14.5: Movimiento alrededor de una cima simétrica oblata

En la Sección 5.12, desarrollamos una expresión (Ecuación 5.12.6) para el potencial gravitacional de una parte superior simétrica oblata (por ejemplo, un esferoide oblato). Con un ligero cambio de notación para conformarnos al contexto actual, obtenemos para la función perturbadora

\[R = \frac{Gm (C - A)}{2r^3} \left( 1 - \frac{3z^2}{r^2} \right) . \label{14.5.1} \tag{14.5.1}\]

Esto es lo negativo de la energía potencial adicional de una masa\(m\) en un punto cuyas coordenadas cilíndricas se encuentran cerca de una parte superior simétrica (que\((r , \ z)\) en adelante llamaré esferoide oblato) cuyos segundos momentos principales de inercia son\(C\) (polares) y\(A\) (ecuatorial). Esto es correcto al orden\(r/\text{a}\), donde\(\text{a}\) está el radio ecuatorial del esferoide.

Imaginemos una partícula de masa\(m\) en órbita alrededor de un esferoide oblato, por ejemplo, un satélite artificial en órbita alrededor de la Tierra. Supongamos que la órbita está inclinada en ángulo\(i\) con respecto al ecuador, y el argumento del perigeo es\(ω\). En algún instante, cuando las coordenadas cilíndricas del satélite lo son\((r , \ z)\), su verdadera anomalía lo es\(v\).

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Geometry

\(z/r = \sin\, i\, \sin (ω + v)\)Demuéstralo.

Habiendo hecho eso, vemos que la función perturbadora se puede escribir

\[R = \frac{Gm (C - A)}{2r^3} \left( 1 - 3 \sin^2 i \sin^2 (ω + v) \right) . \label{14.5.2} \tag{14.5.2}\]

Aquí,\(r\) y\(v\) varían con el tiempo, o lo que equivale a lo mismo, con la anomalía media\(\bf{M}\). Con un esfuerzo (no trivial), esto se puede ampliar como una serie, incluyendo un término constante (independiente del tiempo) más términos periódicos de la forma\(\cos \bf{M}\)\(\cos 2\bf{M}\)\(\cos 3\bf{M}\),, etc. Si el espíritu me conmueve, puedo publicar los detalles en una fecha posterior, pero por el momento doy el resultado que, si la expansión es tomada hasta\(e^2\) (es decir, estamos asumiendo que la órbita del satélite no es fuertemente excéntrica), la parte constante (independiente del tiempo) de la función perturbadora es

\[R = \frac{Gm (C - A)}{2a^3} (1 + \frac{3}{2} e^2 ) (1 - \frac{3}{2} \sin^2 i ) . \label{14.5.3} \tag{14.5.3}\]

Ahora mira las Ecuaciones de Lagrange, y ves que las partes seculares de\(\dot{a}, \dot{e}\) y\(\dot{i}\) son todas cero. Es decir, aunque puede haber variaciones periódicas (que no hemos examinado) en estos elementos, a este orden de aproximación (\(e^2\)) no hay ningún cambio secular en estos elementos.

Por otro lado, la aplicación de la Ecuación 14.4.5 da para la tasa secular de cambio de la longitud de los nodos

\[\dot{Ω} = - \frac{3 \sqrt{GM}}{2} \frac{(C-A)}{M} \frac{1}{a^{7/2}} ( 1 + 2e^2 ) \cos i . \label{14.5.4} \tag{14.5.4}\]

El lector sin duda se aliviará al señalar que esta expresión no contiene\(m\), la masa del satélite en órbita;\(M\) es la masa de la Tierra. El lector también puede anotar el signo menos, lo que indica que los nodos retroceden. Para obtener el factor (1 + 2e^2), los lectores tendrán que hacer un poco de trabajo, y expandir, por el teorema binomial, cualquier expresión en\(e\) que obtengan, hasta donde\(e^2\).

\(\text{a}\)Sea el radio ecuatorial de la Tierra. Multiplica la parte superior e inferior de la Ecuación\ ref {14.5.4} por\(\text{a}^{7/2}\), y la Ecuación se convierte

\[\dot{Ω} = - \frac{3}{2} \sqrt{\frac{GM}{\text{a}^3}} \frac{(C-A)}{M\text{a}^2} \left( \frac{\text{a}}{a} \right)^{7/2} ( 1 + 2e^2 ) \cos i . \label{14.5.5} \tag{14.5.5}\]

Aquí\(M\) está la masa de la Tierra (no del satélite en órbita),\(a\) es el semieje mayor de la órbita del satélite, y\(\text{a}\) es el radio ecuatorial de la Tierra.

[Si asumimos que la Tierra es un esferoide oblato de densidad uniforme, entonces, según el ejemplo 1.iii de la Sección 2.20 del Capítulo 2 de nuestras notas sobre Mecánica Clásica,. \(C = \frac{2}{5} M\text{a}^2\). En ese caso, la Ecuación\ ref {14.5.5} se convierte\(\dot{Ω} = - \frac{3}{5} \sqrt{\frac{GM}{\text{a}^3}} \frac{(C-A)}{C} \left( \frac{\text{a}}{a} \right)^{7/2} ( 1 + 2e^2 ) \cos i\). Pero la densidad de la Tierra no es uniforme, así que dejaremos la Ecuación\ ref {14.5.5} tal como está.] Para una órbita casi circular, la ecuación\ ref {14.5.5} se vuelve justa

\[\dot{Ω} = - \frac{3}{2} \sqrt{\frac{GM}{\text{a}^3}} \frac{(C-A)}{Ma^2} \left( \frac{\text{a}}{a} \right)^{7/2} \cos i . \label{14.5.6} \tag{14.5.6}\]

Esto nos dice que la línea de nodos de un satélite en órbita alrededor de un planeta oblato (es decir\(C > A\)) retrocede. A partir de la tasa de regresión de la línea de nodos, podemos deducir la diferencia,\(C − A\) entre los momentos principales de inercia, aunque no podemos deducir ninguno de los dos momentos por separado. (Si pudiéramos determinar el momento de inercia a partir de la tasa de regresión de los nodos —que no podemos—, ¿qué tan bien podemos determinar la distribución de densidad dentro de la Tierra? Consulte el Problema 14 en el Capítulo A de nuestras notas de Mecánica Clásica para determinar la respuesta a esto. Se encontrará que el conocimiento del momento de inercia solo impone limitaciones débiles en el tamaño y densidad del núcleo).

Numéricamente se sabe para la Tierra que la cantidad\(\frac{3}{2} \sqrt{\frac{GM}{\text{a}^3}} \frac{(C-A)}{M \text{a}^2}\) es de aproximadamente\(2.04 \text{ rad s}^{−1}\), o alrededor de 10.1 grados por día. Así, la tasa de regresión de los nodos de un satélite en órbita alrededor de la Tierra en una órbita casi circular es de aproximadamente

\(\dot{Ω} = -10.1 \left( \frac{\text{a}}{a} \right)^{7/2} \ \cos i \quad \text{degrees per day}. \)

Podemos referirnos a las Ecuaciones 14.4.4 y 14.5.3 para determinar la velocidad de movimiento de la línea de ábsides,\(\dot{ω}\). Después de un poco de álgebra, y descuido de términos de orden\(e^2\) y superiores, encontramos

\[\dot{ω} = \frac{3(C - A)}{4 a^{7/2}} \sqrt{\frac{G}{M}} (5 \cos^2 i - 1 ) . \label{14.5.7} \tag{14.5.7}\]

o, si multiplicamos arriba e abajo por\(\text{a}^{7/2}\),

\[\dot{ω} = \frac{3(C - A)}{4 M \text{a}^2} \sqrt{\frac{GM}{\text{a}^3}} \left( \frac{\text{a}}{a} \right)^{7/2} (5 \cos^2 i - 1 ) . \label{14.5.8} \tag{14.5.8}\]

Así encontramos que la línea de ábsides avanza si la inclinación de la órbita hacia el ecuador es menor que\(63^\circ\) y retrocede si la inclinación es mayor que ésta.

En esta sección, he exigido una buena cantidad de trabajo al lector —en particular para la expansión de la Ecuación 14.5.2. Si bien el trabajo requiere cierta paciencia y persistencia, es sencillo, y el lector resuelto podrá resolver la expansión en términos de la anomalía media y el tiempo, y por lo tanto, haciendo uso de las Ecuaciones planetarias de Lagrange, podrá predecir las variaciones periódicas en\(a\), \(e\)y\(i\). Por el momento, no voy a hacer esto, ya que no hay nuevos principios involucrados, siendo el objetivo del capítulo darle al lector un inicio sobre cómo empezar a calcular los cambios en los elementos orbitales si se puede expresar analíticamente la función perturbadora.

Para el efecto de la perturbación de una órbita planetaria por la presencia de otros planetas, tenemos que resolver el problema numéricamente mediante las técnicas de perturbaciones especiales, que, espero, en algún momento en el futuro, puedan ser objeto de un capítulo adicional.