11.7: La Línea Ranurada

Una línea ranurada es una sección de un cable coaxial que utiliza aire como medio dieléctrico y en el que se ha cortado una ranura estrecha a lo largo de la longitud del conductor exterior; la ranura es suficientemente estrecha para que su presencia no afecte apreciablemente la distribución del campo eléctrico entre los cilindros conductores que forman las paredes del cable. Un pin delgado se inserta a través de la ranura y se utiliza para captar una señal que es una medida de la intensidad del campo eléctrico en el cable coaxial. Este pasador está montado en un carro cuya posición a lo largo de la línea ranurada se puede medir con precisión. Una imagen y un boceto de una línea ranurada se pueden encontrar en el libro de Ginzton (ver sus Figuras (5.11) y (5.12)). La señal captada por el pin de la sonda suele ser rectificada por medio de un diodo de alta frecuencia y es la señal de CC resultante la que se mide. La señal de CC proporciona una medida de la amplitud de la diferencia de potencial en cualquier punto a lo largo de la línea ranurada. Si la señal captada es muy pequeña, digamos menos de ~1 mV, la señal de CC proporciona una medida del cuadrado promediado en el tiempo de la diferencia de potencial entre los conductores externo e interno; en muchos casos la señal captada es mayor que 10 mV, y en tales casos los diodos de alta frecuencia utilizados comúnmente para tales mediciones producen una señal de CC que es proporcional a la raíz cuadrática media de la diferencia de potencial entre los conductores externo e interno. Si la línea ranurada se usa para conectar un generador que opera a una frecuencia fija con una carga que es diferente de la impedancia característica de la línea, se encontrará que la señal de sonda rectificada exhibe una variación sinusoidal entre una señal máxima y una señal mínima a medida que la sonda se mueve a lo largo del línea. La relación de la señal máxima a la señal mínima a medida que la sonda se mueve a lo largo de la línea ranurada proporciona una medida de la relación de la amplitud de onda directa a la amplitud de onda reflejada, es decir, las amplitudes a y b de la Ecuación (11.6.2) que describe la dependencia de posición de la tensión a lo largo del cable.

De la ecuación (11.6.2)

\[\mathrm{V}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\operatorname{aexp}(-i \mathrm{kz})\left(1+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}} \exp (2 i \mathrm{kz})\right) \exp (i \omega \mathrm{t}) ,\nonumber \]

donde, de Ecuaciones (11.6.4)

\[\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)=\left(\frac{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1}{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1}\right) \exp (-2 i \mathrm{kL}). \nonumber \]

Pero por definición, Ecuación (11.6.5),

\[\Gamma=|\Gamma| \exp (i \theta)=\left(\frac{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}-1}{\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}+1}\right) , \nonumber \]

o, en términos de la impedancia normalizada

\[ \mathrm{z}_{\mathrm{L}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}\nonumber \]

uno tiene

\[\Gamma=\left(\frac{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}-1}{\mathrm{z}_{\mathrm{L}}+1}\right)=|\Gamma| \exp (i \theta) . \label{11.38}\]

La relación (b/a) se puede escribir

\[ \left(\frac{b}{a}\right)=|\Gamma| \exp (-i[2 k L-\theta]), \nonumber \]

de la que se obtiene

\[\mathrm{V}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{a} \exp (-i \mathrm{kz})(1+|\Gamma| \exp (i[2 \mathrm{k}(\mathrm{z}-\mathrm{L})+\theta])) \exp (i \omega \mathrm{t}) , \nonumber \]

y

\[\mathrm{V}^{*}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{a}^{*} \exp (+i \mathrm{kz})(1+|\Gamma| \exp (-i[2 \mathrm{k}(\mathrm{z}-\mathrm{L})+\theta])) \exp (-i \omega \mathrm{t}) , \nonumber \]

donde V ^∗ (z, t) es el conjugado complejo de la función potencial V (z, t). El valor promedio de tiempo del cuadrado de la tensión viene dado por

\[ <\mathrm{V}^{2}>=\frac{1}{2} \operatorname{Real}\left(\mathrm{VV}^{*}\right), \nonumber \]

o

\[ <\mathrm{V}^{2}>=\frac{|\mathrm{a}|^{2}}{2}\left(1+|\Gamma|^{2}+2|\Gamma| \cos (2 \mathrm{k}[\mathrm{z}-\mathrm{L}]+\theta)\right). \label{11.39}\]

El valor máximo de < V ² >, o de\(\sqrt{<V^{2}>}\), se produce en aquellas posiciones z de tal manera que (2k [z − L] + θ) = 2\(\pi\) n donde n es un entero. Estos máximos están separados a media longitud de onda; la variación de la señal de captación a medida que la sonda se mueve a lo largo de la línea ranurada proporciona una medida directa de la longitud de onda de la radiación. El valor máximo de la diferencia de potencial cuadrático medio raíz es

\[(\sqrt{<\mathrm{V}^{2}>})_{\max }=\frac{|\mathrm{a}|}{\sqrt{2}}(1+|\Gamma|) . \nonumber \]

El valor mínimo de la señal de captación se produce en aquellas posiciones tales que (2k [z − L] +θ) =\(\pi\) m donde m es un entero impar: estos mínimos también están espaciados a media longitud de onda. Como mínimo, el voltaje cuadrático medio es

\[(\sqrt{<\mathrm{V}^{2}>})_{\min }=\frac{|\mathrm{a}|}{\sqrt{2}}(1-|\Gamma|) . \nonumber \]

La relación de estos dos voltajes se llama “Relación de onda estacionaria de voltaje” y generalmente se designa por VSWR:

\[ \mathrm{VSWR}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}. \label{11.40}\]

Esta expresión puede invertirse para dar

\[|\Gamma|=\left(\frac{\mathrm{VSWR}-1}{\mathrm{VSWR}+1}\right) . \label{11.41}\]

La relación de onda estacionaria de voltaje, que se puede medir fácilmente por medio de una línea ranurada, proporciona información sobre la impedancia de carga a través del valor absoluto del parámetro\(\Gamma\) = (z _L − 1)/(z _L +1). Para determinar la fase de la impedancia de carga también es necesario medir la fase del parámetro\(\Gamma\): a partir de la definición de\(\Gamma\)

\[\mathrm{z}_{\mathrm{L}}=\frac{\mathrm{Z}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{Z}_{0}}=\left(\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}\right) . \label{11.42}\]

Así, un conocimiento de la amplitud y fase de\(\Gamma\) sirve para determinar la amplitud y fase de la impedancia de carga, _ZL. La fase de se\(\Gamma\) puede obtener a partir de la posición del voltaje máximo o mínimo en la línea ranurada; es preferible usar la posición del mínimo porque la posición de una señal mínima se puede medir con mucha más precisión que la posición de una señal máxima.

La estructura de la relación entre el número complejo\(\Gamma\) y la impedancia de carga compleja, z _L = Z _L /Z ₀, es tal que para una impedancia de carga

que tiene un componente inductivo, el ángulo de fase θ debe estar entre 0 y\(\pi\) radianes, mientras que para una impedancia de carga que tiene un componente capacitivo, el ángulo de fase θ debe estar entre 0 y −\(\pi\) radianes. Como ejemplo consideremos una carga puramente inductiva tal que z _L = +iβ. Para este caso

\[\Gamma=\frac{-1+i \beta}{1+i \beta} . \nonumber \]

El numerador de\(\Gamma\) puede ser escrito

\[N=\sqrt{1+\beta^{2}} \exp (i[\pi-\phi]) , \nonumber \]

donde tan\(\phi\) = β. El denominador de\(\Gamma\) puede ser escrito

\[D=\sqrt{1+\beta^{2}} \exp (i \phi) , \nonumber \]

donde, como arriba, tan\(\phi\) = β. Así para este ejemplo

\[ \Gamma=\exp (i[\pi-2 \phi]) , \nonumber \]

donde para β → 0 θ →\(\phi\), y para β muy grande θ → 0. Este caso es especial pero usando álgebra compleja se puede demostrar que θ debe estar entre 0 y\(\phi\) radianes para cualquier carga que tenga un componente inductivo. Considere la posición de un mínimo en la tensión de línea ranurada correspondiente a una carga inductiva. De la ecuación (\ ref {11.39}) uno de los mínimos ocurre en la posición z cuando

\[2 \mathrm{k}(\mathrm{z}-\mathrm{L})+\theta=\pi , \nonumber \]

o desde k = 2\(\phi\) /λ, el mínimo ocurre en

\[\mathrm{z}=\mathrm{L}+\frac{(\pi-\theta)}{4 \pi} \lambda . \nonumber \]

La posición de este mínimo particular varía de z=L para θ =\(\pi\) a z = L + (λ/4) para θ = 0. Claramente no se puede medir la posición de este mínimo porque se encuentra fuera de la línea ranurada (Z>L). Sin embargo, el patrón descrito por la Ecuación (\ ref {11.39}) se repite cada media longitud de onda a lo largo de la línea ranurada. Por lo tanto, solo se tiene que medir la posición del mínimo de voltaje con respecto a una posición, z ₂, ubicada exactamente a media longitud de onda desde el final de la línea ranurada. Esta posición, z ₂, se puede encontrar simplemente ubicando la posición de la señal mínima apropiada cuando la impedancia de carga es reemplazada por un cortocircuito. La condición para la posición de un voltaje mínimo con la carga en su lugar se puede escribir entonces

\[2 \mathrm{k}\left(\mathrm{z}-\mathrm{z}_{2}\right)+\theta=\pi \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \theta=\pi-\frac{4 \pi}{\lambda}\left(\mathrm{z}-\mathrm{z}_{2}\right) , \label{11.43} \]

donde z > z ₂ para una carga que tiene un componente inductivo.

Para una carga que tenga un componente capacitivo considere el mínimo correspondiente a

\[ 2 \mathrm{k}(\mathrm{z}-\mathrm{L})+\theta=-\pi . \nonumber \]

Este mínimo en el voltaje de onda estacionaria ocurre en

\[ \mathrm{z}=\mathrm{L}-\frac{(\pi+\theta)}{4 \pi} \lambda . \nonumber \]

Dado que θ se encuentra entre 0 y −\(\pi\) radianes para este caso la posición del mínimo varía de z = L − λ/4 a z=L, es decir, la posición del mínimo se desplaza hacia el generador. Este mínimo es accesible en la línea ranurada pero es más conveniente medir la posición de ese mínimo particular que se encuentra cerca de z ₂, la posición que es una media longitud de onda eliminada del final de la línea ranurada. La condición que describe la posición del mínimo que se encuentra dentro de λ/4 de z ₂ viene dada por

\[ 2 \mathrm{k}\left(\mathrm{z}-\mathrm{z}_{2}\right)+\theta=-\pi , \nonumber \]

y por lo tanto

\[ \theta=-\pi+\frac{4 \pi}{\lambda}\left(\mathrm{z}_{2}-\mathrm{z}\right) , \label{11.44} \]

donde para una impedancia que tiene un componente capacitivo z ₂ > z.

Recapitulación

Para determinar una impedancia desconocida usando una línea ranurada se debe obtener la amplitud del parámetro a\(\Gamma\) partir de la relación de onda estacionaria de voltaje, Ecuación (\ ref {11.41}), así como la fase de γ a partir de la posición de un mínimo de voltaje en la línea ranurada. La fase de\(\Gamma\), θ, se puede determinar a partir de la posición del mínimo, z, relativo a una posición, z ₂, ubicada exactamente λ/2 desde el final de la línea ranurada. La posición de z ₂ está determinada por la posición del mínimo apropiado cuando la línea ranurada se termina con un cortocircuito. Con la línea ranurada terminada por la impedancia desconocida se busca un mínimo de voltaje ubicado dentro de λ/4 de la posición cortocircuitada z ₂. Si la posición de este mínimo se desplaza desde z ₂ hacia la carga entonces esa impedancia tiene un componente inductivo y el ángulo de fase θ se calculará usando la Ecuación (\ ref {11.43}). Si la posición del mínimo se desplaza desde z ₂ hacia el generador entonces la carga tiene un componente capacitivo y el ángulo de fase θ se calculará usando la Ecuación (\ ref {11.44}).