2.1: Ecuaciones diferenciales de Maxwell en el dominio del tiempo
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Mientras que la ley de fuerza de Lorentz caracteriza los efectos observables de los campos eléctricos y magnéticos sobre las cargas, las ecuaciones de Maxwell caracterizan los orígenes de esos campos y sus relaciones entre sí. La representación más simple de las ecuaciones de Maxwell es en forma diferencial, que conduce directamente a las ondas; la forma integral alternativa se presenta en la Sección 2.4.3.
La forma diferencial utiliza el overlinetor del operador:
\[\nabla \equiv \hat{x} \frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}+\hat{y} \frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}+\hat{z} \frac{\partial}{\partial \mathrm{z}}\]
donde\(\hat{x}, \hat{y}\), y\(\hat{z}\) se definen como overlinetors unitarios en coordenadas cartesianas. Las relaciones que involucran a se resumen en el Apéndice D. Aquí se utiliza el producto de punto de overlinetor convencional 1 y el producto cruzado 2 de con los sobrelineadores de campo eléctrico y magnético donde, por ejemplo:
\[\overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{x}}+\hat{y} \mathrm{E}_{\mathrm{y}}+\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{z}}\]
\[\nabla \cdot \overline{\mathrm{E}} \equiv \frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{x}}+\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{y}}+\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{z}}\]
Llamamos a\(\nabla \cdot \overline{\mathrm{E}}\) la divergencia de E porque es una medida del grado en que el campo overlinetor\(\overline E\) diverge o fluye hacia afuera desde cualquier posición. El producto cruzado se define como:
\ [\ begin {alineado}
\ nabla\ veces\ overline {\ mathrm {E}} &\ equiv\ hat {x}\ left (\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}}} {\ parcial\ mathrm {y}} -\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {y}} {\ parcial\ mathrm {z}}\ derecha) +\ hat {y}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}}} {\ parcial\ mathrm {z}} -\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}}} {\ parcial\ mathrm {x}}\ derecha) +\ hat {z}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {y}}} {\ parcial\ mathrm {x}} -\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {x}} {parcial\ mathrm {y}}\ derecha)\\
&=\ nombreoperador {det}\ izquierda|\ begin {array} {ccc}
\ hat {x} &\ hat {y} &\ hat {z}\\
\ parcial/\ parcial\ mathrm {x} &\ parcial/\ parcial\ mathrm {y} &\ parcial/\ parcial\ mathrm {z}\\
\ mathrm {E} _ {\ mathrm {x}} &\ mathrm {E} _ {\ mathrm {y}} &\ mathrm {E} _ {\ mathrm {z}}
\ end {array}\ derecha|
\ fin {alineado}\]
que a menudo se llama el rizo de E. La Figura 2.1.1 ilustra cuándo la divergencia y el curl son cero o distintos de cero para cinco distribuciones de campo representativas.
1 El producto punteado de\(\overline A\) and \(\overline B\) can be defined as \(\bar{A} \cdot \bar{B}=A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z}=|A||B| \cos \theta\), where θ is the angle between the two overlinetors.
2 El producto cruzado de\(\overline A\) and \(\overline B\) can be defined as \(\bar{A} \times \bar{B}=\hat{x}\left(A_{y} B_{z}-A_{z} B_{y}\right)+\hat{y}\left(A_{z} B_{x}-A_{x} B_{z}\right)+\hat{z}\left(\mathrm{A}_{\mathrm{x}} \mathrm{B}_{\mathrm{y}}-\mathrm{A}_{\mathrm{y}} \mathrm{B}_{\mathrm{x}}\right)\); its magnitude is \(|\overline{\mathrm{A}}| \cdot|\overline{\mathrm{B}}| \sin \theta\). Alternatively, \(\overline{\mathrm{A}} \times \overline{\mathrm{B}}=\operatorname{det}\left|\left[\mathrm{A}_{\mathrm{x}}, \mathrm{A}_{\mathrm{y}}, \mathrm{A}_{\mathrm{z}}\right],\left[\mathrm{B}_{\mathrm{x}}, \mathrm{B}_{\mathrm{y}}, \mathrm{B}_{\mathrm{z}}\right],[\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}]\right|\).
La forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo son:
\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \overline{\mathrm{B}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad \quad \quad \text { Faraday's Law }\]
\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad \quad \quad \text { Ampere's Law }\]
\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\rho \quad \quad \quad \quad \text {Gauss’s Law}\]
\[\nabla \cdot \overline{\mathrm{B}}=0 quad \quad \quad \quad \text {Gauss’s Law}\]
Las variables de campo se definen como:
\[\overline{\mathrm{E}} \quad \text{electric field}\quad \quad \quad \quad \quad {[volts/meter; Vm^{-1}] }\]
\[ \overline{\mathrm{H}} \quad \text{magnetic field}\quad \quad \quad \quad \quad {[amperes/meter; Am^{-1}] }\]
\[\overline{\mathrm{B}} \quad \text{magnetic flux density }\quad \quad \quad \quad \quad {[Tesla; T] } \]
\[ \overline{\mathrm{D}} \quad \text{electric displacement }\quad \quad \quad \quad \quad {[coulombs/m^2; Cm^{-2}] }\]
\[\overline{\mathrm{J}} \quad \text{electric current density }\quad \quad \quad \quad \quad {[amperes/m^2; Am^{-2}] } \]
\[\overline{\mathrm{\rho}} \quad \text{electric charge density }\quad \quad \quad \quad \quad {[coulombs/m^3; Cm^{-3}]} \]
Estas cuatro ecuaciones de Maxwell invocan una cantidad escalar y cinco overlinetor que comprenden 16 variables. Algunas variables solo caracterizan cómo la materia altera el comportamiento del campo, como se discute más adelante en la Sección 2.5. En vacío podemos eliminar tres overlinetors (9 variables) señalando:
\[\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{E}} \quad \quad \quad \quad \quad {(constitutive \ relation \ for \ \overline{D} ) } \]
\[ \overline{\mathrm{B}}=\mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \quad \quad \quad \quad \quad {(constitutive \ relation \ for \ \overline{B} ) }\]
\[ \overline{\mathrm{J}}=\rho \overline{\mathrm{v}}=\sigma \overline{\mathrm{E}} \quad \quad \quad \quad \quad {(constitutive \ relation \ for \ \overline{J} )}\]
donde ε o = 8.8542×10 -12 [faradios m -1] es la permitividad del vacío, μ o = 4\(\pi\) ×10 -7 [henries m -1] es la permeabilidad del vacío 3, v es la velocidad de la densidad de carga neta local ρ, y σ es la conductividad de un medio [Siemens m -1]. Si vemos las fuentes eléctricas ρ y J como dadas, entonces las ecuaciones se pueden resolver para todas las incógnitas restantes. Específicamente, entonces podemos encontrar E y H, y así computar las fuerzas en todas las cargas presentes. Salvo casos especiales evitaremos resolver problemas donde los campos electromagnéticos y los movimientos de ρ sean interdependientes.
Las relaciones constitutivas para el vacío,\(\mathrm{D}=\varepsilon_{0} \overline{\mathrm{E}} \) y\( \overline{\mathrm{B}}=\mu_{0} \overline{\mathrm{H}}\), pueden generalizarse a\( \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}\)\( \overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}\), y\(\overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}} \) para los medios simples. Los medios se discuten más a fondo en la Sección 2.5.
Las ecuaciones de Maxwell requieren conservación de carga. Al tomar la divergencia de la ley de Ampere (2.1.6) y señalar la identidad overlinetor\(\nabla \bullet(\nabla \times \overline{\mathrm{A}})=0 \), encontramos:
\[ \nabla \bullet(\nabla \times \bar{H})=0=\nabla \bullet \frac{\partial \bar{D}}{\partial t}+\nabla \bullet \bar{J}\]
Luego, al revertir la secuencia de las derivadas en (2.1.18) y sustituir la ley de Gauss\( \nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\rho\) (2.1.7), obtenemos la expresión diferencial para conservación de carga:
\[ \nabla \bullet \overline{\mathrm{J}}=-\frac{\partial \rho}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad \quad \quad \quad \text{(conservation of charge)}\]
La expresión integral se puede derivar de la expresión diferencial mediante el uso del teorema de divergencia de Gauss, que relaciona la integral de\( \nabla \bullet \bar{G}\) sobre cualquier volumen V con la integral de\(\overline{\mathrm{G}} \bullet \hat{n} \) sobre el área superficial A de ese volumen, donde\(\hat{n} \) apunta el overlinetor de la unidad normal de superficie hacia afuera:
\[\int \int \int_{V} \nabla \bullet \bar{G} d v=\oiint_{A} \bar{G} \bullet \hat{n} d a \quad \quad \quad \quad \quad \text{(Gauss’s divergence theorem)} \]
Así, la expresión integral para la conservación de la carga es:
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \int \int \int_{\mathrm{V}} \rho \mathrm{d} \mathrm{v}=-\oiint_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{J}} \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a} \quad \quad \quad \quad \quad \text{(conservation of charge)} \]
que dice que si no\(\overline J\) fluye corriente neta a través de las paredes A de un volumen V, entonces la carga total en su interior debe permanecer constante.
3 La constante 4\(\pi\) × 10-7 is exact and enters into the definition of an ampere.
Si el campo eléctrico en vacío es\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{ky})\), ¿qué es\(\overline H\)?
Solución
De la ley de Faraday (2.1.5):\(\mu_{0}(\partial \overline{\mathrm{H}} / \partial \mathrm{t})=-(\nabla \times \overline{\mathrm{E}})=\hat{z} \partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{y}=\hat{z} \mathrm{kE}_{\mathrm{o}} \sin (\omega \mathrm{t}-\mathrm{ky})\), usando (2.1.4) para el operador curl. Integración de esta ecuación con respecto a rendimientos temporales:\(\overline{\mathrm{H}}=-\hat{z}\left(\mathrm{kE}_{\mathrm{o}} / \mu_{\mathrm{o}} \omega\right) \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{ky})\).
¿El campo eléctrico en vacío\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kx})\) satisface las ecuaciones de Maxwell? ¿Bajo qué circunstancias\(\overline E\) satisfaría esto las ecuaciones?
Solución
Este campo eléctrico no satisface la ley de Gauss para el vacío, que requiere\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\rho=0\). Satisface la ley de Gauss solo para densidad de carga distinta de cero:\(\rho=\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}} / \partial \mathrm{x}=\partial\left[\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kx})\right] / \partial \mathrm{x}=\mathrm{k} \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \sin (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kx}) \neq 0\). Para satisfacer las ecuaciones restantes de Maxwell y conservación de carga (2.1.19) también debe haber una corriente\(\overline{\mathrm{J}} \neq 0\) correspondiente a\(\rho: \overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \sigma \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kx})\), donde (2.1.17) simplificó el cálculo.