1.3: Ley de Gauss y campos electrostáticos y potenciales

Si bien la ley de fuerza de Lorentz define cómo se pueden observar los campos eléctricos y magnéticos, las cuatro ecuaciones de Maxwell explican cómo estos campos se pueden crear directamente a partir de cargas y corrientes, o indirecta y equivalentemente de otros campos variables en el tiempo. Una de esas cuatro ecuaciones es la Ley de Gauss para la carga, que establece que la carga total Q [Coulombs] dentro del volumen V es igual a la integral de la componente normal del vector de desplazamiento eléctrico\(\vec D\) sobre la superficie A de ese volumen:

\[ \oiint _{\text{A}}(\vec{\text{D}} \bullet \hat{n}) \text{d} \text{a}=\int \int \int_{\text{V}} \rho \text{d} \text{v}=\text{Q}\]

En vacío:

\[\vec{\text{D}}=\varepsilon_{\text{o}} \vec{\text{E}}\]

donde la permitividad del vacío ε _o = 8.854×10 ^-12 Farads/m. La ecuación (1.3.1) revela las dimensiones de\(\vec D\): culombios/m ², a menudo abreviado aquí como [C/m ²].

Algunos ejemplos simples ilustran campos eléctricos típicos para distribuciones de carga comunes y cómo se puede usar la ley de Gauss para calcular esos campos. Primero considere una esfera de radio R uniformemente llena de carga de densidad ρ _o [C/m ³], como se ilustra en la Figura 1.3.1 (a).

Figura 1.3.1: Campos eléctricos\(\vec E\) (r) producidos por esferas y cilindros cargados uniformemente.

La simetría de la solución debe coincidir con la simetría esférica del problema, por lo que\(\vec E\) debe ser independiente de θ y\(\Phi\), aunque puede depender del radio r, esta simetría requiere que\(\vec E\) sea radial y, más particularmente:

\[\vec{\text{E}}(\text{r}, \theta, \phi)=\hat{\text{r}} \text{E}(\text{r})[\text{V} / \text{m}]\]

Podemos encontrar\(\vec E\) (r) sustituyendo (1.3.3) en (1.3.1). Primero considere r > R, para lo cual (1.3.1) se convierte en:

\[4 \pi r^{2} \varepsilon_{0} E(r)=(4 / 3) \pi R^{3} \rho_{0}=Q\]

\[\vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{0} \text{r}^{2}}\quad \quad \quad (\text{r}>\text{R})\]

Dentro de la esfera la misma sustitución en (1.3.1) rinde:

\[4 \pi r^{2} \varepsilon_{0} E(r)=(4 / 3) \pi r^{3} \rho_{0}\]

\[\vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \rho_{\text{o}} \text{r} / 3 \varepsilon_{\text{o}}[\text{V} / \text{m}] \quad \quad \quad (\text{r}<\text{R})\]

Es interesante comparar esta dependencia de\(\vec E\) on r con la de geometrías cilíndricas, que también se ilustran en la Figura 1.3.1. Se asume una densidad de carga uniforme de ρ _o dentro del radio R, correspondiente a λ culombios/metro. La sustitución de (1.3.4) en (1.3.1) rinde:

\[2 \pi r W \varepsilon_{0} E(r)=\pi R^{2} \rho_{o} W=\Lambda W \quad [C] \quad \quad \quad (r>R)\]

\[\vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \frac{\Lambda}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{r}}=\hat{\text{r}} \frac{\text{R}^{2} \rho_{\text{o}}}{2 \varepsilon_{\text{o}} \text{r}}[\text{V} / \text{m}] \quad\quad\quad (\text{r}>\text{R})\]

Dentro del cilindro (r < R) aún se aplica el lado derecho de (1.3.9), pero con R ^{2 reemplazado por r 2}, así que\( \vec{\text{E}}(\text{r})=\hat{\text{r}} \text{r} \rho_{\text{o}} / 2 \varepsilon_{\text{o}}\) en su lugar.

Para encontrar la diferencia de voltaje, a menudo llamada la diferencia en el potencial eléctrico\(\Phi\) o la diferencia de potencial, entre dos puntos en el espacio [V], podemos simplemente integrar el campo eléctrico estático\(\bar{E} \cdot \hat{r} \) [V/m] a lo largo de la línea de campo que los\(\vec E\) conecta. Así, en el caso esférico la diferencia de voltaje\(\Phi\left(\text{r}_{1}\right)-\Phi\left(\text{r}_{2}\right) \) entre los puntos a r ₁ y a r ₂ > r ₁ es:

\[\Phi\left(\text{r}_{1}\right)-\Phi\left(\text{r}_{2}\right)=\int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \vec{\text{E}} \bullet \text{d} \vec{\text{r}}=\frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}}} \int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \frac{1}{\text{r}^{2}} \hat{\text{r}} \cdot \text{d} \vec{\text{r}}=-\left.\frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{r}}\right|_{\text{r}_{1}} ^{\text{r}_{2}}=\frac{\text{Q}}{4 \pi \varepsilon_{\text{o}}}\left(\frac{1}{\text{r}_{1}}-\frac{1}{\text{r}_{2}}\right)[\text{V}]\]

Si queremos asignar un valor absoluto al potencial eléctrico o voltaje V en una ubicación dada, generalmente definimos que el potencial sea cero\(\Phi\) a r ₂ = ∞, por lo que una carga esférica Q produce un potencial eléctrico\(\Phi\) (r) para r > R que es:

\[\Phi(\text{r})=\text{Q} / 4 \pi \varepsilon_{\text{o}} \text{r}[\text{V}]\]

El mismo cálculo para la carga cilíndrica de la Figura 1.3.1 y el campo de (1.3.9) arroja:

\[\Phi\left(\text{r}_{1}\right)-\Phi\left(\text{r}_{2}\right)=\int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \vec{\text{E}} \bullet \text{d} \vec{\text{r}}=\frac{\Lambda}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}}} \int_{\text{r}_{1}}^{\text{r}_{2}} \frac{1}{\text{r}} \hat{\text{r}} \cdot \text{d} \vec{\text{r}}=\left.\frac{\Lambda \ln \text{r}}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}}}\right|_{\text{r}_{1}} ^{\text{r}_{2}}=\frac{\Lambda}{2 \pi \varepsilon_{\text{o}}} \ln \left(\text{r}_{2} / \text{r}_{1}\right)\]

Una tercera geometría simple es la de placas conductoras paralelas infinitas cargadas separadas por la distancia d, donde las superficies orientadas hacia el interior de las placas superior e inferior tienen densidad de carga superficial +ρ _s y -ρ _s [C/m ²], respectivamente, como se ilustra en la Figura 1.3.2 para finitos placas. La uniformidad de placas infinitas con respecto a x, y, y\(\Phi\) requiere que la solución\(\vec E\) también sea independiente de x, y, y\(\Phi\). La simetría con respecto a\(\Phi\) requiere ese\(\vec E\) punto en la dirección ±z. La ley de Gauss (1.3.1) requiere entonces que\(\vec E\) sea independiente de z porque las integrales de\(\vec D\) sobre las superficies superior e inferior de cualquier volumen rectangular ubicado entre las placas deben cancelar ya que no hay carga dentro de dicho volumen y no\(\vec D\) pasa por sus lados.

Figura 1.3.2: Campo eléctrico entre placas paralelas.

su solución para\(\vec E\) es consistente con el modelo de banda de goma para líneas de campo, lo que sugiere que el exceso de cargas positivas y negativas se atraerán mutuamente, y por lo tanto se tirará a las superficies internas de las dos placas, particularmente si el espacio d entre las placas es pequeño en comparación con su ancho. La Ley de Gauss (1.3.1) también nos dice que el vector de desplazamiento\(\vec D\) integrado sobre una superficie que encierra toda la estructura debe ser cero porque la carga integrada dentro de esa superficie es cero; es decir, la carga positiva integrada, ρ _s A, equilibra la carga negativa integrada, - ρ _s A y\(\vec D\) externo al dispositivo puede ser cero en todas partes. La diferencia de potencial eléctrico V entre las dos placas se puede encontrar integrando\(\vec E\) entre las dos placas. _{Es decir, V = E o d voltios para cualquier camino de integración, donde E o = ρ s/ε o por la ley de Gauss.}

Si bien la diferencia de voltaje entre los equipotenciales se puede calcular integrando a lo largo de las propias líneas de campo eléctrico, como se hizo anteriormente, es fácil demostrar que el resultado no depende del camino de integración. Supongamos que hay dos caminos diferentes de integración _P1 y _P2 entre dos puntos de interés cualesquiera, y que las dos diferencias de voltaje resultantes son V ₁ y V ₂. Ahora considere el contorno cerrado C de integración que está a lo largo de la trayectoria _P1 en la dirección positiva y a lo largo de _P2 en la dirección inversa para hacer un bucle cerrado. Dado que esta integral de contorno debe producir cero, como se muestra a continuación en (1.3.13) usando la ley de Faraday para el caso estático donde /t = 0, se deduce que V ₁ = V ₂ y que todas las trayectorias de integración producen la misma diferencia de voltaje.

\[\text{V}_{1}-\text{V}_{2}=\int_{\text{P}_{1}} \vec{\text{E}} \cdot \text{d} \vec{\text{s}}-\int_{\text{P}_{2}} \vec{\text{E}} \cdot \text{d} \vec{\text{s}}=\oint_{\text{c}} \vec{\text{E}} \cdot \text{d} \vec{\text{s}}=-\frac{\partial}{\partial \text{t}} \int \int_{\text{A}} \vec{\text{B}} \cdot \text{d} \vec{\text{a}}=0\]

En resumen, los campos eléctricos se descomponen como 1/r ² a partir de las concentraciones de carga esféricas, como 1/r de las cilíndricas, y son uniformes en geometrías planas. Los potenciales eléctricos correspondientes disminuyen como 1/r, -ln r y x, respectivamente, como resultado de la integración a distancia. El potencial\(\Phi\) para la caja cilíndrica se vuelve infinito como r→∞ porque el cilindro es infinitamente largo; sin embargo, la expresión de la diferencia de potencial entre cilindros concéntricos de radio finito es válida. Dentro de las distribuciones uniformes de carga esférica y cilíndrica el campo eléctrico aumenta desde cero linealmente con el radio r. En cada caso la distribución del campo eléctrico se explica por el modelo de banda de caucho en el que las bandas de goma (líneas de campo) se repelen lateralmente mientras son arrastradas por el contrario cargas eléctricas.

Es sumamente útil señalar que las ecuaciones de Maxwell son lineales, por lo que se aplica la superposición. Es decir, el campo eléctrico total\(\vec E\) es igual al debido a la suma de todas las cargas presentes, donde la contribución a\(\vec E\) de cada carga Q viene dada por (1.3.5). Los potenciales eléctricos\(\Phi\) también se superponen, donde la contribución de cada carga Q viene dada por (1.3.11).