1.6B: Distribuciones de carga esféricas
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Aquí no voy a dar derivaciones de cálculo de las expresiones para campos eléctricos resultantes de distribuciones de carga esféricas, ya que son idénticas a las derivaciones para los campos gravitacionales de las distribuciones de masas esféricas en el “libro” de Mecánica Clásica de estas notas de física, siempre y cuando reemplazar masa por carga y\(G\) por -1/(4π\(\epsilon_0\)). Ver Capítulo 5, subsecciones 5.4.8 y 5.4.9 de Mecánica Celestial. Además, veremos más adelante que pueden derivarse más fácilmente de la ley de Gauss que por cálculo. Yo, sin embargo, voy a dar aquí los resultados.
A una\(r\) distancia del centro de una concha esférica hueca de radio a que lleva una carga\(Q\), el campo eléctrico es cero en cualquier punto dentro de la esfera (es decir, para\(r < a\)). Para un punto fuera de la esfera (es decir\(r > a\)) la intensidad del campo es
\[E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}.\tag{1.6.4}\]
Esto es lo mismo que si toda la carga estuviera concentrada en un punto en el centro de la esfera.
Si tiene una distribución de carga esféricamente simétrica\(Q\) contenida dentro de un volumen esférico de radio a, esto puede considerarse como una colección de esferas huecas anidadas. De ello se deduce que en un punto fuera de una distribución de carga esféricamente simétrica, el campo a una\(r\) distancia del centro vuelve a
\[E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}.\tag{1.6.5}\]
Es decir, es lo mismo que si toda la carga estuviera concentrada en el centro. Sin embargo, en un punto dentro de la esfera, la carga más allá de la distancia\(r\) desde el centro aporta cero al campo eléctrico; el campo eléctrico a una\(r\) distancia del centro es, por lo tanto, justo
\[E=\frac{Q_r}{4\pi\epsilon_0 r^2}.\tag{1.6.6}\]
Aquí\(Q_r\) está la carga dentro de un radio\(r\). Si la carga se distribuye uniformemente por toda la esfera, esto está relacionado con la carga total por\(Q_r=\left ( \frac{r}{a}\right )^3 Q\), donde\(Q\) está la carga total. Por lo tanto, para una distribución de carga esférica uniforme, el campo dentro de la esfera es
\[E=\frac{Qr}{4\pi\epsilon_0 a^3}.\tag{1.6.7}\]
Es decir, aumenta linealmente del centro a la superficie, donde alcanza un valor de\(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a^2}\), después de lo cual disminuye según la ecuación 1.6.5.
No es difícil imaginar alguna carga eléctrica distribuida (uniformemente o de otra manera) a lo largo de un volumen esférico finito, pero, porque como cargas se repelen entre sí, puede que no sea fácil darse cuenta de esta situación idealizada en la práctica. En particular, si se carga una esfera metálica, ya que la carga puede fluir libremente a través de un metal, la autorrepulsión de las cargas dará como resultado que toda la carga resida en la superficie de la esfera, que luego se comporta como una distribución de carga esférica hueca con campo eléctrico cero dentro.