3.1: Introducción

El capítulo (2) demostró que el campo electrostático podría calcularse en todas partes en el espacio a partir de un conocimiento de la distribución espacial de cargas libres y un conocimiento de la distribución espacial de la densidad de momento dipolo eléctrico. Sin embargo, en la mayoría de los casos de interés no se conocen inicialmente las distribuciones de momento dipolar y de carga gratuita. En un problema típico se dan dos o más electrodos metálicos incrustados en un medio material, en el que se especifican los potenciales de los electrodos. En este tipo de problemas, las distribuciones de carga gratuita y momento dipolo deben determinarse como parte de la solución del problema. Para resolver tales problemas es necesario conocer la relación entre el campo eléctrico en un material y la densidad dipolar que es inducida en ese material por el campo eléctrico. En general tales problemas son extremadamente difíciles a menos que la densidad del dipolo,\(\vec P\) (\(\vec r\)),\(\vec r\) en un punto del material esté linealmente relacionada con el campo eléctrico en ese mismo punto,\(\vec E\) (\(\vec r\)). En este capítulo asumiremos que tenemos que ver con medios lineales, isotrópicos, tales que

\[\vec{\text{P}}(\vec{\text{r}})=\chi \epsilon_{0} \vec{E}(\vec{r}), \label{3.1}\]

donde\(\chi\) es un número puro llamado la susceptibilidad dieléctrica estática. \(\chi\)se supone que es independiente de la posición dentro de un material dado; exhibirá saltos discontinuos en el límite entre dos materiales diferentes. Fora material dieléctrico caracterizado por ecuaciones de\(\chi\) Maxwell para el campo electrostático convertido (sin variación con el tiempo)

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=0, \label{3.2}\]

\[\operatorname{div}(\vec{\text{E}})=\frac{1}{\epsilon_{0}}\left[\rho_{f}-\operatorname{div}(\vec{\text{P}})\right]=\frac{1}{\epsilon_{0}}\left[\rho_{f}-\chi \epsilon_{0} \operatorname{div}(\vec{\text{E}})\right].\nonumber\]

Esta última ecuación se puede escribir\(\epsilon_{0}(1+\chi) \operatorname{div}(\vec{\text{E}})=\rho_{f}\). Pero\(\epsilon_{0}(1+\chi)\) es independiente de la posición dentro de un material dieléctrico dado de manera que

\[\operatorname{div}\left[(1+\chi) \epsilon_{0} \vec{\text{E}}\right]=\rho_{f}=\operatorname{div}(\vec{\text{D}}), \label{3.3}\]

desde

\[\vec{D}=\epsilon_{0} \vec{\text{E}}+\vec{\text{P}}=(1+\chi) \epsilon_{0} \vec{E}. \label{3.4}\]

El número\((1+\chi)\) se llama la constante dieléctrica relativa,\(\epsilon_{r}\). Así, para un material isotrópico lineal

\[\vec{\text{D}}=\epsilon_{r} \epsilon_{0} \vec{\text{E}}=\epsilon \vec{\text{E}}, \label{3.5}\]

y

\[\operatorname{div}(\vec{\text{D}})=\rho_{f} \quad \text { or } \quad \operatorname{div}(\vec{E})=\rho_{f} / \epsilon. \label{3.6}\]

La ecuación (3.5) define la constante dieléctrica\(\epsilon\) que tiene las mismas unidades que\(\epsilon_{0}\), a saber, Farads/metro o Coulombs/Voltímetro.

Como en el Capítulo (2) se puede introducir una función potencial, V (\(\vec r\)), tal que

\[\vec{\text{E}}(\vec{\text{r}})=-\operatorname{grad} V(\vec{\text{r}}). \label{3.7}\]

Esta definición garantiza que la Ecuación de Maxwell (\ ref {3.2}) será satisfecha porque el rizo de cualquier gradiente es cero. Usando la ecuación (\ ref {3.7}) en la ecuación (\ ref {3.6}) da

\[-\operatorname{divgrad} V(\vec{\text{r}})=\rho_{f}(\vec{\text{r}}) / \epsilon \nonumber\]

o

\[\nabla^{2} V(\vec{r})=-\frac{1}{\epsilon} \rho_{f}(\vec{r}) \label{3.8}\]

La ecuación diferencial, Ecuación (\ ref {3.8}), se llama ecuación de Poisson. Es similar en forma a la Ecuación (2.2.5) del Capítulo (2) para\(\vec{\text{P}}=0\) excepto que\(\epsilon_{0}\) se sustituye por\(\epsilon\). Se deduce por analogía con la Ecuación (2.2.6) del Capítulo (2) que la solución particular de la Ecuación (\ ref {3.8}) es

\[V(\vec{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon} \int \int \int_{S p a c e} d V_{v o l} \frac{\rho_{f}(\vec{r})}{|\vec{\text{R}}-\vec{r}|} \label{3.9}\]

Desafortunadamente, Ecuación (\ ref {3.9}) rara vez es útil porque uno no suele conocer a priori la distribución de cargo gratuito,\(\rho_{f}(\vec{\text{r}})\). El problema habitual involucra una serie de electrodos conductores incrustados en un medio dieléctrico: ya sea el potencial o la carga total en cada electrodo se especifica como una condición límite. Generalmente se toma que el medio dieléctrico esté libre de carga\(\rho_{f}=0\), o bien ligeramente conductor donde la densidad de corriente en cualquier punto del medio es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto

\[\vec{J}_{f}=\sigma \vec{\text{E}}. \label{3.10}\]

Para el caso libre de carga, la ecuación de Poisson, Ecuación (\ ref {3.8}), se convierte en

\[\nabla^{2} V=0. \label{3.11}\]

Esto se llama ecuación de LaPlace. Para un medio conductor la densidad de carga generalmente no será cero. Sin embargo, cualquier distribución de cargas debe ser independiente del tiempo porque, por hipótesis, se trata de distribuciones de campos estáticos que son independientes del tiempo. Es consecuencia de la conservación de carga que la densidad de corriente\(\vec{J}_{f}\), y la densidad de carga\(\rho_{f}\), deben satisfacer la ecuación

\[\operatorname{div}\left(\vec{\text{J}}_{f}(\vec{\text{r}})\right)+\frac{\partial \rho_{f}(\vec{\text{r}})}{\partial t}=0, \label{3.12}\]

de manera que si la distribución de la carga no depende del tiempo, la densidad de corriente debe estar libre de divergencia;

\[\operatorname{div}\left(\vec{\text{J}}_{f}\right)=0. \label{3.13}\]

Pero si la densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico, Ecuación (\ ref {3.10}), se deduce que una densidad de corriente libre de divergencia debe ser emparejada con un campo eléctrico libre de divergencia,

\[\operatorname{div}(\vec{E})=0,\label{3.14}\]

y por lo tanto que la función potencial debe satisfacer la ecuación de LaPlace, Ecuación (\ ref {3.11}),\(\nabla^{2} V=0\). El problema independiente del tiempo asociado con conductores que tienen un potencial especificado incrustado en un medio dieléctrico lineal, isotrópico y sin carga tiene exactamente la misma distribución de potencial que el

Figura\(\PageIndex{1}\): Un conductor cargado. El cargo gratuito en el conductor es dado por\(Q=\int \int_{S} \vec{\text{D}} \cdot \text{d} \vec{S}\).

problema de los mismos conductores incrustados en un medio dieléctrico lineal, conductor, isotrópico. En cualquier caso se requiere una distribución de potencial que satisfaga la ecuación de LaPlace, Ecuación (\ ref {3.11}), y para la cual el potencial en cada electrodo conductor se reduce a un valor especificado, o bien la carga total en cada conductor calculada a partir de la distribución de potencial da un valor especificado valor. Un conductor debe tener el mismo potencial por definición porque el campo eléctrico dentro de un conductor es cero; un campo eléctrico cero significa que la función potencial no depende de la posición. El campo eléctrico dentro de un conductor debe ser cero porque de lo contrario las cargas móviles dentro del conductor fluirían a su superficie y acumularían campos eléctricos dependientes del tiempo en contradicción con la suposición original de que los campos eléctricos eran independientes del tiempo. Es una regla general que los componentes tangenciales del campo electrostático deben ser continuos a través de cualquier superficie (ver secciones 2.4 y 2.5). Por lo tanto, si\(\vec E\) = 0 dentro del cuerpo conductor se deduce que los componentes tangenciales del campo electrostático deben ser cero justo fuera de la superficie del conductor. En otras palabras, el campo electrostático debe ser normal a la superficie de un conductor.

La carga total sobre un conductor, que debe ubicarse completamente en la superficie del conductor, puede calcularse mediante una aplicación del teorema de Gauss a la Ecuación (\ ref {3.6}): ver Figura (3.1.1).

\[\text{Q}=\int \int_{\text {Surface}} \vec{\text{d} \vec{\text{S}} \cdot \vec{\text{D}}}=\epsilon \int \int_{\text {Surface}} \vec{\text{dS}} \cdot \vec{\text{E}}, \nonumber\]

donde la integral se evalúa en una superficie que se encuentra justo fuera de la superficie del conductor real. El campo eléctrico justo afuera del conductor es normal a la superficie y tiene la magnitud\(\text{E}_{n}=-\partial \text{V} / \partial \text{n}\), donde V/n es el gradiente del potencial en la superficie del conductor. Por lo tanto, la carga total contenida en el conductor está relacionada con el gradiente normal de la función potencial en el conductor

\[\text{Q}=-\epsilon \int \int_{\text {Surface}} \text{d} \vec{\text{S}} \cdot\left(\frac{\partial \text{V}}{\partial \text{n}}\right). \label{3.15} \]

Se puede probar matemáticamente, y tiene sentido físicamente, que solo hay una solución de la ecuación de LaPlace, ² V = 0, que satisface las condiciones de límite dadas. En otras palabras, una solución de la ecuación de LaPlace que satisfaga las condiciones límite es única; es la solución. Las condiciones límite pueden ser de tres tipos diferentes: (1) se especifica el potencial en cada conductor; (2) se especifica la carga total en cada conductor; (3) se especifica el potencial en algunos de los conductores y se especifica la carga total en los conductores restantes. Además, los campos muy alejados de cualquier cargo deben caer a cero al menos tan rápido como 1/R ². Este requisito se deriva del hecho de que cualquier cobro de cargos cuando se ve desde muy lejos debe parecerse casi a una carga puntual, y por lo tanto la función potencial debe caer como 1/R donde R es la distancia media al grupo de cargas.

En general es muy difícil encontrar una solución a la ecuación de LaPlace que satisfaga las condiciones límite impuestas por un problema particular. Por lo general, es necesario recurrir a técnicas numéricas o aproximadas para encontrar una solución adecuada. En las siguientes secciones se plantean una serie de problemas estándar y se discuten sus soluciones. Las soluciones de estos problemas estándar permiten construir, por analogía, una imagen de cómo debe comportarse el campo electrostático dado un problema cuyos parámetros se encuentran fuera de los correspondientes a una de las categorías que se discuten a continuación.