13.1: Capítulo 1

Problema (1.1).

Dos cargas, cada una q=+1.6x10 ^-19 Coulombs, se ubican en (0,0, a) y en (0,0, -a) donde a=1.0x10 ^-9 metros.

a) Calcular el campo eléctrico en el origen (0,0,0).

(Answ: el campo es cero.)

b) Calcular el campo eléctrico en (a, a, a).

(Answ: E = (6.07,6.07,1.96) x10 ⁸ Voltios/m.)

(c) Un electrón, q=-1.6x10 ^-19 Coulombs, vuela a través del punto (a, a) con la velocidad v = v ₀ (1,2,3) donde v ₀ = 10 ⁵ m/seg. ¿Qué fuerzas se ejercen sobre el electrón debido a las dos cargas estacionarias?

(Answ: F = q E = (-9.71, -9.71, -3.14) x10 ^-11 Newtons. No hay fuerza magnética.)

Problema (1.2).

En cierto momento un protón móvil, q=+1.6x10 ^-19 Coulombs, se localiza en (0,0, a) con componentes de velocidad v ₀ (1,1,0) donde ^a=10-9 m. y v ₀ =10 ⁵ m/seg. En el mismo momento un electrón móvil, q=-1.6x10 ^-19 Coulombs, se localiza en (a, a) con componentes de velocidad (0,10 ⁶ ,0) m/seg.

a) Calcular los campos eléctricos y magnéticos en la posición del electrón debido al protón.

(Answ: E = (E ₀, E ₀ ,0) donde E ₀ = 5.09x10 ⁸ V/m. y B = (0,0,0) porque v _p x E =0.)

(b) Calcular la fuerza sobre el electrón debida al campo eléctrico del protón.

(Answ: F =( -F ₀, -F ₀ ,0) donde F ₀ = |Q|E ₀ =8.14x10 ^-11 N.)

(c) Calcular la fuerza sobre el electrón debida al campo magnético del protón.

(Answ: F = v _electrón x B = 0 N.)

(d) Calcular las fuerzas eléctricas y magnéticas sobre el protón debidas a los campos generados por el electrón.

Answ: El campo eléctrico en la posición del protón, R =( 0,0, a), debido al electrón en r =( a, a, a) viene dado por

\[\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \quad\left(-1.6 \times 10^{-19}\right) \frac{\rho}{\rho^{3}}, \nonumber\]

donde ρ= R - r = (-a, -a,0) = - a (1,1,0), donde a= 10 ^-9 m.

Por lo tanto

\[\mathbf{E}=\left(5 \cdot 09 \times 10^{8}\right)(1,1,0). \nonumber\]

El campo magnético en la posición del protón debido al movimiento del electrón viene dado por c ² B = v x E, donde la velocidad del electrón es v = 10 ⁶ (0,1,0) m/seg. c ² B = (5.09x10 ¹⁴) (0,0, -1) así que B = (0.566x10 ^-2) (0,0, -1) Teslas.

La fuerza sobre el protón debida al campo eléctrico es F _E = 8.15x10 ^-11 (1,1,0) N. La fuerza sobre el protón debida al campo magnético es F _M = q (v _p x B) = 0.906x10 ^-16 (-1,1,0) N.

Problema (1.3).

Una partícula que tiene una velocidad V = v ₁ u _x lleva una carga q ₁ C y se localiza en el origen. Una segunda partícula, carga q ₂, se localiza en r = a u _x + b u _y + c u _z, y tiene una velocidad V ₂ =v _y u _y.

(a) Demostrar que la fuerza sobre la carga #2 debida al campo magnético generado por la carga #1 es\(\mathbf{F}_{21}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{q}_{1} \text{q}_{2}}{\text{r}^{3}} \text{bv}_{1} \text{v}_{\text{y}} \mathbf{u}_{\text{x}}\).

(b) Demostrar que la fuerza sobre la carga #1 debida al campo magnético generado por la carga #2 es\(\mathbf{F}_{12}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{q}_{1} \text{q}_{2}}{\text{r}^{3}} \text{av}_{1 \text{V} \text{y}} \mathbf{u}_{\text{y}}\). Observe que F ₂₁ no es igual - F ₁₂ para que la ley de Newton de la igualdad de fuerzas de acción y reacción no se obedezca en este caso.

Respuesta (1.3).

(a) El campo eléctrico en la posición de la partícula #2 debido a la partícula #1 es

\[\mathbf{E}_\mathbf{21}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\text{q}_{1}}{\text{r}^{3}}(\text{a}, \text{b}, \text{c}). \nonumber\]

El campo magnético en la posición de la partícula #2 debido al movimiento de la partícula #1 viene dado por

\[c^{2} \mathbf{B}_\mathbf{21}=\mathbf{v}_{1} \times \mathbf{E}_{21}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\text{q}_{1} \text{v}_{1}}{\text{r}^{3}}(0,-\text{c}, \text{b}), \nonumber \]

o

\[\mathbf{B}_\mathbf{21}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{q}_{1} \text{v}_{1}}{\text{r}^{3}}(0,-\text{c}, \text{b}). \nonumber\]

La fuerza magnética sobre la partícula #2 debido a su movimiento es

\[\mathbf{F}_\mathbf{2 M}=q_{2}\left(\mathbf{v}_\mathbf{2} \times \mathbf{B}_\mathbf{21}\right)=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q_{1} q_{2} v_{1} v_{y}}{r^{3}} \quad(b, 0,0).\nonumber\]

(b) El campo eléctrico en la posición de la partícula #1 debido a la partícula #2 es

\[\mathbf{E}_\mathbf{12}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\text{q} 2}{\text{r}^{3}}(\text{a}, \text{b}, \text{c}). \nonumber\]

El campo magnético en la posición de la partícula #1 debido al movimiento de la partícula #2 viene dado por

\[c^{2} \mathbf{B}_\mathbf{12}=\mathbf{v}_{2} \times \mathbf{E}_\mathbf{12}=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\text{q}_{2} \text{v}_{\text{y}}}{\text{r}^{3}}(\text{c}, 0,-\text{a}), \nonumber\]

o

\[\mathbf{B}_\mathbf{12}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{q}_{2} \text{v}_{\text{y}}}{\text{r}^{3}}(\text{c}, 0,-\text{a}). \nonumber\]

La fuerza magnética sobre la partícula #1 debido a su movimiento es

\[\mathbf{F}_\mathbf{1M}=\text{q}_{2}\left(\mathbf{v}_\mathbf{1} \times \mathbf{B}_\mathbf{12}\right)=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{q}_{1} \text{q}_{2} \text{v}_{1} \text{v}_{\text{y}}}{\text{r}^{3}}(0, \text{a}, 0). \nonumber\]

Problema (1.4).

Un electrón lleva un momento magnético de | m ₀ |=9.27x10 ^-24 Julios/Tesla= 1 magnetón Bohr. Supongamos que este momento magnético está orientado a lo largo del eje z como se muestra en la figura.

(a) ¿En qué ángulo θ es el campo medido por un observador a P como máximo?

(Answ: θ= ±\(\pi\) /2.)

(b) Si r= 1 micrón (10 ^-6 m.) ¿cuál es la magnitud y dirección de este campo máximo?

(Answ: | B _max |= 18.54x10 ^-13 Teslas dirigido a lo largo de +z).

c) ¿Cuál es el campo magnético mínimo? ¿En qué ángulo θ se produce y cuál es la dirección del campo?

(Answ: | B _min |= 9.27x10-13 Teslas dirigido a lo largo de -z. El observador está en θ=0 o\(\pi\).)

Contestar

\(\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(3 \frac{m_{0} z \mathbf{r}}{r^{5}}-\frac{m_{0} \mathbf{u}_\mathbf{z}}{r^{3}}\right)\)por lo tanto\(\text{B}_{\text{x}}=\frac{\mu_{0} \text{m}_{0}}{4 \pi} \frac{3 \text{x} \text{z}}{\text{r}^{5}}, \quad \text{B}_{\text{y}}=\frac{\mu_{0} \text{m}_{0}}{4 \pi} \frac{3 \text{yz}}{\text{r}^{5}}, \quad \text{B}_{z}=\frac{\mu_{0} \text{m}_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3 \text{z}^{2}}{\text{r}^{5}}-\frac{1}{\text{r}^{3}}\right).\)

\(\text{B}^{2}=\left(\frac{\mu_{0} \text{m}_{0}}{4 \pi \text{r}^{3}} \quad\left(1+\frac{3 \text{z}^{2}}{\text{r}^{2}}\right)\right)\)así que B ² es un máximo en x=0, y=0, z=r. b ² es un mínimo en z=0. \(B_{\min }=\frac{\mu_{0} m_{0}}{4 \pi} \frac{1}{r^{3}}. \)\(B_{\max }=2 B_{\min }\).

Problema (1.5).

La energía de interacción entre dos dipolos magnéticos viene dada por - m ₁ • B ₂ o por - B ₁ • m ₂ donde B ₁ es el campo generado en la posición del dipolo #2 por el dipolo #1, y B ₂ es el campo en el dipolo #1 generado por el dipolo #2. Dejar que estos dos dipolos magnéticos estén separados por una distancia constante R= 10 ^-6 m (1 µm).

a) Supongamos que los dos dipolos se ven obligados a permanecer paralelos como se muestra en la figura. ¿En qué ángulo θ es mínima la energía de interacción? ¿Cuál es esta energía mínima?

(Answ: θ= ±\(\pi\) /2,\(\text{U}_{\min }=-2 \frac{\mu_{0} \text{m}_{1} \text{m}_{2}}{4 \pi \text{R}^{3}}\).

(b) Supongamos que θ=0 en la figura, pero que los dos dipolos son libres para rotar en el plano x-y. Dejar m ₁ | _x = m ₁ cos\(\alpha_{1}\) y m ₁ | _y = m ₁ sin\(\alpha_{1}\). De igual manera dejar m ₂ | _x = m ₂ cos\(\alpha_{2}\) y m ₂ | _y = m ₂ sin\(\alpha_{2}\). ¿Cuál será la configuración de energía mínima y cuál será la energía mínima?

(Answ:\(\alpha_{1}\) =\(\alpha_{2}\) = 0 o\(\pi\). \(\text{U}_{\text{min}}=-2 \frac{\mu_{0} \text{m}_{1} \text{m}_{2}}{4 \pi \text{R}^{3}}\).)

Contestar

a)\(\mathbf{B}_\mathbf{1}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3\left(\mathbf{m}_\mathbf{1} • \mathbf{r}\right) \mathbf{r}}{\text{r}^{5}}-\frac{\mathbf{m}_\mathbf{1}}{\text{r}^{3}}\right), \quad \text{x}=\operatorname{Rcos} \theta, \quad \text{y}=\operatorname{Rsin} \theta, \quad \text{z}=0\)

\(\text{B}_{1 \text{x}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{m}_{1}}{\text{R}^{3}} 3 \sin \theta \cos \theta, \quad \text{B}_{1 \text{y}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{m}_{1}}{\text{R}^{3}}\left(3 \sin ^{2} \theta-1\right)\),

por lo tanto

\(U=-\mathbf{B}_\mathbf{1} • \mathbf{m}_\mathbf{2}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m_{1} m_{2}}{R^{3}} \quad\left(3 \sin ^{2} \theta-1\right). \nonumber\)

Esta expresión es claramente un mínimo cuando senθ= ±1.

(b) Cuando θ=0 y r =( R,0,0) se encuentra

\(\text{B}_{1 \text{x}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi \text{R}^{3}} 2 \text{m}_{1} \cos \alpha_{1}, \quad \text{B}_{1 \text{y}}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi \text{R}^{3}} \text{m}_{1} \sin \alpha_{1}\),

por lo tanto

\(\text{U}=-\mathbf{m}_\mathbf{2} • \mathbf{B}_\mathbf{1}=-\frac{\mu_{0} \text{m}_{1} \text{m}_{2}}{4 \pi \text{R}^{3}} \quad\left(2 \cos \alpha_{1} \cos \alpha_{2}-\sin \alpha_{1} \sin \alpha_{2}\right)\).

Esta expresión claramente tiene un mínimo cuando cos\(\alpha_{1}\) =cos\(\alpha_{2}\) =1 y sin\(\alpha_{1}\) =sin\(\alpha_{2}\) =0, es decir,. when\(\alpha_{1}\) =\(\alpha_{2}\) = 0 o\(\pi\).

Problema (1.6)

Un protón y un electrón están separados por 10 ^-12 m = d como se muestra en el boceto.

a) Calcular la intensidad del campo eléctrico a 1 micra (= 10 ^-6 m) distante de un protón.

(b) Calcular la intensidad del campo eléctrico a = 1 micrón a partir del dipolo pt anterior en\(\mathbf{r}=\text{a} \hat{\mathbf{u}}_{z}\). ¿Cuál es la dirección de este campo eléctrico?

(c) Calcular la intensidad del campo eléctrico a una distancia a = 1 micra del dipolo en el punto\(\mathbf{r}=-\text{a} \hat{\mathbf{u}}_{z}\). ¿Cuál es la dirección de este campo eléctrico?

(d) Calcular la intensidad y dirección del campo eléctrico en\(\mathbf{r}=\text{a} \hat{\mathbf{u}}_{x}\) donde a = 1 micrón.

(e) Calcular la intensidad y dirección del campo eléctrico para el dipolo anterior a\(\mathbf{r}=\frac{1}{\sqrt{2}} a\left(\hat{\mathbf{u}}_{x}+\hat{\mathbf{u}}_{z}\right)\) y a= 1 micrón.

N.B.\(\hat{\mathbf{u}}_{x}, \hat{\mathbf{u}}_{y}, \hat{\mathbf{u}}_{z}\) son vectores unitarios a lo largo de x, y, z.

Respuesta (1.6)

a)\(|\mathbf{E}|=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{e}{r^{2}}\)

\ (\ begin {aligned}
\ frac {1} {4\ pi\ varepsilon_ {0}} =9\ times 10^ {9}\ text {e} =1.6\ times 10^ {-19}\ text {Coulombs}\
\ text {r} =10^ {-6}\ text {m}
\ end {alineado}\)

\(\therefore|\mathbf{E}|=\frac{(9 \times 109)\left(1.6 \times 10^{-19}\right)}{10^{-12}}=\underline{1440} \text{Volts} / \text{m}\).

b) Para un dipolo puntual\(\mathbf{E}_{\text{d}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{3(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{\text{r}^{5}}-\frac{\mathbf{p}}{\text{r}^{3}}\right]\)

En este caso p y r son ambos a lo largo de z y por lo tanto paralelos

\ (\ begin {alineado}
\ por lo tanto\ izquierda|\ mathbf {E} _ {\ text {d}}\ derecha| &=\ frac {1} {4\ pi\ varepsilon_ {0}}\ quad\ izquierda (\ frac {2\ text {p}} {\ text {r} ^ {3}}\ derecha)\\
&=\ frac {1} 4\ pi\ varepsilon_ {0}}\ quad\ izquierda (\ frac {\ texto {e}} {\ texto {r} ^ {2}}\ derecha)\ quad\ izquierda (\ frac {2\ texto {d}} {\ texto {r}}\ derecha )\\
&=\ frac {(2)\ left (10^ {-12}\ right)} {10^ {-6}} =\ left (2\ times 10^ {-6}\ right)\ times\ text {part} (\ text {a})
\ end {alineado}\)

Entonces | E _d | = 2.88 x 10 ^-3 Voltios/m y dirigido a lo largo de z.

c) Para esta parte p.r = -e d a

ya que p = e d\(\hat{\mathbf{u}}_{z}\)

y\(\mathbf{r}=-\text{a} \hat{\mathbf{u}}_{z}\)

por lo tanto\((\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}=e a^{2} d \hat{\mathbf{u}}_{z}\)

Entonces\(\frac{(\mathbf{p} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^{5}}=\frac{e d}{a^{3}} \hat{\mathbf{u}}_{z}\)

y\(|\mathbf{E} \text{d}|=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left|\left(\frac{3 \text{ed}}{\text{a}^{3}} \hat{\mathbf{u}}_{z}-\frac{\text{ed}}{\text{a}^{3}} \hat{\mathbf{u}}_{z}\right)\right|=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 \text{ed}}{\text{a}^{3}}\)

o exactamente lo mismo que en la parte b). El campo eléctrico también se dirige a lo largo de z, al igual que en la parte (b).

(d) Aquí p.r =0 porque p se dirige a lo largo de z mientras que r se dirige a lo largo de x.

Por lo tanto

\ (\ begin {alineado}
\ mathbf {E} _ _ {\ text {d}} &=\ frac {-1} {4\ pi\ varepsilon_ {0}}\ quad\ mathbf {p}/\ texto {r} ^ {3}\\
&=-\ left (\ frac {\ text {e}} {4\ pi\ varepsilon_ {0}}\ derecha),\ frac {1} {\ texto {a} ^ {2}} (\ texto {d}/\ texto {a})\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ texto {z}}
\ end {alineado}\)

es decir, dirigido a lo largo de —z y la mitad de grande que el campo eléctrico para un punto a lo largo del eje del dipolo y a metros del dipolo.

| E d| = 1.44 x 10 ^-3 voltios/m

e)\(\mathbf{p}=\text{e} \text{d} \hat{\mathbf{u}}_{z} \quad \therefore \mathbf{p} \cdot \mathbf{r}=\frac{\text{eda}}{\sqrt{2}}\)

\(\mathbf{r}=\frac{a}{\sqrt{2}} \quad\left(\hat{\mathbf{u}}_{x}+\hat{\mathbf{u}}_{z}\right)\)

\(\therefore \quad \mathbf{E} \text{d}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{3 \text{ed}}{(\sqrt{2)}(\sqrt{2)}} \frac{\hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{z}}{\text{a}^{3}}-\frac{\text{e} \text{d} \hat{\mathbf{u}}_{z}}{\text{a}^{3}}\right]\)

\(\mathbf{E}_{\text{d}} =\frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\text{d}}{\text{a}^{3}}\left[\frac{3}{2} \quad\left(\hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{z}\right)-\hat{\mathbf{u}}_{z}\right]\)
\(=\frac{\text{e}}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{\text{a}^{2}}\right)\left(\frac{\text{d}}{2 \text{a}}\right)\left(3 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{z}\right)\)

Entonces E d se dirige 18.4° desde el plano xy y tiene la magnitud | E d| = (1.58 x 10 ^-6) (1440) = 2.28 x 10 ^-3 Voltios/m.

Problema (1.7).

Mostrar que el campo magnético en el centro de una esfera uniformemente magnetizada que contiene un pequeño agujero en el centro es cero. La magnetización uniforme significa que M es constante. Sin pérdida de generalidad, se puede tomar la magnetización para ser dirigida a lo largo del eje z, es decir, M = M ₀ u _z.

(Pista: Suma todas las contribuciones al campo en el centro debido a elementos de volumen a una distancia r del centro. En coordenadas polares d\(\tau\) = r ² dr sinθdθ d\(\phi\), y d m = M ₀ d\(\tau\) u _z.)

Respuesta (1.7).

Si r = -x u _x - y u _y - z u _z entonces m • r = - M ₀ d\(\tau\) z (recuerde que r es el vector dibujado desde el momento magnético hasta el punto de observación).

\(\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{3(\mathbf{m} \cdot \mathbf{r}) \mathbf{r}}{r^{5}}-\frac{\mathbf{m}}{r^{3}}\right)\), de manera que

\(B_{x}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M_{0} d \tau}{r^{5}} \quad(3 x z), \quad B_{y}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M_{0} d \tau}{r^{5}} \quad(3 y z)\),

\(B_{z}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M_{0} d \tau}{r^{5}} \quad\left(2 z^{2}-x^{2}-y^{2}\right)\),

Convierta a coordenadas polares e integre sobre θ de 0 a\(\pi\), y más\(\phi\) de 0 a 2\(\pi\). Todos los componentes de campo se integran a cero.

Problema (1.8)

Los campos generados en la posición r a partir de una carga puntual que se mueve lentamente, sin espinas, son dados por\(\mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{r}}{r^{3}} \text { and } c \mathbf{B}=\frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{E}\). Considera una partícula que se mueve en una órbita circular cuya posición en el tiempo t viene dada por\(\mathbf{a}=a \cos \omega t \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{x}}+\sin \omega t \quad \hat{\mathbf{u}}_{y}\).

(a) Demostrar que el campo eléctrico promediado en el tiempo visto por un observador en\(\mathbf{R}=\text{x} \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{x}}+\text{Y} \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{y}}+\text{z} \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{z}}\) está dado por\(<\mathbf{E}_{p}>=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}\right)\) a términos de orden (A/r) ².

(b) Demostrar que al orden más bajo en (A/r) el campo magnético observado en R viene dado por

\[<\mathbf{B}_{\text{p}}>=\frac{1}{\text{c}^{2}} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[\frac{3z \mathbf{R}}{\text{R}^{5}}-\frac{\hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}\right] \quad\left(\frac{\text{qa}^{2} \omega}{2}\right) \nonumber\]

o ya que\(\mathbf{m}=\left(\frac{\text{qa}^{2} \omega}{2}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\) es el momento magnético (| m |= I\(\pi\) a ² donde I es la corriente en amperios)

\[\left\langle\mathbf{B}_{\text{p}}\right\rangle=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \quad\left[\quad 3\left(\frac{\mathbf{m} \cdot \mathbf{R}}{\text{R}^{5}}\right) \mathbf{R}-\frac{\mathbf{m}}{\text{R}^{3}}\right] \nonumber\]

y\(c^{2}=\frac{1}{\varepsilon_{0} \mu_{0}}\).

Respuesta (1.8)

Tenemos r + a = R

⟩ r = R - a

donde\(\mathbf{R}=X \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\text{Y} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}+\text{z} \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\)

y\(\mathbf{a}=\text{a} \cos \omega \text{t} \quad \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\text{a} \sin \omega \text{t} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\)

\(\therefore \quad r^{2}=(X-a \cos \omega t)^{2}+(Y-a \sin \omega t)^{2}+Z^{2}\)

\(r^{2}=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+a^{2}-2 a X \cos \omega t-2 a Y \sin \omega t\)

o\(r^{2}=R^{2}\left[1+\left(\frac{a}{R}\right)^{2}-\frac{2 a X}{R^{2}} \cos \omega t-\frac{2 a Y}{R^{2}} \sin \omega t\right]\).

Conservar solo los términos más bajos en\(\left(\frac{a}{R}\right)\):

\(r \cong R\left[1-\frac{2 a X}{R^{2}} \cos \omega t-\frac{2 a Y}{R^{2}} \sin \omega t\right]^{1 / 2}\)

Entonces\(\frac{1}{r^{3}} \cong \frac{1}{R^{3}}\left[1-\frac{2 a X}{R^{2}} \cos \omega t-\frac{2 a Y}{R^{2}} \sin \omega t\right]^{-3 / 2}\)

\(\frac{1}{r^{3}} \cong \frac{1}{R^{3}}\left[1+\frac{3 a X}{R^{2}} \cos \omega t+\frac{3 a Y}{R^{2}} \sin \omega t\right]\)

\(\mathbf{E}_{\text{p}}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left(\frac{\mathbf{r}}{r^{3}}\right)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{(\mathbf{R}-\mathbf{a})}{\text{R}^{3}}\left[1+\frac{3 a X}{R^{2}} \cos \omega t+\frac{3 a Y}{R^{2}} \sin \omega t\right]\)

Ahora multiplique y tome promedios de tiempo.

\(<\cos \omega t>=<\sin \omega t>=<\sin \omega t \quad \cos \omega t>=0\)

\(<\cos ^{2} \omega t>=<\sin ^{2} \omega t>=1 / 2\)

Observe que todos los términos son proporcionales a un promedio a cero.

a)\(\therefore \quad\left\langle\mathbf{E}_{\text{p}}\right\rangle \cong \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \quad\left(\frac{\mathbf{R}}{R^{3}}\right)\). Los términos de corrección son de orden\(\left(\frac{a}{R}\right)^{2}\).

b)\(\mathbf{B}_{\text{p}}=\frac{1}{\text{c}^{2}} \quad(\mathbf{V} \quad \times \mathbf{E})\)

\(\mathbf{v}=\frac{\mathbf{d a}}{d t}=-a \omega \sin \omega t \quad \hat{\mathbf{u}}_{x}+a \omega \cos \omega t \quad \hat{\mathbf{u}}_{y}\)

\(\therefore \quad \mathbf{B}_{p} \cong \frac{1}{c^{2}}\left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right) \frac{[(\mathbf{v} \times \mathbf{R})-(\mathbf{v} \times \mathbf{a})]}{\mathbb{R}^{3}}\left\{1+\frac{3 a X}{R^{2}} \cos \omega t\right. + \left.\frac{3 a Y}{R^{2}} \sin \omega t\right\}\)

\ (\ mathbf {v}\ times\ mathbf {R} =\ left (\ begin {array} {lll}
a\ omega Z &\ cos\ omega t
\ end {array}\ derecha)\ quad\ hat {\ mathbf {u}} _ {x} + (a\ omega z\ sin\ omega t)\ hat {\ mathbf {u}} _ {y} - [\ text a}\ omega\ texto {Y}\ sin\ omega\ texto {t} +\ texto {a}\ omega\ texto {X}\ cos\ omega\ texto {t}]\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {\ texto {z}}\)

\(\mathbf{v} \times \mathbf{a}=-\text{a}^{2} \omega \hat{\mathbf{u}}_{z}\)

Multiplicar los términos en B _p y tomar promedios de tiempo. El resultado es

\(\left\langle\mathbf{B}_{\text{p}}\right\rangle=\frac{1}{\text{c}^{2}}\left(\frac{\text{q}}{4 \pi \varepsilon_{\text{O}}}\right) \frac{1}{\text{R}^{3}}\left\{\left(\frac{3 \text{a}^{2} \omega \text{XZ}}{2 \text{R}^{2}}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\left(\frac{3 \text{a}^{2} \omega \text{YZ}}{2 \text{R}^{2}}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}-\right. - \left.\left(\frac{3 a^{2} \omega}{2 R^{2}}\right) \quad\left(X^{2}+Y^{2}\right) \quad \mathbf{\hat{u}}_{z}+a^{2} \omega \mathbf{\hat{u}}_{z}\right\}\)

sumar y restar\(\frac{3 a^{2} \omega}{2 R^{2}} z^{2} \mathbf{\hat{u}}_{z}\) para obtener

\(<\mathbf{B}_{p}>\frac{1}{c^{2}}\left(\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}}\right) \frac{1}{R^{3}}\left\{\left(\frac{3 a^{2} \omega}{2 R^{2}}\right) \quad Z \mathbf{R}-\left(\frac{a^{2} \omega}{2}\right) \mathbf{\hat{u}}_{z}\right\}\).

Ahora\(\frac{1}{c^{2}}=\varepsilon_{0} \mu_{0}\) y\(\mathbf{m}=\frac{\text{qa}^{2} \omega}{2} \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\)

Por lo tanto\(\left\langle\mathbf{B}_{p}\right\rangle=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right)\left[\frac{3(\mathbf{m} \cdot \mathbf{R}) \mathbf{R}}{R^{5}}-\frac{\mathbf{m}}{R^{3}}\right]\).

Problema (1.9)

Dadas las siguientes funciones escalares, V, expresadas en coordenadas polares cilíndricas. Para cada función calcular

(1) los componentes del grado V

(2) ² V

(a) V = r Cosθ

(b) V = ln r

c)\(V=\frac{\operatorname{Cos} \theta}{r}\)

(d)\(V=\frac{\cos n \theta}{r^{n}}\), donde n es un número entero positivo o negativo.

Respuesta (1.9)

\(\operatorname{grad} V=\left(\frac{\partial V}{\partial r}\right) \mathbf{\hat{u}}_{r}+\frac{1}{r}\left(\frac{2 V}{\partial \theta}\right) \mathbf{\hat{u}}_{\theta}+\left(\frac{\partial V}{\partial z}\right) \mathbf{\hat{u}}_{z}\)

\(\nabla^{2} V=\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} V}{\partial \theta^{2}}+\frac{\partial^{2} V}{\partial z^{2}}\)

(a) V= RCOsθ.

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{r}=\cos \theta\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\theta}=-\sin \theta\)

Estos corresponden a un vector unitario a lo largo de x!

² V = 0

(b) V= lnr.

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{r}=\frac{1}{r}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\theta}=0\)

² V = 0

c)\(V=\frac{\cos \theta}{r}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{r}=-\frac{\cos \theta}{r^{2}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\theta}=-\frac{\sin \theta}{r^{2}}\)

² V = 0

d)\(\text{V}=\frac{\cos \text{n} \theta}{\text{r}^{\text{n}}}.\)

\(\left.\operatorname{gradv}\right|_{r}=-\frac{n \cos n \theta}{r^{n+1}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\theta}=-\frac{\operatorname{nsin}(n \theta)}{r^{n+1}}\)

² V = 0 para cualquier n.

Problema (1.10)

Dadas las siguientes funciones escalares V expresadas en coordenadas polares esféricas. Para cada función calcular

(1) los componentes del grado V

(2) ² V

(a) V = r Cosθ

b)\(V=\frac{\operatorname{Cos} \theta}{r^{2}}\)

(c) V = r ² (3Cos ² θ - 1)

d)\(V=\frac{\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right)}{r^{3}}\)

(e)\(V=\frac{\cos n \theta}{r^{n}}\) donde n es un entero positivo.

Respuesta (1.10)

\(\nabla \text{V} \quad=\left(\frac{\partial \text{V}}{\partial \text{r}}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\text{r}}+\frac{1}{\text{r}}\left(\frac{\partial \text{V}}{\partial \theta}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\theta}+\frac{1}{\text{r} \sin \theta}\left(\frac{\partial \text{V}}{\partial \phi}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\phi}\)

\(\nabla^{2} V=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial V}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} V}{\partial \phi^{2}}\)

(a) V = RCOsθ

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{r}=\cos \theta\)

\(\left.\operatorname{gradv}\right|_{\theta}=-\sin \theta\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\phi}=0\)

Estos corresponden a un campo constante\(\hat{\mathbf{u}}_{z}\).

² V = 0.

b)\(V=\frac{\operatorname{Cos} \theta}{r^{2}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{r}=-\frac{2 \cos \theta}{r^{3}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\theta}=-\frac{\sin \theta}{r^{3}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\phi}=0\)

Corresponde a un campo de dipolo.

² V = 0.

c)\(\text{V}=\left.\text{r}^{2} \quad\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right) \quad \operatorname{grad} \text{V}\right|_{\text{r}}=2 \text{r}\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right)\)

\(\left.\operatorname{gradv}\right|_{\theta}=-6 r \sin \theta \cos \theta\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\phi}=0\)

² V = 0

d)\(V=\frac{3 \cos ^{2} \theta-1}{r^{3}}\)

\(\left.\operatorname{gradv}\right|_{r}=-\frac{3}{r^{4}}\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right)\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\theta}=-\frac{6}{r^{4}} \sin \theta \cos \theta\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\phi}=0\)

² V = 0

e)\(\text{V}=\frac{\cos \text{n} \theta}{\text{r}^{\text{n}}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{r}=-\frac{n \cos (n \theta)}{r^{n+1}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\theta}=-\frac{\operatorname{nsin}(n \theta)}{r^{n+1}}\)

\(\left.\operatorname{grad} V\right|_{\phi}=0\)

\(\nabla^{2} V=-\frac{n}{\sin \theta r^{n+2}}(\sin \theta \cos (n \theta)+\cos \theta \sin (n \theta))\).

Problema (1.11)

Calcular el campo vectorial B = rizo A para los siguientes campos, A.

a) En coordenadas polares cilíndricas

\ (\ comenzar {alineado}
\ texto {A} _ {\ texto {T}} &=0\\
\ texto {A}\ theta &=0\\
\ texto {A} _ {\ texto {z}} &=-\ frac {\ mu_ {0}\ texto {I}} {2\ pi}\ ln\ texto {r}
\ end {alineado}\)

b) En coordenadas polares cilíndricas

\ (\ comenzar {alineado}
\ texto {A} _ {\ texto {r}} &=0\\
\ texto {A}\ theta &=\ frac {\ texto {B} _ {\ texto {O}}\ texto {r}} {2}\
\ texto {A} _ _ {\ texto {Z}} &=0
\ end {alineado}\)

c)\(\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\left(\frac{\mathbf{m} \times \mathbf{r}}{r^{3}}\right)\), donde\(\mathbf{m}=\text{m}_{0} \hat{\mathbf{u}}_{z}\).

Mostrar que en coordenadas polares esféricas si\(\mathbf{m}=\text{m}_{0} \hat{\mathbf{u}}_{z}\) entonces A _r = A _θ = 0 y\(\text{A}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{m}_{0} \sin \theta}{\text{r}^{2}}\). Esto se puede utilizar para calcular el rizo A.

Respuesta (1.11)

(a)\ (\ mathbf {B} =\ nombreoperador {rizo}\ mathbf {A} =\ frac {1} {r}\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {r} & r\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ theta} &\ hat {\ mathbf {u} _ {z}\\ frac {
\ parcial} {\ r parcial} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ theta} &\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ z parcial}\\
0 & 0 & A_ {z}
\ end {array}\ derecha|=\ izquierda|\ begin {array} {c}
\ frac {1} {r}\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial\ theta}\
-\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial R}\\
0
\ end {array}\ derecha|\)

Pero\(\frac{\text{A}_{\text{Z}}}{\partial \theta}=0\)\(\therefore \quad B_{r}=0\)

\(\text{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}\)

B _z = 0

El campo debido a una corriente I Amps que fluye a lo largo de un cable largo orientado a lo largo de z

(b)\ (\ mathbf {B} =\ nombreoperador {rizo}\ mathbf {A} =\ frac {1} {r}\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {r} & r\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ theta} &\ hat {\ mathbf {u} _ {z}\\ frac {
\ parcial} {\ r parcial} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ theta} &\ frac {\ parcial} {\ parcial} {\ z parcial}\\
0 & r A_ {\ theta} & 0
\ end {array}\ derecha|=\ izquierda|\ begin {array} {c}
-\ frac {\ parcial A_ {\ theta}} {\ z parcial}\
\ frac {1} {r}\ frac {\ parcial\ izquierda (r A_ {\ theta}\ derecha)} {\ r parcial}
\ end {array}\ derecha|\)

Pero\(\frac{\partial \text{A}_{\theta}}{\partial \text{z}}=0\) y\(\text{A}_{\theta}=\frac{\text{B}_{0} \text{r}}{2}\)

\ (\ begin {alineado}
\ por lo tanto\ quad B_ {r} &=0\\
B_ {\ theta} &=0\\
B_ {z} &=B_ {0}
\ end {alineado}\)

Este es el campo dentro de un solenoide infinitamente largo.

c)\(\mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{(\mathbf{m} \times \mathbf{r})}{r^{3}}\)

Si\(\mathbf{m}=\text{m}_{\text{O}} \hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\) esto genera el campo debido a un dipolo magnético.

For\(\mathbf{m}=m_{0} \hat{\mathbf{u}}_{z} \quad(\mathbf{m} \times \mathbf{r})\) es un vector en la\(\phi\) dirección que tiene la magnitud m _o rSinθ.

\ (\ begin {alineado}
&\ texto {A} _ {\ texto {r}} =0\\
&\ texto {A} _ {\ theta} =0\\
&\ texto {A} _ {\ phi} =\ frac {\ mu_ {0}} {4\ pi}\ frac {\ texto {m} _ {0}} {\ texto {r} ^ {2}\ sin\ theta,\ quad\ text {(ver la figura)}
\ end {alineado}\)

\ (\ mathbf {B} =\ nombreoperador {rizo}\ mathbf {A} =\ frac {1} {r^ {2}\ sin\ theta}\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {r} & r\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ theta} & r\ sin\ theta\ sombrero {\ mathbf {u}}\ phi\
\ frac {\ parcial} {\ r parcial} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ theta} &\ frac {\ parcial} {\ parcial\ phi}\\
0 & 0 & r\ sin\ theta A_ {\ phi}
\ end {array}\ derecha|=\ izquierda|\ begin {array} {cc}
\ frac {1} {r^ {2}\ sin\ theta} &\ frac {\ parcial\ izquierda (r\ sin\ theta A_ {\ phi}\ derecha)} {\ theta parcial\ eta}\\
-\ frac {1} {\ nombreoperador {rsin}\ theta} &\ parcial\ izquierda (\ sin\ theta A_ {\ phi}\ derecha)\\
& 0
\ end {array}\ derecha|\)

\(\therefore \text{B}_{\text{r}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \text{m}_{0} \cos \theta}{\text{r}^{3}}, \quad \text{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{m}_{0} \sin \theta}{\text{r}^{3}}, \quad \text{B}_{\phi}=0\).

Problema (1.12)

Una molécula de agua es plana pero el ángulo entre los dos enlaces oxígeno-hidrógeno es 105˚ como se muestra en el boceto.

(a) Si la carga en el oxígeno es el doble de la carga electrónica es decir -2|e| y la carga en cada hidrógeno es q _H = +|e|, calcule el momento dipolar de la molécula asumiendo una longitud de enlace O-H de 5 x 10 ^-10 m. [El momento dipolar medido es p = 6.17 x ^10-30 culomb-M].

(b) Si todos los dipolos en un metro cúbico de agua estuvieran alineados, ¿cuál sería la densidad resultante de los dipolos eléctricos |P|?

Usar p = 6.17 x 10 ^-30 cm.

Respuesta (1.12)

(a) El momento dipolo es p = qd. En la molécula H ₂ O q = 2|e| = (2) (1.60 x 10 ^-19) Coulombs o q = 3.2 x 10 ^-19 C

La distancia\(d=b \cos \left(\frac{105}{2}\right)\) donde b = 5 x 10 ^-10 m es la longitud de unión; d = 3.04 x 10 ^-10 m

2019-09-p = (3.2) (3.04) x 10 ^-29 Culombo m = 9.74 x 10 ^-29 Cm

Comparado con el experimento esto es demasiado grande en ~ 15.7 veces.

(b) El volumen molar de H ₂ O es de 18 c.c.

˚ No. de moles en 1 m ³ = 10 ⁶ /18 = 5.56 x 10 ⁴ moles.

＊ No. de moléculas en 1 m ³ = (6.02 x 10 ²³) (5.56 x 10 ⁴) = 3.34 x 10 ²⁸ moléculas.

＊ | P | = (3.34 x 10 ²⁸) (6.17 x 10 ^-30) = 0.21 culombs/m ².

(Esto es muy grande, de hecho H ₂ O no tiene un momento dipolar permanente porque las moléculas están orientadas al azar).

Problema (1.13)

Un átomo de hierro en hierro metálico lleva un momento magnético de 2.2 magnetones Bohr. (1 magnetón Bohr, µ _B, es µ _B = 9.27 x 10 ^-24 Amp m ² (= Julios/Tesla)). La densidad del hierro es de 7.87 gms/cc y su peso molecular es de 55.85 gms. Si todos los momentos atómicos estuvieran alineados paralelos ¿cuál sería la magnetización por unidad de volumen de hierro? Compare este valor con el campo magnético interno observado de hierro saturado a temperatura ambiente | B | = µ _o | M | = 2.15 Teslas = 2.15 Webers/m ².

Respuesta (1.13)

El volumen molar de hierro es\(\frac{55.85}{7.87}=7.10 \text{cc}\).

El número de átomos en /m ³ es

\(\text{N}=\left(6.02 \times 10^{23}\right)\left(\frac{10^{6}}{7.10}\right)=0.848 \times 10^{29} \text{atoms} / \text{m}^{3}\).

La magnetización/m ³ | M | = (N) (2.2) µ _B

| M | = 0.173 x 10 ⁷ Amps/m.

Esto daría un campo interno | B | = µ _o | M | de | B | = (4\(\pi\) x 10 ^-7) (0.173 x 10 ⁷) = 2.17 Teslas.

Esto significa que a temperatura ambiente la fracción de giros alineados en el hierro es\(\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 17}=0.989\) decir ¡Muy casi completamente alineada!

Problema (1.14)

Dada una función de vector\(\mathbf{F}=\text{x} \text{y} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\left(3 \text{x}-\text{y}^{2}\right) \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\) evaluar la integral de línea de P ₁ a P ₂ a lo largo

a) el camino directo (1).

b) la ruta indirecta P ₁ → A → P ₂ (ruta (2)).

Respuesta (1.14)

La línea P ₁ P ₂ se puede escribir\(\mathbf{s}=\left(3 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+3 \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right)+\left(3 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+2 \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right) \text{L}\) donde L varía de L = 0 a L = 1. L= 0 corresponde a\(\text{P}_{1}\left(3 \mathbf{\hat{u}}_{\text{x}}+3 \mathbf{\hat{u}}_{\text{y}}\right)\) mientras que L=1 corresponde a\(\text{P}_{2} \quad\left(6 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+5 \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right)\).

Entonces\(\mathbf{d s}=\left(3 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+2 \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right) \text{d} \text{L}\) o dx= 3dL y dy= 2dL.

(a) Ahora F ∙ ds = 3xy dL + 2 (3x - y ²) dL

\(\therefore \quad \int_{\text{P}_{2}}^{\text{R}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{ds}=\int_{\text{P}_{2}(\text{L}=0)}^{\text{P}_{1}(\text{L}=1)} \left[3 \text{x} \text{y}+6 \text{x}-2 \text{y}^{2}\right] \text{d} \text{L}\)

Pero x = (3 + 3L) y = 3 + 2L a lo largo de la línea (componentes de S)

\(\therefore \int_{\text{P}_{2}}^{\text{P}_{1}} \mathbf{F} \cdot \mathbf{ds}=\int_{0}^{1} \text{d} \text{L}\{3(3+3 \text{L})(3+2 \text{L})+6(3+3 \text{L}) \left.2(3+2 L)^{2}\right\}\)

\ (\ begin {alineado}
\ por lo tanto\ quad\ int_ {\ text {P} _ {2}} ^ {\ text {P}}\ mathbf {F}\ cdot\ mathbf {d}\ mathbf {s} =&\ int_ {0} ^ {1}\ texto {d}\ texto {L}\ left [27+39\ texto {L} +10\ texto {L} ^ {2}\ derecha]\\
&=27+ (137/6) =\ frac {299} {6}
\ end {alineado}.\)

b) A lo largo del camino (2)

\(\begin{aligned} \int_{2} \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \mathbf{s}&=\int_{3}^{6} F_{\mathbf{X}}(y=3) \text{d} \text{x}+\int_{3}^{5} \text{F}_{\text{Y}}(\text{x}=6) \text{d} \text{y} \\ &=3 \quad \int_{3}^{6} \text{x} \text{d} \text{x}+\int_{3}^{5}\left(18-\text{y}^{2}\right) \text{d} \text{y} \\ &=\left(\frac{3}{2}\right)(27)+36-\frac{98}{3}=36+\left(\frac{47}{6}\right)=\frac{263}{6} \end{aligned}\)

La integral de línea es diferente para los dos caminos.

Por lo tanto, F no es un campo conservador. En efecto,\(\operatorname{curl} \mathbf{F}=\left|\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 3 \text{x} \end{array}\right|\) y por tanto el rizo F no se desvanece en todas partes.

Problema (1.15)

Dada la función de vector\(\mathbf{E}=\text{y} \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\text{x} \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\). Evaluar la integral\(\int_{1}^{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{dL}\) de línea de P ₁ (2,1, -1) a P ₂ (8,2, -1)

a) a lo largo de la parábola x = 2y ²,

b) a lo largo de la línea recta que une los dos puntos.

c) ¿E es un campo vectorial conservador?

Respuesta (1.15)

\ (\ nombreoperador {rizo}\ mathbf {E} =\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ mathbf {x}} &\ hat {\ mathbf {u}} _ {y} &\ hat {\ mathbf {u}} _ {z}\\ frac {\ parcial} {\ parcial} &\ frac {
\ parcial} {\ parcial} &\ frac {\ parcial} {\ parcial} &\ frac ac {\ parcial} {\ parcial y} &\ frac {\ parcial} {\ z parcial}\\
y & x & 0
\ end {array}\ derecha|=\ izquierda|\ begin {array} {c}
0\\
0\
(1-1) =0
\ end {array}\ derecha|\ equiv 0\).

Por lo tanto, E es un campo vectorial conservador.

(a)\(\begin{aligned} \quad \int_{1}^{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{d} \mathbf{L}&=\int_{1}^{2} E_{\mathbf{X}} \text{d} \mathbf{x}+\int_{1}^{2} E_{Y} \text{dy} \\ &=\int_{2}^{8} \text{ydx}+\int_{1}^{2} \text{xd} \text{y} \end{aligned}\)

Pero\(y=\sqrt{x / 2} \quad x=2 y^{2}\) a lo largo de la parábola

\(\begin{aligned} \therefore \int_{1}^{2} \mathbf{E} \cdot \mathbf{dL}=\int_{2}^{8} \frac{\text{x}^{1 / 2} \text{d} \text{x}}{\sqrt{2}}+2\left[\int_{\text{1}}^{2} \text{y^{2}}\text{dy}=\left.\frac{\sqrt{2 \text{x}^{3}}}{3}\right|_{2} ^{8}+\left.\frac{2 \text{y}^{3}}{3}\right|_{1} ^{2}\right. \\ \quad=\frac{1}{3}\left[2^{5}-2^{2}+14\right]=42 / 3=14 \end{aligned}\)

(b) Dado que el rizo E ≡ 0 la línea integral a lo largo del segundo camino también debe ser igual a 14.

Cheque

Let\(\mathbf{r}_{1}=2 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}-\hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\) (el vector a P ₁)

Let\(\mathbf{r}_{2}=8 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+2 \hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}-\hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\) (el vector a P2).

Entonces cualquier punto en la línea recta de P ₁ a P ₂ se puede especificar por\(\mathbf{L}=\mathbf{r}_{1}+L\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right)\) donde L va de L = 0 (P ₁) a L = 1 (P ₂)

\(\therefore \mathbf{L}=\left(2 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}-\hat{\mathbf{u}}_{\text{z}}\right)+\left(6 \hat{\mathbf{u}}_{\text{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\text{y}}\right)\)

\(\mathbf{d L}=\left(6 \hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{x}}+\hat{\mathbf{u}}_{\mathbf{y}}\right) \text{d} \text{L}\)

\(\therefore \quad \mathbf{E} \cdot \mathbf{d} \mathbf{L}=6 \text{ydL}+\text{xdL}\)

Sin embargo, a lo largo de la línea st. L x = 2 + 6L y = 1 + L

\(\therefore \quad \mathbf{E} \cdot \mathbf{d L}=6(1+L) \quad d L+(2+6 L) \quad d L=(8+12 L) \quad d L\)

\(\therefore \quad \int_{\text{P}_{1}}^{\text{P}_{2}} \mathbf{E} \cdot \mathbf{dL}=\int_{0}^{1} \text{d} \text{L} \quad(8+12 \text{L})=8+6=14 \quad \text { Q.E.D. }\)