2.8: Teorema de la singularidad

A lo largo de este texto, a menudo asumimos implícitamente la singularidad cuando adivinamos por primera vez la solución a las ecuaciones de Maxwell para un conjunto dado de condiciones de límite y luego probamos esa solución contra esas ecuaciones. Este proceso no garantiza que la solución resultante sea única, y muchas veces hay un número infinito de soluciones posibles, de las cuales podríamos adivinar solo una. El teorema de la singularidad es bastante útil ya que establece restricciones en las condiciones de límite que garantizan que solo haya una solución a las ecuaciones de Maxwell, que podemos encontrar como de costumbre.

Para probar el teorema de singularidad comenzamos considerando un volumen V encerrado por la superficie S y gobernado por las ecuaciones de Maxwell:

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}=\rho \]

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{B}}_{\mathrm{i}}=0 \quad \nabla \times \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{i}}=-\frac{\partial \overline{\mathrm{B}}_{\mathrm{i}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \nabla \times \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{i}}=\overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial \overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{i}}}{\partial \mathrm{t}} \]

donde i = 1, 2 corresponden a dos posibles soluciones consistentes con las distribuciones de fuentes dadas ρ y\(\overline J\). Ahora podemos demostrar que la diferencia\( \overline{\mathrm{A}}_{\mathrm{d}}=\overline{\mathrm{A}}_{1}-\overline{\mathrm{A}}_{2}\) entre estas dos soluciones debe ser cero bajo ciertas condiciones, y por lo tanto no puede haber entonces más de una solución:\(\overline A\) representa\( \overline{\mathrm{D}}\),\( \overline{\mathrm{B}}\),\(\overline{\mathrm{E}} \),\( \overline{\mathrm{H}}\), o\( \overline{\mathrm{J}}\).

Si restamos (2.8.1) para i = 2 de (2.8.1) para i = 1 obtenemos:

\[\nabla \bullet\left(\overline{D}_{1}-\overline{D}_{2}\right)=\nabla \bullet \overline{D}_{d}=0 \]

La resta similar de las ecuaciones correspondientes para (2.8.2) arroja tres ecuaciones de Maxwell más que los campos de diferencia\(\overline{\mathrm{B}}_{\mathrm{d}} \) y\( \overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{d}}\) deben satisfacer:

\[\nabla \bullet \overline{B}_{d}=0 \qquad \qquad \nabla \times \overline{E}_{d}=-\frac{\partial \overline{B}_{d}}{\partial t} \qquad \qquad \nabla \times \overline{H}_{d}=\frac{\partial \overline{D}_{d}}{\partial t} \]

donde observamos que los términos fuente ρ y\(\overline J\) han desaparecido de (2.8.3) y (2.8.4) porque son dados y fijos.

Las restricciones de contorno que garantizan la singularidad son:

1. En algún momento t = 0 los campos son conocidos en todas partes para que en ese instante\( \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{d}} = \overline{\mathrm{D}}_{\mathrm{d}}=\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{d}}=\overline{\mathrm{B}}_{\mathrm{d}}=0\).
2. En todo momento y en cada punto de la superficie S se conoce ya sea la tangencial\(\overline E\) o la tangencial\(\overline H\).

Aplicar el teorema de Poynting (2.7.10) a los campos de diferencia en el tiempo t demuestra la singularidad sujeta a estas restricciones:

\[\int \int \int_{V}\left[\overline{H}_{d} \bullet \frac{\partial \overline{B}_{d}}{\partial t}+\overline{E}_{d} \bullet \frac{\partial \overline{D}_{d}}{\partial t}\right] d v+\oiint_{S}\left(\overline{E}_{d} \times \overline{H}_{d}\right) \bullet d \overline{a}=0 \]

La restricción de límite (2) asegura que el componente tangencial de cualquiera\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{d}} \) o siempre\( \overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{d}}\) es cero, forzando así el producto cruzado en la segunda integral de (2.8.5) a cero en todas partes en la superficie de cerramiento S. La primera integral puede simplificarse si\(\overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}} \) y\(\overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}} \), donde tanto ε como μ pueden ser funciones de posición. Debido a que esta integral de volumen involucra entonces solo la derivada de tiempo de los cuadrados de los campos de diferencia\( \left(\left|\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{d}}\right|^{2} \text { and }\left|\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{d}}\right|^{2}\right)\), y debido a que estos campos son cero a t = 0 en virtud de la restricción (1), los campos de diferencia nunca pueden apartarse de cero mientras satisfacen (2.8.5). Dado que (2.8.5) se mantiene para todos los tiempos, los campos de diferencia deben ser por lo tanto siempre cero en todas partes, lo que significa que no puede haber más de una solución a las ecuaciones de Maxwell sujeta a las dos restricciones enumeradas anteriormente.