13.7: Capítulo 7

Problema (7.1)

En sus experimentos originales sobre ondas de radio Hertz utilizó dos esferas de aproximadamente 0.5 metros de diámetro y separadas por aproximadamente 0.5 metros. Estas esferas se cargaron a una diferencia de potencial de 2x10 ⁵ Voltios; como resultado una esfera portaba una carga de Q ₁ = +Q= 5.56x10 ^-6 Coulombs, y la otra esfera portaba Q ₂ = -Q Coulombs. Las dos esferas se conectaron repentinamente entre sí eléctricamente por medio de una chispa (el aire ionizado es un excelente conductor), y la carga osciló hacia delante y hacia atrás entre las esferas a una frecuencia que fue determinada por la geometría pero que era del orden de 100 MHz. Puede modelar este sistema como un dipolo eléctrico puntual que oscila a 100 MHz, donde la amplitud del dipolo es P ₀ = 2.78x10 ^-6 culomb-metros.

1. Calcular y comparar los términos en las expresiones para los campos eléctrico y magnético generados por un dipolo eléctrico oscilante medidos en un punto en el plano ecuatorial a 1 metro del dipolo (θ=\(\pi\) /2).
2. Calcular y comparar los términos en las expresiones para los campos eléctrico y magnético generados por un dipolo eléctrico oscilante medidos en un punto del plano ecuatorial a 1 km del dipolo.

Respuesta (7.1)

\[\text{E}_{\text{T}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} 2 \cos \theta\left(\frac{\text{P}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}+\frac{\dot{\text{P}}_{\text{z}}}{\text{CR}^{2}}\right),\nonumber\]

\[\text{E}_{\theta}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sin \theta\left(\frac{\text{P}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}+\frac{\dot{\text{P}}_{\text{z}}}{\text{CR}^{2}}+\frac{\ddot{\text{P}}_{\text{z}}}{\text{c}^{2} \text{R}}\right),\nonumber\]

\[\mathrm{E}_{\phi}=0, \nonumber\]

\[\text{CB}_{\phi}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sin \theta\left(\frac{\dot{\text{P}}_{\text{z}}}{\text{CR}^{2}}+\frac{\ddot{\text{P}}_{\text{z}}}{\text{c}^{2} \text{R}}\right). \nonumber\]

\[\mathrm{B}_{\theta}=\mathrm{B}_{\mathrm{r}}=0, \nonumber\]

A\(\theta=\frac{\pi}{2}\) E _r = 0. Para R= 1 metro, f= 10 ⁸ Hz, ω= 6.28x10 ⁸ radianes/seg

(1)\(\frac{P_{z}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}=2.5 \times 10^{4} \text { Volts/meter. }\)

(2)\(\frac{\dot{P}_{z}}{4 \pi \varepsilon_{0} \quad c R^{2}}=5.2 i \times 10^{4} \quad \text { Volts/meter }\)

(3)\(\frac{\ddot{P}_{z}}{4 \pi \varepsilon_{0} {C}^{2} R}=-1.1 \times 10^{5} \text { Volts/meter }\)

Incluso a R= 1 metro el campo está dominado por el término de radiación.

B _\(\phi\)= - (3.7 - 1.7i) x 10 ^-4 Teslas, es decir, aproximadamente cuatro veces el campo magnético de la tierra.

(b) R= 1 km = 10 ³ metros.

(1)\(\frac{P_{z}}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}=2.5 \times 10^{-5} \text {Volts/meter }\)

(2)\(\frac{\dot{\text{P}}_{\text{z}}}{4 \pi \varepsilon_{0} \text{cR}^{2}}=5.2 \text{ix} 10^{-2} \text {Volts/meter. }\)

(3)\(\frac{\ddot{P}_{z}}{4 \pi \varepsilon_{0} \quad c^{2} R}=-110 \quad \text { Volts/meter }\)

B _\(\phi\)= - 3.67 x 10 ^-7 Teslas.

Observe que el campo de radiación es ahora mucho más grande que los componentes del campo cercano.

Problema (7.2)

Considera un pequeño bucle de corriente de radio b. Lleva una corriente I (t) = I _o sinωt. Calcular los campos eléctricos y magnéticos observados en un punto P ubicado en R relativo al centro del bucle de corriente. No hay densidad de carga neta en ninguna parte del bucle es decir, ρ _f ≡ 0. Calcular A para el observador en R (X, Y, Z, t) y mantener solo los términos al orden más bajo en (b/R) tanto en la distancia de un elemento d L en el bucle actual como en el tiempo retardado\(t_{R}=t-\frac{R}{C}\).

Demostrar que a primer orden en (b/R) los componentes del potencial vectorial están dados por

\[\text{A}_{\text{X}}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left(\pi \text{b}^{2} \text{I}_{0}\right)\left(\frac{\text{Y}}{\text{R}}\right)\left(\frac{\operatorname{Sin} \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{R}^{2}}+\frac{\omega \operatorname{Cos} \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{CR}}\right)\nonumber\]

\[\text{A}_{\text{y}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left(\pi \text{b}^{2} \text{I}_{0}\right)\left(\frac{\text{X}}{\text{R}}\right)\left(\frac{\sin \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{R}^{2}}+\frac{\omega \cos \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{c} \text{R}}\right)\nonumber\]

o

\[\text{A}_{\phi}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \left(\pi \text{b}^{2} \text{I}_{0}\right) \sin \theta\left(\frac{\sin \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{R}^{2}}+\frac{\omega \cos \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{CR}}\right)\nonumber\]

y

A _θ = A _R = 0. También V = 0 porque div A = 0.

Demostrar que para R muy grandes los campos están dados por

\[\text{B}_{\theta}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right)\left(\pi \text{b}^{2}\right) \frac{\sin \theta}{\text{c}^{2} \text{R}}\left(\frac{\text{d}^{2} \text{I}}{\text{dt}^{2}}\right)_{\text{t}_{\text{R}}}\nonumber\]

\[E_{\phi}=-\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \left(\pi b^{2}\right) \frac{\sin \theta}{\operatorname{cR}}\left(\frac{d^{2} I}{d t^{2}}\right)_{t_{R}}\nonumber\]

donde\(t_{R}=\left(t-\frac{R}{c}\right)\).

Respuesta (7.2)

Partiendo de la expresión general para el potencial del vector:

\[\mathbf{A}(\mathbf{R})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \int \frac{J(\mathbf{r}) d \tau}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}|}\nonumber\]

Al llevar a cabo la integral el integrando desaparece excepto en el cable.

\[\therefore \quad \mathbf{A}(\mathbf{R})=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \oint \frac{I\left(t_{R}\right) \mathbf{d l}}{|\mathbf{R}-\mathbf{r}|}\nonumber\]

Ahora\(\mathbf{d l}=\text { bd } \phi\left[-\sin \phi \hat{\mathbf{u}}_{x}+\cos \phi \hat{\mathbf{u}}_{y}\right]\)

y\(|\mathbf{R}-\mathbf{r}|^{2}=(X-b \cos \phi)^{2}+(Y-b \sin \phi)^{2}+Z^{2}=X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-2 b X \cos \phi-2 b \sin \phi Y+b^{2}\)

\(\therefore|\mathbf{R}-\mathbf{r}| \cong R\left[1-\frac{b X \cos \phi}{R^{2}}-\frac{b Y \sin \phi}{R^{2}}\right]\)

Por lo tanto

\[\text{A}_{\text{X}}=\frac{\mu_{0} I_{0}}{4 \pi \text{R}} \int_{0}^{2 \pi}-\operatorname{bsin} \phi d \phi\left[1+\frac{\text{b} \text{X} \cos \phi}{\text{R}^{2}}+\frac{\text{b} \text{Y} \sin \phi}{\text{R}^{2}}\right] \times \sin \omega\left(t-\frac{R}{c}+\frac{b X \cos \phi}{c R}+\frac{b Y \sin \phi}{c R}\right)\nonumber\]

Pero\(\sin \left[\omega\left(t-\frac{R}{c}\right)+\omega \delta\right]=\cos \omega \delta \sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)+\sin \omega \delta \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\)

Aquí\(\delta=\frac{bX \cos \phi}{c R}+\frac{b Y \sin \phi}{c R}\)

y ω\(\delta\) << 1 es decir, de orden\(\frac{V}{c}<<1\)

por lo tanto\(\cos \omega \delta \cong 1\)

\(\sin \omega \delta \simeq \omega \delta\)

\(\therefore \sin \left[\omega\left(t-\frac{R}{c}\right)+\omega \delta\right]=\sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)+\omega \delta \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\)

Entonces

\[\text{A}_{\text{X}}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{I}_{0} \text{b}}{\text{R}} \int_{0}^{2 \pi} \text{d} \phi \sin \phi\left\{\left(1+\frac{\text{b} \text{X} \cos \phi}{\text{R}^{2}}+\frac{\text{b} \text{Y} \sin \phi}{\text{R}^{2}}\right)\right.\times \left.\left[\sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)+\cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right) \left(\frac{\omega b \times \cos \phi}{c R}+\frac{\omega b Y \sin \phi}{c R}\right)\right]\right\}\nonumber\]

Los únicos términos que sobreviven a la integración sobre los ángulos son

\(\text{A}_{\text{x}}=-\frac{\mu_{\text{o}}}{4 \pi}\left(\text{I}_{\text{o}} \pi \text{b}^{2}\right)\left(\frac{\text{Y}}{\text{R}}\right)\left[\frac{\sin \omega\left(\text{t}-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right)}{\text{R}^{2}}+\frac{\omega}{\text{c} \text{R}} \cos \omega\left(\text{t}-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right)\right]=-\alpha(\text{Y} / \text{R})\)

Del mismo modo

\[\mathrm{A}_{\mathrm{Y}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathrm{I}_{0} \mathrm{b}}{\mathrm{R}} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{d} \phi \cos \phi\left[1+\frac{\mathrm{b} \mathrm{X} \cos \phi}{\mathrm{R}^{2}}+\frac{\mathrm{b} \mathrm{Y} \sin \phi}{\mathrm{R}^{2}}\right]\times \sin \omega\left(t-\frac{R}{c}+\frac{b x \cos \phi}{c R}+\frac{b Y \sin \phi}{c R}\right)\nonumber\]

Pero\(\sin \omega\left(t-\frac{R}{c}+\delta\right)=\cos \omega \delta \sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)+\sin \omega \delta \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\)

\(\cong\left(\frac{\omega b \times \cos \phi}{c R}+\frac{\omega b Y \sin \phi}{c R}\right) \quad \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)+\sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\)

\[\begin{array}{l} \therefore A_{Y}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right)\left(\frac{I_{0} b}{R}\right) \int_{0}^{2 \pi} d \phi \cos \phi\left\{\left[1+\frac{b X \cos \phi}{R^{2}}+\frac{b Y \sin \phi}{R^{2}}\right] \sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\right. \\ \quad \quad \quad \quad+\left(\frac{\omega b X \cos \phi}{c R}+\frac{\omega b Y \sin \phi}{c R}\right) \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right) \\ \quad \quad \quad \quad+\frac{\mathrm{b} \mathrm{X} \cos \phi}{\mathrm{R}^{2}}\left(\frac{\omega \mathrm{b} \mathrm{X} \cos \phi}{\mathrm{cR}}+\frac{\omega \mathrm{b} \mathrm{Y} \sin \phi}{\mathrm{cR}}\right) \cos \omega\left(t-\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{c}}\right) \\ \left.\quad \quad \quad \quad+\frac{\mathrm{b} \mathrm{Y} \sin \phi}{\mathrm{R}^{2}}\left(\frac{\omega \mathrm{b} \mathrm{X} \cos \phi}{\mathrm{cR}}+\frac{\omega \mathrm{b} \mathrm{Y} \sin \phi}{\mathrm{cR}}\right) \cos \omega\left(\mathrm{t}-\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{c}}\right)\right\} \end{array} \nonumber\]

Los únicos términos que sobreviven a la integración son

\(\text{A}_{\text{y}}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \left(\text{I}_{\text{O}} \pi \text{b}^{2}\right) \left(\frac{\text{X}}{\text{R}}\right) \left[\frac{\sin \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{\text{R}^{2}}+\frac{\omega}{\text{cR}} \cos \omega\left(\text{t}-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right)\right]=\alpha(\text{X} / \text{R})\)

Pero

\ [\ begin {array} {l}
\ frac {X} {R} =\ sin\ theta\ cos\ phi\
\ frac {Y} {R} =\ sin\ theta\ sin\ phi
\ end {array}\ nonumber\]

y

\ [\ begin {array} {l}
\ texto {A} _ {\ texto {X}} =-\ alfa\ sin\ theta\ sin\ phi\
\ texto {A} _ {\ texto {Y}} =\ alfa\ sin\ theta\ cos\ phi\
\ texto {A} _ _ {\ texto {z}} =0.
\ end {array}\ nonumber\]

Desde

\ [\ begin {array} {l}
\ hat {\ mathbf {u}} _ {\ text {r}} =(\ sin\ theta\ cos\ phi,\ sin\ theta\ sin\ phi,\ cos\ theta)\
\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {\ theta} =(\ cos\ theta\ cos\ phi,\ cos\ theta\ sin\ phi, -\ sin\ theta)\\
\ sombrero {\ mathbf {u}} _ {\ phi} =( -\ sin\ phi,\ cos\ phi, 0),
\ fin {matriz}\ nonumber\]

entonces

\[\mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{\text{r}}=0, \quad \mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{\theta}=0, \quad \text { and } \quad \mathbf{A} \cdot \hat{\mathbf{u}}_{\phi}=\alpha \sin \theta.\nonumber\]

En comparación con lo anterior se encuentra

\(\text{A}_{\phi}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right)\left(I_{0} \pi \text{b}^{2}\right) \sin \theta\left[\frac{\sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)}{R^{2}}+\frac{\omega}{c R} \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\right]\)

y A _r = A _θ = 0.

También V = 0. Let m _o = I _o\(\pi\) b ²

\(\operatorname{curl} \mathbf{A}=\frac{1}{r^{2} \sin \theta}\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{u}}_{r} & r \hat{\mathbf{u}}_{\theta} & r \sin \theta \hat{\mathbf{u}}_{\phi} \\ \frac{\partial}{\partial r} & \frac{\partial}{\partial \theta} & \frac{\partial}{\partial \phi} \\ 0 & 0 & r \sin \theta \text{A}_{\phi} \end{array}\right|\)

\(=\left|\begin{array}{cc} \frac{1}{\operatorname{rsin} \theta} \frac{\partial\left(\sin \theta A_{\phi}\right)}{\partial \theta} \\ -\frac{1}{r} \frac{\partial\left(r A_{\phi}\right)}{\partial r} \\ 0 \end{array}\right|\)

\(\begin{aligned} \therefore B_{r} &=\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \quad A_{\phi}\right) \\ &=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \frac{2 m_{0} \cos \theta}{R}\left[\frac{\sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)}{R^{2}}+\frac{\omega}{c R} \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\right] \end{aligned}\)

\(\text{B}_{\theta}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \text{m}_{0} \sin \theta\left[\frac{\sin \omega\left(t-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right)}{\text{R}^{3}}+\frac{\omega}{\text{cR}^{2}} \cos \omega\left(t-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right)\right.\left.-\frac{\omega^{2}}{c^{2} R} \sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\right]\)

\(\text{B}_{\phi}=0\)

\(E_{\phi}=-\frac{\partial A_{\phi}}{\partial t}=-\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) m_{0} \sin \theta \quad\left[\frac{\omega}{R^{2}} \cos \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)-\frac{\omega^{2}}{c R} \sin \omega\left(t-\frac{R}{c}\right)\right]\)

y E _r = E _θ = 0.

Para R grande solo son importantes los términos en 1/R.

\(\text{B}_{\theta}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \pi \text{b}^{2} \sin \theta \left(-\frac{\omega^{2}}{\text{c}^{2} \text{R}}\right) \text{I}_{0} \sin \omega\left(\text{t}-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right)\)

\(B_{\theta}=\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \frac{\pi b^{2} \sin \theta}{c^{2} R}\left(\frac{d^{2} I}{d t^{2}}\right)_{t_{R}}\)

Del mismo modo

\(E_{\phi}=-\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right) \frac{\pi b^{2} \sin \theta}{\operatorname{cR}}\left(\frac{d^{2} I}{d t^{2}}\right)_{t_{R}} \quad \quad \quad \text { ie } \cdot E_{\phi}=-c B_{\theta}\)

Problema (7.3).

Un transmisor dipolo magnético consta de 10 vueltas de alambre enrollado en una forma cuyo radio es de 10 cm. Una corriente alterna cuya amplitud es de 100 amperios y cuya frecuencia es de 100 MHz se pasa a través de la bobina.

(a) ¿Cuál es el momento magnético máximo de la bobina anterior?

(b) Suponiendo que la bobina anterior pueda aproximarse por un dipolo magnético puntual, calcule y compare los términos en las expresiones para los campos eléctrico y magnético generados por un dipolo magnético oscilante medidos en un punto en el plano ecuatorial a 1 metro del dipolo (θ=\(\pi\) /2).

c) Calcular y comparar los términos en las expresiones para los campos eléctrico y magnético generados por un dipolo magnético oscilante medidos en un punto del plano ecuatorial a 1 km del dipolo.

Respuesta (7.3)

(a) El momento magnético máximo es m _z = IA, o en este caso m _z = (1000) (.01\(\pi\)) = 31.4 Amp.m ².

b) Los campos generados por un dipolo magnético oscilante están dados por

\[\text{B}_{\text{r}}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} 2 \cos \theta\left(\frac{\text{m}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}+\frac{\dot{\text{m}}_{\text{z}}}{\text{cR}^{2}}\right)\nonumber\]

\[\text{B}_{\theta}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sin \theta\left(\frac{\text{m}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}+\frac{\dot{\text{m}}_{\text{z}}}{\text{cR}^{2}}+\frac{\ddot{\text{m}_{\text{z}}}}{\text{c}^{2} \text{R}}\right)\nonumber\]

\[\text{B}_{\phi}=0\nonumber\]

\[\text{E}_{\phi}=-\text{c}\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \sin \theta\left(\frac{\dot{\text{m}}_{\text{z}}}{\text{cR}^{2}}+\frac{\ddot{\text{m}_{\text{z}}}}{\text{c}^{2} \text{R}}\right)\right)\nonumber\]

\[\text{E}_{\text{r}}=\text{E}_{\theta}=0\nonumber\]

Para este problema θ=\(\pi\) /2, Cosθ=0 y Sinθ=1. También R= 1 metro y ω= 2\(\pi\) f = 6.28x10 ⁸ radianes/seg.

(1)\(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{m_{z}}{R^{3}}=3.14 \times 10^{-6} \text {Teslas }\)

(2)\(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\dot{\text{m}}_{\text{z}}}{\text{cR}^{2}}=6.58 \text{ix} 10^{-6} \text{Tes} 1 \text{as}\)

desde\(\frac{\dot{m}_{z}}{c}=\frac{i \omega m_{z}}{c}=65.80 i\)

(3)\(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\ddot{m}_{z}}{c^{2} R}=-13.78 \times 10^{-6} \text {Teslas }\)

desde\(\ddot{m}_{z}=-\omega^{2} m_{z}=-1.24 \times 10^{19}\), y\(E_{\phi}=(4134-1970 i) \text{Volts/meter.}\)

(c) Para R= 1 km = 10 ³ metros

(1)\(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\text{m}_{\text{z}}}{\text{R}^{3}}=3.14 \times 10^{-15} \text {Teslas }\).

(2)\(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\dot{\text{m}}_{\text{z}}}{\text{cR}^{2}}=6.58 \text{ix} 10^{-12} \text{Tes} 1 \text{as}\).

(3)\(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\ddot{m}_{z}}{c^{2} R}=-13.78 \times 10^{-9} \text {Teslas }\), y\(E_{\phi}=\left(4.13-1.97 \text{ix} 10^{-3}\right) \text {Volts/meter. }\)

Problema (7.4).

Un electrón está en reposo en el origen de las coordenadas. De repente se le da una aceleración de a = 1.76 x 10 ¹⁷ m/seg ² durante ^10-14 segundos después de lo cual continúa con una velocidad uniforme. Esta aceleración, que se dirige a lo largo del eje z, fue producida por un pulso de 1000 V aplicado a través de un hueco de 1 mm a t = 0. Un observador se ubica en X = 1 metro, Y= Z= 0 m.

(a) Hacer un boceto que muestre cómo el componente x del campo eléctrico medido por el observador varía con el tiempo (tiempo del observador: su reloj está sincronizado con el del origen).

(b) Lo mismo demuestra cómo E _z varía con el tiempo.

Respuesta (7.4).

Piense en poner tanto una carga estacionaria de +1.6x10 ^-19 C. como una carga estacionaria de - 1.6x10 ^-19 C. en el origen: la carga neta es cero para que estas juntas no agreguen nada a los campos. Sin embargo, la carga + y el electrón móvil juntos forman un dipolo p _z = - qz (t) donde q= 1.6x10 ^-19 C. El dipolo variable en el tiempo genera los campos

\[E_{r}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} 2 \cos \theta\left(\frac{p_{z}}{R^{3}}+\frac{\dot{p}_{z}}{c R^{2}}\right)\nonumber\]

\[\text{E}_{\theta}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \sin \theta \quad\left(\frac{\text{p}_{2}}{\text{R}^{3}}+\frac{\dot{\text{p}}_{2}}{\text{cR}^{2}}+\frac{\ddot{\text{p}}_{2}}{\text{c}^{2} \text{R}}\right).\nonumber\]

La carga estática sobrante en el origen genera el campo estático

\[E_{X}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{-q}{R^{2}}\nonumber\]

a R = (1,0,0).

La escala de tiempo T ₀ para este problema es el tiempo requerido para que la luz viaje 1 m; T ₀ = 3.33x10 ^-9 segundos. La velocidad del electrón después de la aceleración es V= 1.76x10 ³ m/seg. Por lo tanto en la escala de tiempo de interés aquí el electrón se ha movido solo VT ₀ = 5.9x10 ^-6 metros, así el cambio de posición es insignificante comparado con la distancia del observador de 1 m. sobre las escalas de tiempo de interés aquí (~10 ^-8 segs., z= 1.76x10 ^-5 m), uno encuentra

\[\mathrm{p}_{\mathrm{z}}=-\left(1.6 \times 10^{-19}\right)\left(1.76 \times 10^{-5}\right)=-2.82 \times 10^{-24} \mathrm{Cm}.\nonumber\]

\[\frac{\dot{p}_{z}}{c}=-0.94 \times 10^{-24} \text{C}.\nonumber\]

\[\frac{\dot{p}_{z}}{c^{2}}=-3.13 \times 10^{-19} \mathrm{C} / \mathrm{m}, \text { during the acceleration. }\nonumber\]

Estos campos se dirigen a lo largo de +z para un observador en R = (1,0,0). Por lo tanto, es claro que el pico de aceleración en E _z será muy grande en comparación con los otros dos términos en E _θ.

El observador a (1,0,0) verá un campo estable de E _x = - 14.4x10 ^-10 V/m Se observará un pico de campo eléctrico comenzando en T ₀ = 3.33x10 ^-9 segundos después del impulso: este pico E _z = 28.2x10 ^-10 V/m durará 10 ^-14 secs. Después de que el pico haya pasado el componente E _z se mantendrá en el nivel de 8.46x10 ^-15 V/m. a lo largo de la escala de tiempo de interés aquí. Es claro que este componente residual es muy pequeño en comparación con el pico de radiación.

En resumen: el campo de aceleración de 282 x 10 ^-9 V/m que dura 10 ^-14 segundos se dirige a lo largo\(-\hat{\mathbf{u}}_{\theta}\) porque la carga es negativa. Por lo tanto, para un observador en P (1,0,0) el campo eléctrico se dirige a lo largo de z, la aceleración comienza en t=0. Sin embargo, el tiempo requerido para que el campo llegue al observador es de\(\frac{1}{c}=3.33 \times 10^{-9}\) segundos (una distancia de 1 metro a la velocidad de la luz). Por lo tanto, a t = 3.33 x 10 ^-9 segundos el observador verá un pulso transversal que dura 10 ^-14 segundos. Esto se superpone sobre un campo eléctrico constante de E _x = -14.4x10 ^-10 V/m. (Constante en la escala de tiempo de interés aquí.)

Problema (7.5).

Una partícula que porta una carga q gira en círculo a una velocidad constante v = bω. Este movimiento se puede descomponer en dos movimientos acoplados

\[\begin{array}{l} x=b \cos \omega t \\ y=b \sin \omega t \end{array}\nonumber\]

Sea b muy pequeño en comparación con la distancia al observador para que esta fuente de radiación pueda tratarse como dos dipolos puntuales ortogonales qx y qy.

a) Considerar un observador en P = (R,0,0). Demostrar que este observador verá un campo de radiación polarizado a lo largo de y y dado por

\(E_{y}=\frac{\text{qb} \omega^{2} \sin \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{c}^{2} \text{R}} \quad \text{Volts} / \text{m}.\)

b) Considerar un observador en P = (0, R,0). Demostrar que este observador verá un campo de radiación polarizado a lo largo de x y dado por

\(E_{x}=\frac{\text{qb} \omega^{2} \cos \omega(\text{t}-\text{R} / \text{C})}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{c}^{2} \text{R}} \quad \text{Volts} / \text{m}.\)

c) Considerar un observador en P = (0,0, R). Demostrar que este observador verá luz polarizada circularmente cuyos componentes de campo eléctrico están dados por

\(\text{E}_{\text{X}}=\frac{\text{qb} \omega^{2} \cos \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{4 \pi \varepsilon_{\text{O}} \text{c}^{2} \text{R}} \quad \text { Volts / m. }\)

\(\text{E}_{\text{y}}=\frac{\text{qb} \omega^{2} \sin \omega(\text{t}-\text{R} / \text{c})}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{c}^{2} \text{R}} \quad \text { Volts /m. }\)

Respuesta (7.5).

Este movimiento puede considerarse como una superposición de dos movimientos lineales. La amplitud del campo eléctrico (campo de radiación) producida por una carga acelerada viene dada por

\(\text{E}_{\theta}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}}} \frac{\text{qa} \sin \theta}{\text{c}^{2} \text{r}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\ddot{\text{p}} \sin \theta}{\text{c}^{2} \text{r}}\), a evaluado a t _R = t - R/c Para cada uno de los casos anteriores θ =\(\pi\) /2

\(\therefore \text{E}_{\theta}=\frac{\text{qa}}{4 \pi \varepsilon_{\circ} \text{c}^{2} \text{r}}\)

Los resultados anteriores siguen inmediatamente ya que a _x = -bω ² cosωt y a _y = - bω ² sinωt. El observador en (R,0,0) verá radiación solo debido a p _y. El observador en (0, R,0) verá radiación solo debido a p _x. El observador en (0,0, R) verá radiación tanto de p _x como de p _y. El observador ubicado a lo largo del eje z verá radiación polarizada circularmente porque si

\[\text{E}_{\text{X}}=\text{E}_{0} \cos \omega\left(\text{t}-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right),\nonumber\]

y

\[\text{E}_{\text{y}}=\text{E}_{0} \sin \omega\left(\text{t}-\frac{\text{R}}{\text{c}}\right),\nonumber\]

estos dos campos juntos forman un vector de magnitud fija E ₀ que gira a la frecuencia angular ω.