11.8: Línea de Transmisión con Pérdidas

El voltaje y la corriente en una línea de transmisión sin pérdidas deben satisfacer las siguientes ecuaciones:

\ [\ begin {align}
&\ frac {\ parcial^ {2}\ mathrm {V}} {\ parcial\ mathrm {z} ^ {2}} =\ épsilon\ mu_ {0}\ frac {\ parcial^ {2}\ mathrm {V}} {\ parcial\ mathrm {t} ^ {2}},\ etiqueta {11.45}\
&\ frac {\ parcial^ {2} I} {\ parcial z^ {2}} =\ épsilon\ mu_ {0}\ frac {\ parcial^ {2} I} {\ parcial t^ {2}}. \ nonumber
\ end {align}\]

Estas son una consecuencia directa de las ecuaciones de Maxwell. Estrictamente hablando, solo son correctos siempre que\(\epsilon\), la constante dieléctrica, sea verdaderamente una constante y por lo tanto independiente de la frecuencia. Incluso los mejores materiales aislantes dieléctricos presentan algunas pérdidas que dependen de la frecuencia: en muchos casos la parte imaginaria de la constante dieléctrica es proporcional a la frecuencia. Para una dependencia del tiempo exp (iωt) las dos ecuaciones anteriores, (\ ref {11.45}), se convierten

\ [\ begin {align}
&\ frac {\ parcial^ {2} V} {\ parcial z^ {2}} =-\ épsilon\ mu_ {0}\ omega^ {2} V,\ label {11.46}\\
&\ frac {\ parcial^ {2} I} {\ parcial z^ {2}} =-\ épsilon\ mu_ {0}\ omega^ {2} I,\ nonumber
\ end {align}\]

donde\(\epsilon\) pueden tener partes reales e imaginarias, ambas de las cuales dependerán de la frecuencia. Las soluciones de ecuaciones (\ ref {11.46}) que son armónicas en el espacio, es decir, V e I son proporcionales a exp (−ikz), deben ser descritas por un vector de onda k que satisfaga la condición

\[\mathrm{k}^{2}=\epsilon \mu_{0} \omega^{2} , \nonumber \]

En presencia de pérdidas dieléctricas\(\epsilon\) será en general una cantidad compleja, y por lo tanto también debe ser complejo el vector onda:

\[\mathrm{k}=\pm \omega \sqrt{\epsilon \mu_{0}}\]

para que

\[\mathrm{k}=\pm\left(\mathrm{k}_{1}-\mathrm{ik}_{2}\right) . \label{11.47}\]

Se pueden escribir las soluciones generales de las ecuaciones de onda (\ ref {11.46}) para el voltaje y la corriente en la línea de transmisión en presencia de un dieléctrico con pérdidas

\ [\ begin {align}
&\ mathrm {V} (\ mathrm {z},\ mathrm {t}) =\ left [\ mathrm {a}\ exp\ left (-\ mathrm {k} _ {2}\ mathrm {z}\ derecha)\ exp\ izquierda (-i\ mathrm {k} _ _ {1}\ mathrm {z}\ derecha) +\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ derecha) +\ mathrm {b}\ exp\ izquierda (\ mathrm {k} _ {2}\ mathrm {z}\ derecha)\ exp\ izquierda (i\ mathrm {k} _ _ {1}\ mathrm {z}\ derecha)\ derecha]\ cdot\ exp (i\ omega\ mathrm {t}),\\ &\ mathrm {I} (\ mathrm {z}\ label {11.48},\ mathrm {t}) =\ frac {1} {\ mathrm {Z} _ {0}}\ left [\ operatorname {aexp}\ left (-\ mathrm {k} _ _ {2}\ mathrm z {}\ right)\ exp left\ (-i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ derecha) -\ mathrm {b}\ exp\ izquierda (\ mathrm {k} _ _ {2}\ mathrm {z}\ derecha)\ exp\ izquierda (i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ derecha)\ derecha]\ exp (i\ omega\ mathrm {t}),\ nonumber
\ end {align}\]

donde (k ₂ /k ₁) 1 para un cable de alta calidad, y k ₁, k ₂ son las partes real e imaginaria del vector de onda. Observe que k ₂ debe ser positivo para que la amplitud de la onda que se propaga hacia adelante decae con la distancia.

De hecho, parte de la pérdida de energía a medida que una onda se propaga por una línea de transmisión se debe a pérdidas óhmicas en la profundidad de la piel de los conductores: es decir, los electrodos metálicos sí poseen una conductividad finita y por lo tanto hay pérdidas de energía debido a las corrientes de blindaje que fluyen en ellos. Se puede demostrar fácilmente, utilizando los métodos del Capítulo (10), que la tasa de pérdida de energía en cada conductor por unidad de área de superficie viene dada por

\[<\mathrm{S}_{\mathrm{n}}>=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\omega \mu_{0}}{2 \sigma_{0}}}\left|\mathrm{H}_{0}\right|^{2} \quad \text { Watts } / m^{2} . \nonumber\]

< S _n > es el componente del vector Poynting promediado en el tiempo correspondiente al flujo de energía hacia la superficie del conductor, σ ₀ es la conductividad dc de la pared metálica, _H0 es la intensidad del campo magnético en la superficie del conductor y ω = 2\(\pi\) f es la frecuencia circular. Esta pérdida de energía debe agregarse a la pérdida de energía en el material dieléctrico. Las pérdidas de conductores se pueden tomar en cuenta incrementando la parte imaginaria del vector de onda, k ₂, en Ecuaciones (11.8.5). Se puede escribir

\ [\ begin {align}
&\ mathrm {V} (\ mathrm {z},\ mathrm {t}) =\ left [\ operatorname {aexp} (-\ alpha\ mathrm {z})\ exp\ left (-i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ right) +\ mathrm {b}\ exp (\ alpha\ mathrm z {})\ exp\ izquierda (+i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ derecha)\ derecha]\ exp (i\ omega t)\ label {11.49}\\ &\ mathrm {I} (\ mathrm {z },\ mathrm {t}) =\ frac {1} {\ mathrm {Z} _ {0}}\ left [\ operatorname {aexp} (-\ alpha\ mathrm {z})\ exp\ left (-i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ right) -\ mathrm {b}\ exp (\ alpha\ mathrm {z})\ exp\ izquierda (+i\ mathrm {k} _ {1}\ mathrm {z}\ derecha)\ derecha]\ exp (i\ omega\ mathrm {t})\ nonumber
\ end {align}\]

donde\(\alpha\) es un parámetro empírico cuya dependencia de frecuencia se puede medir para un cable en particular. Las constantes a, b in (\ ref {11.49}) deben ajustarse para satisfacer la condición límite en la posición de la carga; es decir, en la carga Z _L = V/I. Para un cable que tiene una impedancia característica Z ₀ que conecta un generador en z=0 con una carga en z=L esta condición requiere

\[ \frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\left[\frac{\operatorname{aexp}(-\alpha \mathrm{L}) \exp \left(-i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)+\mathrm{b} \exp (\alpha \mathrm{L}) \exp \left(i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}{\mathrm{a} \exp (-\alpha \mathrm{L}) \exp \left(-i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)-\mathrm{b} \exp (\alpha \mathrm{L}) \exp \left(i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}\right], \nonumber \]

de la cual

\[\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\left[\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}-1}{\mathrm{Z}_{0}}-1\right] \exp (-2 \alpha \mathrm{L}) \exp \left(-2 i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right) . \nonumber \]

Usando la notación anterior z _L = Z _L /Z ₀, y z _G = Z _G /Z ₀, y

\[\Gamma=\frac{z_{L}-1}{z_{L}+1}=|\Gamma| \exp (i \theta) , \nonumber \]

uno encuentra

\[\mathrm{z}_{\mathrm{G}}=\left[\frac{1+\Gamma \exp (-2 \alpha \mathrm{L}) \exp \left(-2 i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}{1-\Gamma \exp (-2 \alpha \mathrm{L}) \exp \left(-2 i \mathrm{k}_{1} \mathrm{L}\right)}\right] . \label{11.50}\]

La ecuación (\ ref {11.50}) muestra que la impedancia vista por el generador se acerca a la impedancia característica del cable si la carga está conectada al generador a través de un cable que es largo comparado con la longitud de atenuación (1/\(\alpha\)).

Las características de algunos cables coaxiales representativos se enumeran en la Tabla (11.8.1), y sus longitudes de atenuación a varias frecuencias se enumeran en la Tabla (11.8.2). La longitud del cable para la cual se atenúa la amplitud de un pulso de voltaje a (1/e) = 0.368 de su amplitud original viene dada por (1/\(\alpha\)). Por ejemplo, esta longitud de atenuación es de 9.8 metros para cable RG-8 a 5 GHz.

El parámetro de atenuación,\(\alpha\), para los cables enumerados en la Tabla (11.8.2) se observa que es aproximadamente proporcional a\(\sqrt{\omega}\), y esto sugiere que la mayoría de las pérdidas en estos cables se deben a corrientes parásitas en los conductores.

Tabla\(\PageIndex{1}\): Características de algunos cables coaxiales comerciales de uso común. El material dieléctrico entre los conductores es polietileno. Los datos fueron tomados del catálogo 1985/86 de RAE Industrial Electronics Ltd., Vancouver, BC.

Tabla\(\PageIndex{2}\): Dependencia de frecuencia del parámetro de atenuación\(\alpha\) para algunos cables coaxiales seleccionados. V (z) = V ₀ exp (−\(\alpha\) z). Frecuencias en MHz. Los datos son tomados del catálogo 1985/86 de RAE Industrial Electronics Ltd., Vancouver, BC.