13.11: Valores cuadráticos medios, coincidencia de potencia e impedancia

Hemos estado tratando con corrientes alternas de la forma\(I=\hat{I}e^{j\omega t}\). I have been using the notation \(\hat{I}\) para denotar el valor “pico” (es decir, máximo) de la corriente. Por supuesto, en la notación de números complejos, esto es sinónimo del módulo de\(I\). Es decir\(\hat{I}=\text{mod }I=|I|\). Voy a usar una u otra notación donde sea conveniente. Esto a menudo significará usar ^ al describir cantidades variables en el tiempo, y\(| \,\, |\) cuando se describen cantidades constantes (pero quizás dependientes de la frecuencia), como impedancias.

Supongamos que tenemos una corriente que varía con el tiempo ya que\(I=\hat{I}\sin \omega t\). During a complete period \((P=2\pi / \omega )\) la corriente promedio o media es cero. La media del cuadrado de la corriente, sin embargo, no es cero. La corriente cuadrática media,\(\overline{I^2}\), se define de tal manera que

\[\label{13.11.1}\overline{I^2}P=\int_0^P I^2 \,dt.\]

Con\(I=\hat{I}\sin \omega t\) this gives \(\overline{I^2}=\frac{1}{2}\hat{I}^2\). La raíz cuadrada de esta es la corriente cuadrática media raíz, o el valor RMS de la corriente:

\[\label{13.11.2}I_\text{RMS}=\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{I}=0.707\hat{I}.\]

Cuando nos dicen que una corriente alterna es tantos amperios, o un voltaje alterno es tantos voltios, generalmente es el valor RMS lo que se entiende, aunque no podemos estar seguros de esto a menos que el hablante o escritor lo diga explícitamente. Si deseas ser entendido y no malentendido en tus propios escritos, siempre dejarás claro explícitamente qué significado pretendes.

Si una corriente alterna fluye a través de una resistencia, en algún instante cuando la corriente es\(I\), the instantaneous rate of dissipation of energy in the resistor is \(I^2R\). The mean rate of dissipation of energy during a complete cycle is \(I_{\text{RMS}}^2R\). Esta es una razón obvia por la que el concepto de corriente RMS es importante.

Ahora vuelve tu mente a la Sección 4.8. Ahí imaginamos que conectamos una resistencia\(R\) across a battery of EMF \(E\) and internal resistance \(r\). We calculated that the power delivered to the resistance was \(P=I^2R=\frac{E^2R}{(R+r)^2}\) , y que ésta era mayor (e igual a\(\frac{1}{4}E^2/r\)), cuando la resistencia externa era igual a la resistencia interna de la batería.

¿Cuál es la situación correspondiente con la corriente alterna? Supongamos que tenemos una caja (una “fuente”) que entrega una tensión alterna\(V\) (which is represented by a complex number \(\hat{V}e^{j\omega t}\)), y que esta caja tiene una impedancia interna\(z=r+jx\). Si conectamos a través de la caja un dispositivo (una “carga”) que tiene una impedancia\(Z=R+jX\), cuál será la potencia entregada a la carga, y podemos igualar la externa impedancia de la carga a la impedancia interna de la caja de tal manera que la potencia entregada a la carga es mayor?

La segunda pregunta es bastante fácil de responder. La reactancia puede ser positiva (inductiva) o negativa (capacitiva), por lo que es muy posible que la reactancia total de todo el circuito sea cero. Por lo tanto, para un inicio, queremos asegurar que\(X=-x\). That is, the external reactance should be equal in magnitude but opposite in sign to the internal reactance. The circuit is then purely resistive, and the power delivered to the circuit is just what it was in the direct current case, namely \(P=I^2R=\frac{E^2R}{(R+r)^2}\), donde la corriente y EMF en esta ecuación son ahora los valores RMS. Y, como en el caso de la corriente continua, esto es mayor si\(R=r\). The conclusion is that, for maximum power transfer, \(R+jX\) debe ser igual\(r-jx\). Es decir, para que las impedancias externas e internas se correspondan para la máxima transferencia de potencia,\(Z=z^*\). La impedancia de carga debe ser igual al conjugado de la impedancia de la fuente.

¿Cuál es la potencia entregada a la carga cuando las impedancias no coinciden? En otras palabras, cuándo\(z=r+jx\) y\(Z=R+jX\). Lo es\(P=\frac{1}{2}\hat{I}^2R\). La corriente viene dada por la ecuación\(E=I(Z+z)\). (Todos estos son números complejos, es decir, todos son funciones periódicas con diferentes fases. \(E\)y\(I\) varían con el tiempo.) Ahora si\(w_1\) y\(w_2\) son dos números complejos, es bien sabido (de cursos en números complejos) que\(|w_1w_2|=|w_1||w_2|\). We apply this now to \(E=I(Z+z)\). [I shall use ^ for the “peak” of the time-varying quantities, and \(|\,\, |\) for the modulus of the impedances] We obtain \(\hat{E}=\hat{I}|Z+z|\).

Así

\[\label{13.11.3}P=\frac{1}{2}\hat{I}^2R=\frac{1}{2}\frac{\hat{E}^2R}{|Z+z|^2}=\frac{E_{\text{RMS}}^{2}R}{\underline{(R+r)+(X+x)^2}}\]