2.2: Ondas electromagnéticas en el dominio del tiempo

Quizás el mayor triunfo de las ecuaciones de Maxwell fue su capacidad para predecir de manera sencilla la existencia y velocidad de ondas electromagnéticas a partir de mediciones simples de laboratorio de la permitividad y permeabilidad del vacío. En vacío la densidad de carga\(\rho=\overline{\mathrm{J}}=0\), y así las ecuaciones de Maxwell se convierten en:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\mu_{\mathrm{o}} \frac{\partial \overline{\mathrm{H}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad \quad \quad \quad(\text { Faraday's law in vacuum })\]

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \frac{\partial \overline{\mathrm{E}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad\quad\quad\quad(\text { Ampere's law in vacuum })\]

\[\nabla \cdot \overline{\mathrm{E}}=0\quad\quad\quad\quad\quad\text{(Gauss’s law in vacuum) } \]

\[\nabla \cdot \overline{\mathrm{H}}=0\quad\quad\quad\quad\quad\text{(Gauss’s law in vacuum) } \]

Podemos eliminar\(\overline H \) de estas ecuaciones calculando el rizo de la ley de Faraday, que introduce\(\nabla \times \overline{\mathrm{H}}\) en su lado derecho para que la ley de Ampere pueda ser sustituida:

\[\nabla \times(\nabla \times \overline{\mathrm{E}})=-\mu_{\mathrm{o}} \frac{\partial(\nabla \times \overline{\mathrm{H}})}{\partial \mathrm{t}}=-\mu_{\mathrm{o}} \varepsilon_{\mathrm{o}} \frac{\partial \overline{\mathrm{E}}^{2}}{\partial \mathrm{t}^{2}}\]

Usando la conocida identidad de overlinetor (ver Apéndice D):

\[\nabla \times(\nabla \times \overline{A})=\nabla(\nabla \bullet \overline{A})-\nabla^{2} \overline{A} \quad\quad\quad\quad\quad( \text {"well-known overlinetor identity"})\]

y luego usar (2.2.3) para eliminar\( \nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}\), (2.2.5) se convierte en la ecuación de onda electromagnética, a menudo llamada ecuación de onda Helmholtz:

\[\nabla^{2} \overline{E}-\mu_{0} \varepsilon_{0} \frac{\partial^{2} \overline{E}}{\partial t^{2}}=0 \quad\quad\quad\quad\quad \text{(Helmholtz wave equation)} \]

donde:

\[ \nabla^{2} \overline{E} \equiv\left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\right)\left(\hat{x} E_{x}+\hat{y} E_{y}+\hat{z} E_{z}\right)\]

Las soluciones a esta ecuación de onda (2.2.7) son cualquier campo\(\overline{\mathrm{E}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})\) para el cual la segunda derivada espacial\(\left(\nabla^{2} \overline{E}\right) \) equivale a una constante por la segunda derivada de tiempo\(\left(\partial^{2} \overline{\mathrm{E}} / \partial \mathrm{t}^{2}\right)\). El overlinetor de posición\(\overline{\mathrm{r}} \equiv \hat{x} \mathrm{x}+\hat{y} \mathrm{y}+\hat{z} \mathrm{z} \). Por lo tanto, la ecuación de onda se satisface por cualquier arbitrario\(\overline{\mathrm{E}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t}) \) que tenga una dependencia idéntica del espacio y el tiempo dentro de un multiplicador constante. Por ejemplo, las funciones arbitrarias de los argumentos (z - ct), (z + ct), o (t ± z/c) tienen una dependencia tan idéntica y se encuentran entre las soluciones válidas a (2.2.7), donde c es alguna constante por determinar. Una de esas soluciones es:

\[\overline{\mathrm{E}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{x}}(\mathrm{z}-\mathrm{ct}) \]

donde la función arbitraria E _x (z - ct) podría ser la ilustrada en la Figura 2.2.1 en el tiempo t = 0 y nuevamente en algún momento posterior t. Tenga en cuenta que a medida que el tiempo avanza dentro del argumento (z - ct), z debe avanzar con ct para que ese argumento, o\(\overline E\) en cualquier punto de interés en la forma de onda, permanezcan constantes.

Figura\(\PageIndex{1}\): Onda electromagnética arbitraria que se propaga en la dirección +z.

Podemos probar esta solución candidata (2.2.9) sustituyéndola en la ecuación de onda (2.2.7), dando como resultado:

\ [\ begin {align}
\ nabla^ {2}\ overline {E} (z-c t) &=\ frac {\ parcial^ {2} [\ overline {E} (z-c t)]} {\ parcial z^ {2}}\ equiv\ overline {E} ^ {\ prime\ prime} (z-c t)\
&=\ mu_ {0}\ varepsilon_ {0}\ frac {\ parcial^ {2} [\ overline {E} (z-c t)]} {\ parcial t^ {2}} =\ mu_ {0}\ varepsilon_ {0} (-c) ^ {2}\ overline {E} ^ {\ prime\ prime} (z-c t)\ nonumber
\ end {align}\]

donde definimos\( \overline{\mathrm{A}}^{\prime}(q)\) como la primera derivada de\( \overline{\mathrm{A}}\) con respecto a su argumento q y\(\overline{\mathrm{A}}^{\prime \prime}(q) \) como su segunda derivada. La ecuación (2.2.10) se satisface si:

\[ \mathrm{c}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}}} \quad[\mathrm{m} / \mathrm{s}]\]

donde definimos c como la velocidad de la luz en vacío:

\[\mathrm{c}=2.998 \times 10^{8}\left[\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right] \quad \quad \quad \quad \quad \text{(velocity of light)} \]

La Figura 2.2.1 ilustra cómo una arbitraria\( \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\) puede propagarse traduciendo a velocidad c. Sin embargo, se justifica cierta precaución cuando\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\) se define. Aunque nuestra solución de prueba (2.2.9) satisface la ecuación de onda (2.2.7), puede que no satisfaga las leyes de Gauss. Por ejemplo, considere el caso donde:

\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{z}}(\mathrm{z}-\mathrm{ct}) \]

Entonces la ley de Gauss no\(\nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}=0 \) está satisfecha:

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{E}}=\frac{\partial \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{Z}}}{\partial \mathrm{Z}} \neq 0 \text { for arbitrary } \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}) \]

En contraste, si\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t}) \) está orientado perpendicular a la dirección de propagación (en las\(\hat{y}\) direcciones\(\hat{x} \) y/o para la propagación dirigida por z), entonces todas las ecuaciones de Maxwell están satisfechas y la solución es válida. En el caso\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{y} \mathrm{E}_{\mathrm{y}}(\mathrm{z}-\mathrm{ct}) \), independiente de x e y, tenemos una onda plana uniforme porque los campos son uniformes con respecto a dos de las coordenadas (x, y) así que eso\( \partial \overline{\mathrm{E}} / \partial \mathrm{x}=\partial \overline{\mathrm{E}} / \partial \mathrm{y}=0\). Dado que este campo eléctrico está en la dirección y, se dice que está polarizado en y; por convención, la polarización de una onda se refiere a la dirección de su sobrelineador eléctrico. La polarización se discute más a fondo en la Sección 2.3.4.

Conociendo\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{y} \mathrm{E}_{\mathrm{y}}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})\) para este ejemplo, ahora podemos encontrar\( \overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\) usando la ley de Faraday (2.2.1):

\[\frac{\partial \overline{\mathrm{H}}}{\partial \mathrm{t}}=-\frac{(\nabla \times \overline{\mathrm{E}})}{\mu_{\mathrm{o}}} \]

Podemos evaluar el rizo de\(\overline E\) usar (2.1.4) y saber\( \mathrm{E}_{\mathrm{x}}=\mathrm{E}_{\mathrm{z}}=\frac{\partial}{\partial \mathrm{x}}=\frac{\partial}{\partial \mathrm{y}}=0\):

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=\hat{x}\left(\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{y}}-\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{z}}\right)+\hat{y}\left(\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{z}}-\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{z}}}{\partial \mathrm{x}}\right)+\hat{z}\left(\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{x}}-\frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{y}}\right)=-\hat{x} \frac{\partial \mathrm{E}_{\mathrm{y}}}{\partial \mathrm{z}} \]

Entonces, al integrar (2.2.15) a lo largo del tiempo se convierte en:

\ [\ begin {align}
\ overline {\ mathrm {H}} (\ mathrm {z},\ mathrm {t}) &=-\ int_ {-\ infty} ^ {\ mathrm {t}}\ frac {(\ nabla\ veces\ overline {\ mathrm {E}})} {\ mu_ {\ mathrm {o}}\ mathrm {o}}\ mathrm {dt} =\ hat {x}\ frac {1} {\ mu_ {\ mathrm {o}}}\ int_ {-\ infty} ^ {\ mathrm {t}}\ frac {\ parcial\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {y}} (\ mathrm {z} -\ mathrm {ct})} {\ parcial\ mathrm {z}}\ mathrm {dt}\\
&=-\ hat {x}\ frac {1} {\ mathrm {c}\ mu_ {\ mathrm {o}}}\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {y}} (\ mathrm {z} -\ mathrm {ct}) =-\ sombrero {x}\ sqrt {frfrac {\ varepsilon_ {\ mathrm {o}}} {\ mu_ {\ mathrm {o}}}}\ mathrm {E} _ _ {\ mathrm {y}} (\ mathrm {z} -\ mathrm {ct})\ nonumber
\ end {align}\]

\[\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\sqrt{\frac{\varepsilon_{\mathrm{O}}}{\mu_{\mathrm{o}}}} \hat{z} \times \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\hat{z} \times \frac{\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{z}, \mathrm{t})}{\eta_{\mathrm{o}}} \]

donde usamos la velocidad de la luz\(\mathrm{c}=1 / \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{o}} \mu_{\mathrm{o}}} \), y definimos\(\eta_{\mathrm{o}}=\sqrt{\mu_{\mathrm{o}} / \varepsilon_{\mathrm{o}}} \).

Así\(\overline E\) y\(\overline H\) en un plano uniforme las ondas se relacionan de manera muy sencilla. Sus direcciones son ortogonales entre sí y con respecto a la dirección de propagación, y la magnitud del campo eléctrico es\(\left(\mu_{0} / \varepsilon_{0}\right)^{0.5} \) multiplicada por la del campo magnético; este factor\(\eta_{\mathrm{o}}=\sqrt{\mu_{\mathrm{o}} / \varepsilon_{\mathrm{o}}} \) se conoce como la impedancia característica del espacio libre y equivale a ~377 ohmios. Es decir, para una sola onda plana uniforme en el espacio libre,

\[ |\overline{\mathrm{E}} /| \overline{\mathrm{H}} |=\eta_{\mathrm{o}}=\sqrt{\mu_{\mathrm{o}} / \varepsilon_{\mathrm{o}}} \cong 377 \ [\mathrm{ohms}]\]

Las ondas electromagnéticas pueden propagarse en cualquier dirección arbitraria en el espacio con un comportamiento temporal arbitrario. Es decir, somos libres de definir\(\hat{x}\),\(\hat{y}\), y\(\hat{z}\) en este ejemplo como estar en tres direcciones ortogonales cualesquiera en el espacio. Debido a que las ecuaciones de Maxwell son lineales en intensidad de campo, se aplica superposición y cualquier número de ondas planas que se propaguen en direcciones arbitrarias con polarizaciones arbitrarias pueden superponerse para producir soluciones electromagnéticas válidas. Exactamente qué superposición es la solución válida en cualquier caso particular depende de las condiciones de contorno y las condiciones iniciales para ese caso, como se discutirá más adelante en el Capítulo 9 para una variedad de geometrías.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Mostrar que\( \overline{\mathrm{E}}=\hat{y} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}(\mathrm{t}+\mathrm{z} / \mathrm{c})\) satisface la ecuación de onda (2.2.7). ¿En qué dirección se propaga esta onda?

Solución

\( \left(\nabla^{2}-\frac{\partial^{2}}{c^{2} \partial t^{2}}\right) \overline{E}=\hat{y} \frac{1}{c^{2}}\left[E_{0}^{\prime \prime}(t+z / c)-E_{0}^{\prime \prime}(t+z / c)\right]=0\); Q.E.D ⁴.

Dado que el argumento permanece constante a medida que t aumenta solo si z/c disminuye correspondientemente, la onda se propaga en la dirección -z.

⁴ Q.E.D. es la abreviatura de la frase latina “quod erat demonstratum” o “aquello que iba a demostrarse”.