7.9: Relación Magnetogírica

El momento magnético y el momento angular son propiedades importantes de las partículas subatómicas. Cada uno de ellos, sin embargo, depende de la velocidad angular de rotación de la partícula. La relación entre el momento magnético y el momento angular, por otro lado, es independiente de la velocidad de rotación, y nos dice algo sobre cómo se distribuyen la masa y la carga dentro de la partícula. Además, se puede medir con mayor precisión que el momento magnético o el momento angular por separado. Esta relación se llama la relación magnetogírica (o, perversa e ilógicamente, por algunos, la “relación giromagnética”). Debe poder demostrar que las dimensiones de la relación magnetogírica son\(\text{QM}^{−1}\), y por lo tanto la unidad SI lo es\(\text{C kg}^{−1}\). Dudo, sin embargo, que muchos físicos de partículas utilicen unidades tan simples. Probablemente expresan momento magnético en magnetones Bohr o magnetones nucleares y momento angular en unidades de la constante de Planck dividida por\(2\pi\) − pero ese no es nuestro problema.

Calculemos la relación magnetogírica de una carga puntual y una masa puntual que se mueve en una órbita circular, más bien como el electrón que se mueve alrededor del protón en el modelo más simple de un átomo de hidrógeno. Supondremos que la velocidad angular en la órbita es\(\omega\) y el radio de la órbita es\(a\). El momento angular es fácil — es justo\(ma^2\omega\). La frecuencia con la que la partícula (cuya carga es\(Q\)) pasa un punto dado en su órbita es\(\omega/(2\pi)\), así es la corriente\(Q\omega/(2\pi)\). El área de la órbita es\(\pi a^2\) y así lo es el momento magnético de la partícula orbitante\(\frac{1}{2}Q\omega a^2\). La relación magnetogírica es por lo tanto\(Q/(2m)\).

La relación magnetogírica será la misma que esta en cualquier cuerpo giratorio en el que las distribuciones de densidad de masa y densidad de carga dentro del cuerpo sean las mismas. Considere, sin embargo, la relación magnetogírica de una esfera metálica cargada y giratoria. La masa se distribuye uniformemente por toda la esfera, pero toda la carga reside en la superficie. Entonces podemos esperar que la relación magnetogírica sea bastante mayor que\(Q/(2m)\).

El momento angular es fácil. Es justo\(\frac{2}{5}ma^2\omega\). Ahora por el momento magnético. Consulte la Figura\(\text{VII.6}\).

\(\text{FIGURE VII.6}\)

El área de la zona elemental que se muestra es\(2\pi a^2 \sin\theta d\theta\). El área de toda la esfera es\(4\pi a^2\), por lo que la carga sobre la zona elemental es\(\frac{1}{2}Q\sin \theta d\theta\). La zona está girando, al igual que toda la esfera, a una velocidad angular\(\omega\), por lo que la corriente es

\[\frac{1}{2}Q\sin\theta d\theta \times \omega/(2\pi) = \frac{Q\omega \sin\theta d\theta}{4\pi}\]

El área encerrada por la zona elemental es\(\pi a^2 \sin^2 \theta\). El momento magnético\(dp_m\) de la zona es la corriente multiplicada por el área encerrada, que es

\[dp_m = \frac{1}{4}Q\omega a^2 \sin^3 \theta d\theta\]

El momento magnético de toda la esfera se encuentra integrando esto de\(\theta\) = 0 a\(\pi\), de donde

\[p_m = \frac{1}{3}Q\omega a^2\]

Por lo tanto, la relación entre el momento magnético y el momento angular es\(5Q/(6m)\).

Aquellos que estén familiarizados con el movimiento giroscópico sabrán que si un cuerpo giratorio de momento angular\(\textbf{L}\) está sujeto a un par \(\tau\), el vector de momento angular no será constante en dirección y de hecho la tasa de cambio del momento angular será igual a \(\tau\) . La figura\(\text{VII.7}\) es un recordatorio del movimiento de un top en precesión regular (es decir, sin nutación).

\(\text{FIGURE VII.7}\)

Se necesitará un estudio del Capítulo 4 Sección 4.10 de Mecánica Clásica para una comprensión más detallada del movimiento de un top. La parte superior está sujeta a un par de magnitud\(mgl \sin\theta\). El par puede ser representado por un vector \(\tau\)dirigido hacia el plano del papel. Como se dibuja, el vector\(\textbf{L}\) de momento angular forma un ángulo\(\theta\) con el campo gravitacional\(\textbf{g}\), y precede alrededor de la vertical con una velocidad angular \(\Omega\), los tres vectores \(\tau\),\(\textbf{L}\) y \(\Omega\)estando relacionado por \(\tau = \textbf{L} \times \Omega\). Por lo tanto, la magnitud del vector de momento angular es\(\tau/(L \sin \theta)\). Pero\(\tau = mgl \sin\theta\), para que la frecuencia precessional sea\(mgl/L\), independiente de\(\theta\). De igual manera un cuerpo giratorio cargado con un momento magnético de\(\textbf{p}_m\) es un campo magnético\(\textbf{B}\) experimenta un par \(\tau = \textbf{p}_m \times \textbf{B}\), que es de magnitud\(p_mB \sin \theta\), y en consecuencia su vector de momento angular precede alrededor\(\textbf{B}\) a una velocidad angular\(\frac{p_m}{L} B\), independiente de \(\theta\). (Verifique que esto tenga dimensiones\(\text{T}^{−1}\).) El coeficiente de\(B\) aquí es la relación magnetogírica. La velocidad de precesión se puede medir con mucha precisión y, por lo tanto, la relación magnetogírica se puede medir de manera correspondientemente precisa. Este fenómeno de “precesión de Larmor” es la base de muchos instrumentos y disciplinas interesantes, como el magnetómetro de precesión de protones, la espectroscopia de resonancia magnética nuclear y la resonancia magnética nuclear utilizada en medicina. Debido a que cualquier cosa, incluida la palabra “nuclear”, es una frase políticamente incorrecta, la palabra “nuclear” generalmente se deja caer, y la resonancia magnética nuclear generalmente se llama simplemente “imágenes por resonancia magnética”, o resonancia magnética, lo cual no tiene mucho sentido, pero al menos es políticamente correcto.