un dipolo magnético puede experimentar un par si se coloca en un campo magnético uniforme, pero no experimentará fuerza neta. Sin embargo, si un dipolo magnético se coloca en un campo magnético no uniforme, es decir, un campo con un pronunciado gradiente espacial en su fuerza, entonces efectivamente experimentará una fuerza, y esto es importante para comprender el experimento de Stern-Gerlach. Stern y Gerlach dirigieron un haz de “electrones” (voy a explicar las comillas en breve) entre los polos de un fuerte imán en el que una de las piezas polares estaba especialmente conformada para que los “electrones” pasaran por una región en la que no solo había un fuerte campo magnético transversal sino también un gran gradiente de campo magnético transversal. Uno podría haber esperado que el haz se ampliara ya que los muchos electrones fueron atraídos de una manera u otra y en diversos grados, dependiendo de la orientación de sus momentos magnéticos al gradiente del campo. De hecho, la viga se dividió en dos, con una mitad tirada en la dirección del gradiente del campo, y la otra mitad siendo empujada en dirección opuesta. Esto se debe a que solo había dos direcciones posibles del vector de momento magnético. (Por cuestión de detalle experimental no fue en realidad un haz de electrones lo que usaron Stern y Gerlach. Esto habría estropeado completamente el experimento, porque un electrón está cargado eléctricamente y un haz de electrones habría sido desviado por la fuerza de Lorentz mucho más que por el efecto del gradiente de campo sobre el momento dipolar. Por lo que recuerdo en realidad usaron un haz de átomos de plata. Estos no se aceleraron en un acelerador de partículas de ningún tipo (después de todo, son neutros) sino que simplemente se vaporizaron en un horno, y se seleccionó un haz por medio de dos pequeñas aberturas entre el horno y el imán. El átomo de plata tiene una serie de electrones emparejados (sin momento magnético resultante) más un electrón solitario y desapareado en la capa externa, y este fue el electrón que suministró el momento magnético).

En algunos átomos, el momento angular orbital\(\textbf{l}\) y el momento angular de espín\(\textbf{s}\) se acoplan más fuertemente entre sí que al\(z\) eje. En ese caso\(m_l\) ya no\(m_m\) son “buenos números cuánticos”. El momento angular total del electrón (órbita y espín combinados) recibe el símbolo\(\textbf{j}\). Su magnitud, en unidades de\(\hbar\), es\(\sqrt{j( j +1)}\) y su\(z\) -componente se llama\(m\). En ese caso los cuatro “buenos números cuánticos” que describen al electrón son\(n\)\(l\),\(j\) y más\(m\) bien que\(n\),\(l\),\(m_l\),\(m_s\). Los casos intermedios son posibles, pero nos preocuparemos por eso más adelante. En cualquier caso, la función de onda que describe un electrón es descrita por cuatro números cuánticos, y por supuesto no hay dos funciones de onda (y por lo tanto no hay dos electrones unidos en un átomo) tienen el mismo conjunto de cuatro números cuánticos. (Si volvemos brevemente a la esfera vibratoria, cada modo de vibración es descrito por tres números cuánticos. No tiene sentido hablar de dos modos diferentes que tengan el mismo conjunto de tres números cuánticos). La verdad de que no hay dos electrones unidos en un átomo que tengan el mismo conjunto de cuatro números cuánticos se llama Principio de Exclusión de Pauli.