1.5: Ley de Coulomb

Si te interesa la historia de la física, bien merece la pena leer sobre los importantes experimentos de Charles Coulomb en 1785. En estos experimentos tenía una pequeña esfera metálica fija que podía cargar con electricidad, y una segunda esfera metálica unida a una paleta suspendida de un fino hilo de torsión. Las dos esferas se cargaron y, debido a la fuerza repulsiva entre ellas, la paleta se retorció alrededor al final del hilo de torsión. Por este medio pudo medir con precisión las pequeñas fuerzas entre las cargas, y determinar cómo variaba la fuerza con la cantidad de carga y la distancia entre ellas.

De estos experimentos resultó lo que ahora se conoce como Ley de Coulomb. Dos cargas eléctricas de signo similar se repelen entre sí con una fuerza que es proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas:

\[F \propto \frac{Q_1Q_2}{r^2}\label{1.5.1}\]

Aquí\(Q_1\) and \(Q_2\) are the two charges and \(r\) is the distance between them.

Podríamos en principio usar cualquier símbolo que nos guste para la constante de proporcionalidad, pero en la práctica estándar SI (Système International), la constante de proporcionalidad se escribe como\(\frac{1}{4\pi \epsilon}\) so that Coulomb’s Law takes the form

\[F=\frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\label{1.5.2}\]

Aquí\(\epsilon\) is called the permittivity of the medium in which the charges are situated, and it varies from medium to medium. The permittivity of a vacuum (or of “free space”) is given the symbol \(\epsilon_0\). Media other than a vacuum have permittivities a little greater than \(\epsilon_0\). The permittivity of air is very little different from that of free space, and, unless specified otherwise, I shall assume that all experiments described in this chapter are done either in free space or in air, so that I shall write Coulomb’s Law as

\[F=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}\label{1.5.3}\]

Quizás te preguntes — por qué el factor 4\(\pi\)? In fact it is very convenient to define the permittivity in this manner, with 4\(\pi\) in the denominator, because, as we shall see, it will ensure that all formulas that describe situations of spherical symmetry will include a 4\(\pi\), formulas that describe situations of cylindrical symmetry will include 2\(\pi\), and no \(\pi\) will appear in formulas involving uniform fields. Some writers (particularly those who favour cgs units) prefer to incorporate the 4\(\pi\) into the definition of the permittivity, so that Coulomb’s law appears in the form \(F=Q_1Q_2/(\epsilon_0r^2)\), though it is standard SI practice to define the permittivity as in Equation \ref{1.5.3}. The permittivity defined by Equation \ref{1.5.3} is known as the “rationalized” definition of the permittivity, and it results in much simpler formulas throughout electromagnetic theory than the “unrationalized” definition.

El SI unidad de carga es el culombo, C. Desafortunadamente en esta etapa no puedo darle una definición exacta del culombio, aunque, si una corriente de 1 amperio fluye por un segundo, la cantidad de carga eléctrica que ha fluido es de 1 culombio. Esto puede parecer al principio muy claro, hasta que reflexione que aún no hemos definido lo que se entiende por amplificador, y eso, me temo, tendrá que venir en un capítulo mucho posterior.

Hasta entonces, te puedo dar algunas pequeñas indicaciones. Por ejemplo, la carga en un electrón es de aproximadamente - 1.6022 X 10 ^{- 19} C, y la carga sobre un protón es de aproximadamente +1.6022 X 10 ^{- 19} C. Es decir, una colección de 6.24 X 10 ¹⁸ protones, si de alguna manera pudieras agruparlos todos y detenerlos ellos de volar aparte, equivale a una carga de 1 C. Un mol de protones (es decir 6.022 X 10 ²³ protones) que tendría una masa de aproximadamente un gramo, tendría una carga de 9.65 X 10 ⁴ C, que también se llama faraday (que no es en absoluto lo mismo cosa como un farad).

[La definición actual del culombio y del amplificador, que se dará en el Capítulo 6, requiere cierto conocimiento del electromagnetismo. Sin embargo, es probable que, en 2018, el culombo se redefina de tal manera que la magnitud de la carga en un solo electrón sea exactamente de 1.60217 X 10 ^{- 19} C.]

Las cargas involucradas en nuestros experimentos con bolas de médula, varillas de vidrio y electroscopios de hoja de oro son muy pequeñas en términos de culombios, y suelen ser del orden de los nanoculombios.

La permitividad del espacio libre tiene el valor aproximado

\[\epsilon_0 = 8.8542\times 10^{-12}\text{ C}^2\, \text{N}^{-1}\, \text{m}^{-2}. \nonumber\]

Más adelante, cuando sepamos lo que se entiende por un “farad”, utilizaremos las unidades F m ^{- 1} para describir la permitividad —pero eso tendrá que esperar hasta la sección 5.2.

Bien puede preguntarse cómo se mide la permitividad del espacio libre. Una respuesta breve podría ser “realizando experimentos similares a los de Coulomb”. Sin embargo —y esto es más bien una historia larga, que no voy a describir aquí— resulta que como hoy definimos el metro definiendo la velocidad de la luz, c, para que sea exactamente 2.997 925 58 X 10 ⁸ m s ^{- 1}, la permitividad de libre el espacio tiene un valor definido, dado, en unidades SI, por

\[4\pi\epsilon_0 = \frac{10^7}{c^2}\nonumber\]

Por lo tanto, no es necesario medir\(\epsilon_0\) any more than it is necessary to measure c. But that, as I say, is a long story.

Desde el punto de vista del análisis dimensional, la carga eléctrica no puede expresarse en términos de M, L y T, sino que tiene una dimensión, Q, propia. (Esta aseveración es cuestionada por algunos, pero este no es el lugar para discutir las razones. Puedo agregar un capítulo, eventualmente, discutiendo este punto mucho más adelante.) Decimos que las dimensiones de la carga eléctrica son Q.

Aconsejaré encarecidamente al lector que trabaje y tome nota de las dimensiones de cada nueva cantidad eléctrica o magnética a medida que se introduce.

toneladas o casi un millón de toneladas.

veces tan fuertes como las fuerzas gravitacionales —pero tal afirmación fuera de contexto no tiene sentido. Por ejemplo, la fuerza gravitacional entre la Tierra y la Luna es mucho más que la fuerza electrostática (si la hay) entre ellas, y los cosmólogos podrían hacer un buen caso para decir que las fuerzas más fuertes del Universo son gravitacionales.

La relación de la permitividad de una sustancia aislante a la permitividad del espacio libre es su permitividad relativa, también llamada su constante dieléctrica. Las constantes dieléctricas de muchas sustancias aislantes comúnmente encontradas son de orden “algunas”. Es decir, en algún lugar entre 2 y 10. El agua pura tiene una constante dieléctrica de alrededor de 80, que es bastante alta (pero ten en cuenta que la mayor parte del agua está lejos de ser pura y no es un aislante.) Algunas sustancias especiales, conocidas como sustancias ferroeléctricas, como el titanato de estroncio SrTiO ₃, tienen constantes dieléctricas de unos pocos cientos.