4.9: Matrices

Este libro ha asumido un conocimiento de matrices, que puede o no estar justificado. En esta sección, no intentamos un tratamiento minucioso del tema, que debe buscarse en otra parte, sino que las observaciones pueden ser de utilidad tanto para los novatos como para los más experimentados.

No obstante puedes tener la oportunidad de aprender sobre la manipulación de matrices, se sugiere que debes apuntar a entender y saber cómo llevar a cabo al menos las siguientes operaciones sobre matrices cuyos elementos son números reales:

Multiplicar un vector por una matriz
Multiplicar una matriz por una matriz
Calcular el determinante de una matriz cuadrada
Invertir una matriz cuadrada
Diagonalizar una matriz simétrica
Probar una matriz para ortogonalidad

Muchos otros aspectos de la manipulación matricial son posibles, y el sujeto se expande mucho si permitimos que los elementos sean números complejos. Estos seis, sin embargo, son particularmente útiles para muchas aplicaciones. Podría mencionarse, sin embargo, que resolver ecuaciones lineales simultáneas mediante la Regla de Kramers o invirtiendo una matriz son formas muy ineficientes de resolver tales Ecuaciones, y ese no es el propósito principal de adquirir las habilidades anteriores.

La mayoría, o sin duda todas, de las operaciones anteriores están disponibles en muchos paquetes informáticos matemáticos modernos. Esto no es a lo que me refiero, sin embargo, con “entender y saber llevar a cabo”. El alumno deberá realizar al menos una vez a mano calculadora, paso a paso, cada una de las operaciones anteriores, y, en cada paso, tratar de entender no sólo los pasos algebraicos y aritméticos, sino también tratar de visualizar la interpretación geométrica, particularmente al girar ejes y calcular vectores propios. Después de hacer un cálculo manual, entonces debes escribir una serie de programas de computadora cortos (en lugar de un vasto paquete matricial que lo abarca todo) para cada operación, de modo que cuando, en el futuro, necesites hacer alguna de estas cosas, puedas obtener instantáneamente la respuesta sin tener que pasar por cálculos tediosos. Por ejemplo, en la sección anterior, cuando necesitaba los vectores propios de la matriz, pude generarlos con una sola palabra “EIGEN” en una computadora; en realidad la computadora realizaba una cantidad considerable de aritmética.

Sobre la cuestión de probar una matriz para determinar la ortogonalidad, la aplicación habitual en problemas mecánicos y geométricos es probar una matriz de cosenos de dirección. Las pruebas no sólo pueden detectar errores, sino que puede localizarlos e incluso sugerir cuál debe ser el elemento correcto. Las pruebas de ortogonalidad son las siguientes. El alumno debe tratar de pensar en la interpretación geométrica de cada uno.

La suma de los cuadrados de los elementos en cualquier fila o cualquier columna es unidad. (Esta prueba no guarda contra errores en los signos de los elementos.)

La suma de los productos de los elementos correspondientes en dos filas cualesquiera o en dos columnas cualesquiera es cero.

Cada elemento es igual a más o menos su cofactor.

El determinante de la matriz es más o menos uno.

Un signo menos en las dos últimas pruebas indica que los dos conjuntos de ejes difieren en quiralidad (handedness). Esto generalmente no importa, y se puede tratar fácilmente invirtiendo los signos de los elementos de un vector propio y de su correspondiente valor propio.