1.4: Ley de Amperios y Campos Magnetostáticos

La ecuación relevante de Maxwell para densidades de corriente estática\(\vec J\) [A/m ²] es la ley de Ampere, que dice que para casos invariables en el tiempo la integral del campo magnético\(\vec H\) alrededor de cualquier contorno cerrado en sentido derecho es igual al área integral de densidad de corriente\(\vec J\) [A/m 2] fluyendo a través de ese contorno:

\[\oint_{\mathrm{c}} \vec{\mathrm{H}} \cdot \mathrm{d} \vec{\mathrm{s}}=\int \int_{\mathrm{A}} \vec{\mathrm{J}} \cdot \mathrm{d} \vec{\mathrm{a}}\]

La Figura 1.4.1 ilustra una geometría cilíndrica simple para la cual podemos calcular fácilmente\(\vec H\) producida por la corriente I; el radio del cilindro es R y la densidad de corriente uniforme que fluye a través de él es J _o [A/m ²]. El cilindro es infinitamente largo.

Figura 1.4.1: Campo magnético producido por una corriente cilíndrica uniforme.

Debido a que el problema es cilíndricamente simétrico (no una función de θ), y uniforme con respecto al eje cilíndrico z, también lo es la solución. Por lo tanto,\(\vec H\) depende solo del radio r. La sustitución de\(\vec H\) (r) en (1.4.1) produce:

\[\int_{0}^{2 \pi} \vec{\mathrm{H}}(\mathrm{r}) \cdot \hat{\theta} \mathrm{rd} \theta=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\mathrm{R}} \mathrm{J}_{\mathrm{o}} \mathrm{r} \mathrm{dr} \mathrm{d} \theta=\mathrm{J}_{\mathrm{o}} \pi \mathrm{R}^{2}=\mathrm{I}[\mathrm{A}]\]

donde la corriente total I es simplemente la densidad de corriente uniforme J _o veces el área πR ² del cilindro. El lado izquierdo de (1.4.2) simplemente es igual a H (r) veces la circunferencia de un círculo de radio r, por lo que (1.4.2) se convierte en:

\[\int_{0}^{2 \pi} \vec{\mathrm{H}}(\mathrm{r}) \cdot \hat{\theta} \mathrm{rd} \theta=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\mathrm{R}} \mathrm{J}_{\mathrm{O}} \mathrm{r} \mathrm{dr} \mathrm{d} \theta=\mathrm{J}_{\mathrm{o}} \pi \mathrm{R}^{2}=\mathrm{I}[\mathrm{A}]\]

Dentro del alambre cilíndrico donde r < R, (1.4.2) se convierte en:

\[\vec{\mathrm{H}}(\mathrm{r})=\hat{\theta} \frac{\mathrm{I}}{2 \pi \mathrm{r}}=\hat{\theta} \frac{\mathrm{J}_{0} \pi \mathrm{R}^{2}}{2 \pi \mathrm{r}}[\mathrm{A} / \mathrm{m}] \quad \quad \quad (\mathrm{r}>\mathrm{R}) \]

\[\vec{\mathrm{H}}(\mathrm{r})=\hat{\theta} \mathrm{J}_{\mathrm{o}} \mathrm{r} / 2[\mathrm{A} / \mathrm{m}] \quad \quad \quad(\mathrm{r}<\mathrm{R})\]

Por lo tanto H (r) aumenta linealmente con r dentro del cable y distribución de corriente, y es continuo a r = R, donde tanto (1.4.3) como (1.4.5) coinciden en que H (r) = J _o R/2.

Otra geometría simple involucra placas paralelas. Asumir densidades de corriente iguales y opuestas, J _s [A/m], fluyen en placas paralelas infinitas separadas por la distancia d, como se ilustra en la Figura 1.4.2 para placas finitas. La integral de la ley de Ampere (1.4.1) alrededor de cualquier contorno _C1 que circunda ambas placas es cero porque la corriente neta a través de ese contorno es cero. Una integral distinta de cero requeriría una fuente externa de campo, que suponemos que no existe aquí. Así\(\vec H\) por encima y por debajo de las placas es cero. Dado que la integral de (1.4.1) alrededor de cualquier contorno C ₂ que circunda la placa superior produce HxW = J _s W, donde la componente x del campo magnético en cualquier lugar entre las placas es H _x = J _s [A/m]; así el campo magnético\(\vec H\) entre las placas es uniforme. Una integral alrededor de cualquier contorno en cualquier plano y-z circularía sin corriente neta, por lo que H _z = 0, y un argumento similar se aplica a H _y, que también es cero. Esta configuración se discute más a fondo en la Sección 3.2.1.

Figura 1.4.2: Campo magnético estático entre placas paralelas.

De manera más general, debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales, el campo magnético total\(\vec H\) en cualquier ubicación es la integral de las contribuciones hechas por las densidades de corriente\(\vec J\) cercanas. El artículo 10.1 prueba la ley Biot-Savart (1.4.6), que define cómo contribuye una distribución de corriente\(\vec J\) 'en posición\(\vec r\)' dentro del volumen V'\(\vec H\) en la posición\(\vec r\):

\[\vec{\mathrm{H}}(\vec{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\int \int \int_{\mathrm{V}^{\prime}} \frac{\vec{\mathrm{J}}^{\prime} \times\left(\vec{\mathrm{r}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}^{\prime}\right)}{4 \pi\left|\vec{\mathrm{r}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}^{\prime}\right|^{3}} \mathrm{d} \mathrm{v}^{\prime} \quad \quad \quad \quad \quad (Biot-Savart \quad law) \]

En resumen, los campos eléctricos y magnéticos son simples ficciones que explican todo el comportamiento electromagnético tal como se caracteriza por las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz, que se examinan más a fondo en el Capítulo 2. Un modelo físico simple para el comportamiento estático de los campos eléctricos es el de bandas de goma que tienden a tirar cargas eléctricas opuestas una hacia la otra, pero que tienden a repeler las líneas de campo vecinas lateralmente. Los campos magnéticos estáticos se comportan de manera similar, excepto que el papel de las cargas magnéticas (que no se ha demostrado que existan) es reemplazado por bucles de corriente que actúan como dipolos magnéticos de maneras que se discuten más adelante.