10.8: Metales en Radiofrecuencia

Nos interesa el caso práctico de metales a temperatura ambiente y frecuencias inferiores a 1000 GHz para que la respuesta metálica a un campo eléctrico pueda caracterizarse por su conductividad dc, σ ₀. También nos interesa el caso general de radiación en incidencia oblicua. En este régimen de frecuencia relativamente baja, la densidad de corriente de conducción en un metal es mucho mayor que la densidad de corriente de desplazamiento; es decir, para una dependencia del tiempo ~ exp (-iωt) se encuentra que\(\sigma_{0} \gg \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0}\) en la ecuación de Maxwell

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\sigma_{0} \vec{\text{E}}-i \omega \epsilon_{\text{r}} \epsilon_{0} \vec{\text{E}}. \nonumber \]

Las ecuaciones relevantes de Maxwell para campos de baja frecuencia en un metal no magnético,\(\mu \cong \mu_{0}\), se convierten

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{E}})=-\mu_{0} \frac{\partial \vec{\text{H}}}{\partial \text{t}} \label{10.68}\]

y

\[\operatorname{curl}(\vec{\text{H}})=\sigma_{0} \vec{\text{E}}. \label{10.69}\]

Toma el rizo de (10.68) y usa una variación de tiempo ∼ exp (−iωt) para obtener

\[\operatorname{curlcurl}(\vec{\text{E}})=i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \vec{\text{E}}, \nonumber\]

o

\[-\nabla^{2} \vec{\text{E}}+g r a d d i v(\vec{\text{E}})=i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \vec{\text{E}}. \label{10.70}\]

Sin embargo, la divergencia de cualquier curl de un vector es igual a cero, y consecuentemente div (\(\vec E\)) = 0 de la Ecuación (\ ref {10.69}). De ello se deduce que para un metal a bajas frecuencias los componentes del campo eléctrico deben satisfacer la ecuación

\[\nabla^{2} \text{E}_{\alpha}=-i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \text{E}_{\alpha}, \label{10.71}\]

donde\(\alpha\) representa cada uno de los tres componentes cartesianos x, y o z.

La solución del problema de una onda plana incidente en ángulo oblicuo sobre una superficie metálica plana procede igual que para el caso general de incidencia oblicua discutido en la sección (10.5). Dos casos son de interés: (1) Polarización S en la que el vector eléctrico de la onda incidente es paralelo a la interfaz plana, ver Figura (10.4.6), y (2) Polarización P en la que el vector eléctrico de la onda incidente se encuentra en el plano de incidencia y el vector magnético por lo tanto se encuentra paralelo con la interfaz, ver Figura (10.5.7).

10.8.1 Polarización S.

Usando el sistema de coordenadas de la Figura (10.4.6) se pueden escribir los campos en el metal

\ [\ begin {align}
\ text {E} _ {\ text {y}} =\ text {E} _ {\ text {T}}\ exp\ left (i\ left [\ text {xk}\ sin\ theta+\ text {zk} _ {\ text {z}} -\ omega\ text {t}\ right]\ right),\ label {10.72}\
\ texto {H} _ _ {\ texto {x}} =-\ frac {\ texto {k} _ {\ texto {z}}} {\ omega\ mu_ {0}}\ texto {E} _ _ {\ texto {T}}\ exp\ izquierda (i\ left [\ texto {xk}\ sin\ theta+\ texto {zk} _ {\ texto {z}} -\ omega\ texto {t}\ derecha]\ derecha),\ nonumber\
\ texto {H} _ {\ texto {z}} =\ frac {\ sin\ theta} {\ texto {Z} _ {0}}\ texto {E} _ {\ texto {T}}\ exp\ izquierda (me fui\ [\ texto {xk}\ sin\ theta+\ texto {zk} _ {\ texto {z}} -\ omega\ texto {t}\ derecha]\ derecha),\ nonumber
\ end {align}\]

donde Z ₀ = cµ ₀ = 377 ohmios, y k = ω/c. El componente de vector de onda k _z en el metal debe elegirse de manera que E _y satisfaga la Ecuación (\ ref {10.71}), i.e.

\[\text{k}_{\text{z}}^{2}=i \omega \mu_{0} \sigma_{0}-\left(\frac{\omega \sin \theta}{\text{c}}\right)^{2}. \nonumber \]

Al parecer, el componente onda-vector k _z depende del ángulo de incidencia de la onda del avión incidente de conducción. Esta dependencia es ilusoria porque µ ₀ σ ₀ es mucho mayor que\(w / c^{2}\): para el cobre a 100 GHz\(w / c^{2}\) = 7×10 ⁻⁶ mientras que µ ₀ σ ₀ = 81. Para el rango de frecuencias y conductividades que son de interés aquí el término en\(\sin ^{2} \theta\) es insignificante comparado con el término proporcional a la conductividad, y para cualquier ángulo de incidencia se puede usar

\[\text{k}_{2}^{2}=i \omega \mu_{0} \sigma_{0}, \nonumber \]

y

\[\text{k}_{\text{z}}=\sqrt{\frac{\omega \mu_{0} \sigma_{0}}{2}}(1+i)=\frac{(1+i)}{\delta}, \label{10.73}\]

donde\(\delta\) es una longitud que es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la frecuencia. Es útil recordar que\(\delta\) = 2µm para cobre a 1 GHz y a temperatura ambiente.

En la interfaz metal-vacío, los componentes tangenciales de\(\vec E\) y\(\vec H\) deben ser continuos a través de la superficie. Estas condiciones límite en z=0 dan como resultado dos ecuaciones para las dos amplitudes de campo eléctrico desconocidas E _R y E _T; E _R es la amplitud de la onda reflejada desde la superficie metálica, y E _T es la amplitud del campo eléctrico transmitido al metal. Las soluciones de estas ecuaciones son

\ [\ begin {align}
&\ frac {E_ {R}} {E_ {0}} =\ izquierda (\ frac {(\ omega/c)\ cos\ theta-k_ {z}} {(\ omega/c)\ cos\ theta+k_ {z}}\ derecha),\ etiqueta {10.74}\\
&\ frac {\ texto {E} _\ texto {T}}} {\ texto {E} _ {0}} =\ izquierda (\ frac {2 (\ omega/\ texto {c})\ cos\ theta} {(\ omega/\ texto {c})\ cos\ theta+\ texto {k} _ _ {z}}\ derecha ). \ nonumber\ end {align}\]

El vector de onda k _z es muy grande comparado con (ω/c) cos θ de manera que si se divide las ecuaciones en (10.74) por k _z arriba e abajo los coeficientes de reflexión y transmisión pueden expresarse como una expansión de serie de potencia en el parámetro pequeño ω cos θ/ (ck _z): por ejemplo

\[\frac{\text{E}_{\text{R}}}{\text{E}_{0}}=\frac{-1+\frac{\omega \cos \theta}{\text{ck}_{\text{z}}}}{1+\frac{\omega \cos \theta}{\text{ck}_{\text{z}}}} \cong-1+\left(\frac{2 \omega \cos \theta}{\text{ck}_{\text{z}}}\right) . \nonumber \]

En términos de\(\left(1 / \text{k}_{\text{z}}\right)=\frac{\delta}{2}(1-i)\) uno encuentra

\ [\ begin {align}
&\ frac {\ text {E} _ _ {\ text {R}}} {\ text {E} _ {0}}\ cong-1+\ left (\ frac {\ delta\ omega\ cos\ theta} {\ texto {c}}\ derecha) (1-i),\ etiqueta {10.75}\\
&\ frac {\ texto {E} _ {text {T}}} {\ text {E} _ {0}}\ cong\ left (\ frac {\ delta\ omega\ cos\ theta} {\ text {c}}\ right) (1-i).
\ end {align}\]

La velocidad a la que se transporta la energía a través de la superficie por metro cuadrado para ser disipada como calor de Joule en el metal viene dada por el promedio de tiempo del vector Poynting en z=0.

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(-\text{E}_{\text{y}} \text{H}_{\text{x}}^{*}\right) \nonumber \]

para que

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{T}}\left(\frac{\text{k}_{\text{z}}^{*}}{\omega \mu_{0}}\right) \text{E}_{\text{T}}^{*}\right)=\frac{1}{2 \delta \omega \mu_{0}}\left|\text{E}_{\text{T}}\right|^{2}, \nonumber \]

o

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{\delta \omega}{\text{c}} \cos ^{2} \theta\left(\frac{\text{E}_{0}^{2}}{\text{Z}_{0}}\right). \label{10.76}\]

La tasa promediada en el tiempo a la que la onda incidente transporta energía en la dirección z viene dada por el componente z del vector Poynting de la onda incidente:

\[<\text{S}_{0}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(-\text{E}_{\text{y}} \text{H}_{\text{x}}^{*}\right)=\frac{\text{E}_{0}^{2}}{2 \text{Z}_{0}} \cos \theta. \label{10.77}\]

El coeficiente de absorción asociado a la superficie metálica viene dado por

\[\alpha=\frac{<S_{z}>}{<S_{0}>}=2\left(\frac{\delta \omega}{c}\right) \cos \theta, \label{10.78}\]

donde\(\delta=\sqrt{2 /\left(\omega \mu_{0} \sigma_{0}\right)}\). El coeficiente de absorción es muy pequeño y aumenta con frecuencia como\(\sqrt{\omega}\), y disminuye en proporción con el aumento de la raíz cuadrada de la conductividad. Observe que en la superficie del metal los componentes del campo magnético H _x en las ondas incidentes y reflejadas se suman en fase de manera que en z=0

\[\text{H}_{\text{x}}=-\text{H}_{0} \cos \theta-\text{H}_{\text{R}} \cos \theta, \nonumber \]

o

\[\text{H}_{\text{x}}=\frac{\text{E}_{0} \cos \theta}{\text{Z}_{0}}\left(-2+\frac{\delta \omega \cos \theta}{\text{c}}(1-i)\right). \label{10.79}\]

Dado que\(\delta \omega / \text{c}=2 \pi(\delta / \lambda)\) es muy pequeño se comete muy poco error al tomar la componente paralela del campo magnético en la superficie metálica para que sea solo el doble de la componente de campo magnético paralelo de la onda incidente. En el límite de conductividad infinita el parámetro\(\delta\) → 0, el campo eléctrico en el metal se vuelve cero, y el componente H _x en la superficie metálica tiene el doble de amplitud de H _x en la onda incidente. El componente _Hz también se convierte en cero en la superficie metálica en el límite de conductividad infinita, de manera que el componente normal de\(\vec B\), _Bz = µ ₀ H _z, es continuo a través de la interfaz vacío-metal como lo requiere la Ecuación div (\(\vec B\)) = 0.

10.8.2 Polarización P.

El vector magnético de la onda incidente es paralelo a la superficie metálica, Figura (10.5.7). Para este caso las ondas en el metal son descritas por

\ [\ begin {align}
\ text {H} _ {\ text {y}} &=\ text {H} _ {\ text {T}}\ exp\ left (i\ left [\ text {xk}\ sin\ theta+\ text {zk} _ {\ text {z}} -\ omega\ text {t}\ right]\ right),\ label {10.80}\
\ texto {E} _ {\ texto {x}} &=-\ frac {i\ texto {k} _ {\ texto {z}}} {\ sigma_ {0}}\ texto {H} _ {\ texto {T}}\ exp\ left (i\ left [\ texto {x }\ texto {k}\ sin\ theta+\ texto {zk} _ {\ texto {z}} -\ omega\ texto {t}\ derecha]\ derecha),\ nonumber\
\ texto {E} _ _ {\ texto {z}} &=\ frac {i\ omega\ sin\ theta} {\ texto {c}\ sigma_ {0}}\ texto {H} _ {\ texto {T}}\ exp\ izquierda (i\ izquierda [\ texto {xk}\ sin\ theta+\ texto {z}\ texto {k} _ _ {\ texto {z}} -\ omega\ texto {t}\ derecha]\ derecha),\ nonumber
\ end {align}\]

donde

\[\text{k}_{\text{z}}^{2}=i \omega \mu_{0} \sigma_{0}-\left(\frac{\omega}{\text{c}}\right)^{2} \sin ^{2} \theta \cong i \omega \mu_{0} \sigma_{0} \nonumber\]

y por lo tanto

\[\text{k}_{\text{z}}=\sqrt{\frac{\omega \mu_{0} \sigma_{0}}{2}}(1+i)=\frac{(1+i)}{\delta}. \label{10.81}\]

Las condiciones límite en H _y y en E _x en la interfaz z=0 (continuidad de los componentes tangenciales de\(\vec E\) y\(\vec H\)), más un poco de álgebra, dan fácilmente los resultados

\ [\ begin {align}
\ frac {\ text {H} _ _ {\ text {R}}} {\ text {H} _ {0}} &=\ frac {\ left (\ cos\ theta-\ left (\ frac {\ omega\ delta} {2\ text {c}}\ right) (1-i)\ right)} {\ left (\ cos\ theta+ left\ (\ frac {\ omega\ delta} {2\ texto {c}}\ derecha) (1-i)\ derecha)},\ label {10.82}\
\ frac {\ texto {H} _ _ {\ texto {T}}} {\ texto {H} _ {0}} & amp; =\ frac {2\ cos\ theta} {\ izquierda (\ cos\ theta+\ izquierda (\ frac {\ omega\ delta} {2\ texto {c}}\ derecha) (1-i)\ derecha)},\ nonumber\
\ frac {\ texto {E} _ _ {\ texto {x}}} {\ texto {H} _ {0}} &= frac {\ text {Z} _ {0}\ izquierda (\ frac {\ omega\ delta} {\ texto {c}}\ derecha)\ cos\ theta (1-i)} {\ left (\ cos\ theta+\ left (\ frac {\ omega\ delta} {2\ text {c} }\ derecha) (1-i)\ derecha)}. \ nonumber\ end {align}\]

En las expresiones anteriores Z ₀ = 377 Ohmios, la impedancia del espacio libre. La relación\(\omega \delta / \text{c}=2 \pi \delta / \lambda\) es muy pequeña, aproximadamente 4 × 10 ⁻⁵ para cobre a 1 GHz y 300K. Por tanto, se deduce que

\[\frac{\text{H}_{\text{R}}}{\text{H}_{0}} \cong 1 \nonumber\]

y

\[\frac{\text{H}_{\text{T}}}{\text{H}_{0}} \cong 2, \nonumber\]

y

\[\frac{\text{E}_{\text{x}}}{\text{H}_{0}} \cong \text{Z}_{0}\left(\frac{\omega \delta}{\text{c}}\right)(1-i) \sim 0. \nonumber \]

De hecho, para un metal perfecto, uno para el que la conductividad se vuelve infinitamente grande, el parámetro de longitud\(\delta\),, va a cero y el campo eléctrico no penetra en el metal.

La velocidad a la que la energía se transporta a la superficie metálica en z=0 viene dada por

\[<\text{S}_{\text{z}}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{x}} \text{H}_{\text{y}}^{*}\right)=\left(\frac{2 \omega \delta}{\text{c}}\right) \frac{\text{Z}_{0}}{2}\left|\text{H}_{0}\right|^{2} \quad \text { Watts } / m^{2}. \nonumber \]

La velocidad a la que la onda incidente transporta la energía a la superficie viene dada por

\[<\text{S}_{0}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\text{E}_{\text{x}} \text{H}_{\text{y}}^{*}\right)=\frac{\text{Z}_{0}}{2} \cos \theta\left|\text{H}_{0}\right|^{2} \quad \text { Watts } / m^{2}. \nonumber \]

De ello se deduce que el coeficiente de absorción asociado a la superficie metálica es

\[\alpha=\frac{<\text{S}_{\text{z}}>}{<\text{S}_{0}>}=\frac{2 \omega \delta}{\operatorname{ccos} \theta}. \label{10.83}\]

La ecuación (10.83) solo es válida si cos θ ≫ (ω\(\delta\) /c). En el límite opuesto, para ángulos muy cercanos a\(\pi\) /2 de manera que cos θ (ω\(\delta\) /c), se puede mostrar que

\[\alpha \rightarrow 4 \cos \theta /(\omega \delta / \text{c}), \nonumber\]

de manera que el coeficiente de absorción va a cero a medida que se acerca el ángulo de incidencia\(\pi\) /2.