2.7: Poder y Energía en los Dominios de Tiempo y Frecuencia y el Teorema de Poynting

Teorema de Poynting y definición de poder y energía en el dominio del tiempo

Para derivar el teorema de Poynting podemos manipular las ecuaciones de Maxwell para producir productos de variables que tienen las dimensiones y el carácter de poder o energía. Por ejemplo, la potencia disipada en una resistencia es producto de su voltaje y corriente, por lo que el producto\(\overline{\mathrm{E}} \bullet \overline{\mathrm{J}}\left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-3}\right]\) sería de interés. Las dimensiones de\(\overline E\) y\(\overline J\) son voltios por metro y amperios por metro cuadrado, respectivamente. Las leyes de Faraday y Ampere son:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\frac{\partial \overline{\mathrm{B}}}{\partial \mathrm{t}} \quad \quad \quad \quad \quad \text { (Faraday's law) } \]

\[ \nabla \times \overline{H}=\overline{J}+\frac{\partial \overline{D}}{\partial t} \quad \quad \quad \quad \quad \text { (Ampere's law) }\]

Podemos producir el producto\(\overline{E} \bullet \overline{J} \) y preservar la simetría en la ecuación resultante tomando el producto punto de\(\overline E\) con la ley de Ampere y restando de él el producto punto de\(\overline H\) con la ley de Faraday, rindiendo:

\ [\ begin {align}
\ overline {\ mathrm {E}}\ bullet (\ nabla\ veces\ overline {\ mathrm {H}}) -\ overline {\ mathrm {H}}\ bullet (\ nabla\ veces\ overline {\ mathrm {E}) &=\ overline {\ mathrm {\ mathrm {E}}\ bullet\ overline {\ mathrm {J {}} +\ overline {\ mathrm {E}}\ bullet\ frac {\ parcial\ overline {\ mathrm {D}}} {\ parcial\ mathrm {t}} +\ overline {\ mathrm {H}}\ bullet\ frac {\ parcial\ overline {\ mathrm {B}}} {\ parcial\ mathrm {t}}\\ &=-\ nabla\ bullet (\ overline {\ mathrm {E}}\ times\ overline {\ mathrm {\ mathrm {H}})\ end {align}\]

donde (2.7.4) es una identidad de overlinetor. Las ecuaciones (2.7.3) y (2.7.4) se pueden combinar para formar el teorema de Poynting:

\[ \nabla \bullet(\overline{E} \times \overline{H})+\overline{E} \bullet \overline{J}+\overline{E} \bullet \frac{\partial \overline{D}}{\partial t}+\overline{H} \bullet \frac{\partial \overline{B}}{\partial t}=0 \ \left[W m^{-3}\right]\]

La dimensión de\(\overline{E} \bullet \overline{J} \) y cada otro término en esta ecuación es W m ^-3. Si\( \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}} \), entonces\( \overline{\mathrm{E}} \bullet \partial \overline{\mathrm{D}} / \partial \mathrm{t}=\partial\left[\varepsilon|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2\right] / \partial \mathrm{t}\) y\( \overline{\mathrm{H}} \bullet \partial \overline{\mathrm{B}} / \partial \mathrm{t}=\partial\left[\mu|\overline{\mathrm{H}}|^{2} / 2\right] / \partial \mathrm{t}\). El factor de la mitad surge porque ahora nos estamos diferenciando con respecto a una cantidad cuadrada en lugar de una sola cantidad, como en (2.7.5). De ello se deduce que\( \varepsilon|\overrightarrow{\mathrm{E}}|^{2} / 2\) y\(\mu|\overrightarrow{\mathrm{H}}|^{2} / 2 \) tienen la dimensión de J m ^-3 y representan densidad de energía eléctrica y magnética, respectivamente, denotadas por W _e y W _m. El producto\(\overline{E} \bullet \overline{J} \) puede representar ya sea disipación de potencia o una fuente de alimentación, ambas denotadas por P _d. Si\(\overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}} \), entonces\( \mathrm{P}_{\mathrm{d}}=\sigma|\overline{\mathrm{E}}|^{2} \ \left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-3}\right]\), donde σ es la conductividad del medio, como se discutirá más adelante en la Sección 3.1.2. Para resumir:

\[ P_{d}=\overline{J} \bullet \overline{E} \ \left[W m^{-3}\right] \quad\quad\quad\quad\quad(\text {power dissipation density})\]

\[\mathrm{W}_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2} \varepsilon|\overline{\mathrm{E}}|^{2}\ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-3}\right] \quad\quad\quad\quad\quad(\text {electric energy density}) \]

\[\mathrm{W}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} \mu|\overline{\mathrm{H}}|^{2} \ \left[\mathrm{J} \mathrm{m}^{-3}\right] \quad\quad\quad\quad\quad(\text { magnetic energy density }) \]

Así podemos escribir el teorema de Poynting en una forma más simple:

\[\nabla \bullet(\overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}})+\overline{\mathrm{E}} \bullet \overline{\mathrm{J}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{t}}\left(\mathrm{W}_{\mathrm{e}}+\mathrm{W}_{\mathrm{m}}\right)=0 \ \left[\mathrm{Wm}^{-3}\right] \quad \quad \quad \quad \quad \text { (Poynting theorem) } \]

sugiriendo que la suma de la divergencia de la potencia electromagnética asociada\( \overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}}\), la densidad de potencia disipada y la tasa de aumento de la densidad de almacenamiento de energía debe ser igual a cero.

La interpretación física de\( \nabla \bullet(\overline{E} \times \overline{H})\) se ve mejor aplicando el teorema de divergencia de Gauss para producir la forma integral del teorema de Poynting:

\[\oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}}) \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}+\int \int _{\mathrm{V}} \overline{\mathrm{E}} \bullet \overline{\mathrm{J}} \mathrm{d} \mathrm{v}+(\partial / \partial \mathrm{t}) \int \int \int_{\mathrm{V}} \frac{1}{2}(\overline{\mathrm{E}} \bullet \overline{\mathrm{D}}+\overline{\mathrm{H}} \bullet \overline{\mathrm{B}}) \mathrm{d} \mathrm{v}=0 \ [\mathrm{W}] \]

que también puede representarse como:

\[ \oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}}) \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}+\mathrm{p}_{\mathrm{d}}+\frac{\partial}{\partial \mathrm{t}}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{e}}+\mathrm{w}_{\mathrm{m}}\right)=0 \ [\mathrm{W}] \quad \quad \quad \quad \quad \text { (Poynting theorem) }\]

Con base en (2.7.8) y conservación de la energía (1.1.6) es natural asociarse\( \overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-2}\right]\) con la densidad de potencia instantánea de una onda electromagnética caracterizada por\(\overline{\mathrm{E}} \ \left[\mathrm{V} \mathrm{m}^{-1}\right] \) y\(\overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}\right] \). Este producto se define como el overlinetor Poynting:

\[ \overline{\mathrm{S}} \equiv \overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{Wm}^{-2}\right] \quad\quad\quad\quad\quad \text { (Poynting overlinetor) }\]

La intensidad instantánea de onda electromagnética de una onda plana uniforme. Así, el teorema de Poynting dice que la integral del componente interno del overlinetor Poynting sobre la superficie de cualquier volumen V es igual a la suma de la potencia disipada y la tasa de almacenamiento de energía aumenta dentro de ese volumen.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Encontrar\(\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\) y\( \langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle\) para una onda plana uniforme que tiene\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) \). Encuentra las densidades de energía eléctrica y magnética W _e (t, z) y W _m (t, z) para la misma onda; ¿cómo se relacionan?

Solución

\(\overline{\mathrm{H}}=\hat{z} \times \overline{\mathrm{E}} / \eta_{\mathrm{o}}=\hat{y} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) / \eta_{\mathrm{o}} \)donde\(\eta_{\mathrm{o}}=\left(\mu_{\mathrm{o}} / \varepsilon_{\mathrm{o}}\right)^{0.5} \). \( \overline{\mathrm{S}}=\overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}}=\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} \cos ^{2}(\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) / \eta_{\mathrm{o}}\)y\( \langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle=\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}} \ \left[\mathrm{Wm}^{-2}\right]\). \( \mathrm{W}_{\mathrm{e}}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} \cos ^{2}(\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) / 2 \ \left[\mathrm{Jm}^{-3}\right]\)y\( \mathrm{W}_{\mathrm{m}}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} \cos ^{2}(\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) / 2 \eta_{\mathrm{o}}^{2}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} \cos ^{2}(\omega \mathrm{t}-\mathrm{kz}) / 2=\mathrm{W}_{\mathrm{e}}(\mathrm{t}, \mathrm{z})\); las densidades de energía eléctrica y magnética varían juntas en el espacio y el tiempo y son iguales para una sola onda plana uniforme.

Teorema de Poynting complejo y definición de potencia y energía complejas

Desafortunadamente no podemos aplicar ciegamente a la potencia y la energía nuestro protocolo de conversión estándar entre representaciones de dominio de frecuencia y dominio de tiempo porque ya no tenemos una sola frecuencia presente. La potencia armónica de tiempo y la energía involucran los productos de sinusoides y, por lo tanto, exhiben frecuencias de suma y diferencia Más explícitamente, no podemos simplemente representar el overlinetor Poynting\( \overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\) para un campo a la frecuencia f [Hz]\(\operatorname{Re}\left\{\overline{\mathrm{\underline{S}}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\} \) porque la potencia tiene componentes tanto en f = 0 como 2f Hz, donde ω = 2\(\pi\) f. Sin embargo, podemos usar la conveniencia de la notación armónica de tiempo restringiéndola a campos, voltajes, y corrientes mientras representan sus productos, es decir, la potencia y la energía, sólo por sus promedios complejos.

Para comprender las definiciones de potencia y energía complejas, considere el producto de dos sinusoides, a (t) y b (t), donde:

\[\mathrm{a}(\mathrm{t})=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{A}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \alpha} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{A} \cos (\omega \mathrm{t}+\alpha), \quad \mathrm{b}(\mathrm{t})=\mathrm{B} \cos (\omega \mathrm{t}+\beta) \]

\[\mathrm{a}(\mathrm{t}) \mathrm{b}(\mathrm{t})=\mathrm{AB} \cos (\omega \mathrm{t}+\alpha) \cos (\omega \mathrm{t}+\beta)=(\mathrm{AB} / 2)[\cos (\alpha-\beta)+\cos (2 \omega \mathrm{t}+\alpha+\beta)] \]

donde usamos la identidad\( \cos \gamma \cos \theta=[\cos (\gamma-\theta)+\cos (\gamma+\theta)] / 2\). Si tenemos tiempo promedio (2.7.14) a lo largo de un ciclo completo, representado por el operador <• >, entonces el último término se convierte en cero, dejando:

\[ \langle\mathrm{a}(\mathrm{t}) \mathrm{b}(\mathrm{t})\rangle=\frac{1}{2} \mathrm{AB} \cos (\alpha-\beta)=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{Ae}^{\mathrm{j} \alpha} \mathrm{Be}^{-\mathrm{j} \beta}\right\}=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{A}} \underline{\mathrm{B}}^{*}\right\}\]

Al tratar cada uno de los componentes x, y y z por separado, podemos demostrar fácilmente que (2.7.15) se puede extender a sobrelineadores:

\[ \langle\overline{A}(t) \bullet \overline{B}(t)\rangle=\frac{1}{2} R_{e}\left\{\overline{\underline{A}} \bullet \overline{\underline{B}}^{*}\right\}\]

El promedio de tiempo del overlinetor de Poynting\( \overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})=\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{t}) \times \overline{\mathrm{H}}(\mathrm{t})\) es:

\[\langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\overline{\mathrm{\underline{E}}} \times \overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*}\right\}=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\{\overline{\mathrm{\underline{S}}}\}\left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right] \quad \quad \quad \quad \quad\text { (Poynting average power density) } \]

donde definimos el complejo sobrelineador de Poynting como:

\[\overline{\mathrm{\underline{S}}}=\overline{\mathrm{\underline{E}}} \times \overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*}\left[\mathrm{W} \mathrm{m}^{-2}\right] \quad\quad\quad\quad\quad(\text { complex Poynting overlinetor}) \]

Tenga en cuenta que\(\overline{\mathrm{\underline{S}}} \) es complejo y puede ser puramente imaginario. Su densidad de potencia promedio viene dada por (2.7.17).

Podemos volver a derivar el teorema de Poynting para inferir el significado físico de este complejo sobrelineador, partiendo de las complejas ecuaciones de Maxwell:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{E}}=-\mathrm{j} \omega \overline{\mathrm{\underline{B}}} \quad \quad \quad \quad \quad \text { (Faraday's law) } \]

\[\nabla \times \overline{\underline{H}}=\underline{\overline{\mathbf{J}}}+j \omega \overline{\underline{D}} \quad \quad \quad \quad \quad \text { (Ampere's law) } \]

Para ver cómo el poder disipado promedio en el tiempo,\( \overline{E} \bullet \underline{\overline{J}}^{*} / 2\) se relaciona con otros términos, calculamos el producto puntual\( \overline{\mathrm{\underline{E}}}\) y el complejo conjugado de la ley de Ampere, y lo restamos del producto puntual de\( \overline{\underline{H}}^{*}\) y la ley de Faraday para producir:

\[\overline{\underline{H}}^{*} \bullet(\nabla \times \overline{\underline{E}})-\overline{\underline{E}} \bullet\left(\nabla \times \overline{\underline{H}}^{*}\right)=-j \omega \overline{\underline{H}}^{*} \bullet \overline{\underline{B}}-\overline{\underline{E}} \bullet \overline{\underline{J}}^{*}+j \omega \overline{\underline{E}} \bullet \overline{\underline{D}}^{*} \]

Usando la identidad de overlinetor en (2.7.4), obtenemos de (2.7.21) la forma diferencial del teorema de Poynting complejo:

\[ \nabla \bullet\left(\overline{\mathrm{\underline{E}}} \times \overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*}\right)=-\overline{\mathrm{\underline{E}}} \bullet \overline{\underline{\mathrm{J}}}^{*}-\mathrm{j} \omega\left(\overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*} \bullet \overline{\mathrm{\underline{B}}}-\overline{\mathrm{\underline{E}}} \bullet \overline{\mathrm{\underline{D}}}^{*}\right) \quad(\text { complex Poynting theorem })\]

La forma integral del teorema de Poynting complejo se desprende de la forma diferencial compleja como lo hizo en el dominio del tiempo, utilizando el teorema de divergencia de Gauss. La forma integral de (2.7.22), análoga a (2.7.10), es por lo tanto:

\[\oiint_{\mathrm{A}}\left(\overline{\mathrm{\underline{E}}} \times \overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*}\right) \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a}+\int \int \int_{\mathrm{V}}\left\{\overline{\mathrm{\underline{E}}} \bullet \underline{\mathrm{\overline{J}}}^{*}+\mathrm{j} \omega\left(\overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*} \bullet \overline{\mathrm{\underline{B}}}-\overline{\mathrm{\underline{E}}} \bullet \overline{\mathrm{\underline{D}}}^{*}\right)\right\} \mathrm{d} \mathrm{v}=0 \]

Podemos interpretar el teorema de Poynting complejo en términos de cantidades físicas utilizando (2.7.17) y expresando la forma integral del teorema de Poynting complejo como:

\[ \frac{1}{2} \oiint_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{\underline{S}}} \bullet \hat{n} \mathrm{da}+\frac{1}{2} \int \int \int_{\mathrm{V}}\left[\overline{\mathrm{\underline{E}}} \bullet \underline{\mathrm{\overline{J}}}^{*}+2 \mathrm{j} \omega\left(\underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{m}}-\underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{e}}\right)\right] \mathrm{d} \mathrm{v}=0\]

donde las densidades de energía complejas y la densidad de potencia promedio en el tiempo disipada P _d son:

\[ \underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*} \bullet \overline{\mathrm{B}}=\frac{1}{2} \underline{\mu}|\overline{\mathrm{\underline{H}}}|^{2}\ \left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right]\]

\[ \underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{\underline{E}}} \bullet \overline{\underline{\mathrm{D}}}^{*}=\frac{1}{2} \underline{\varepsilon}|\overline{\mathrm{\underline{E}}}|^{2}\ \left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right]\]

\[P_{d}=\frac{1}{2} \sigma|\overline{\underline{E}}|^{2}+\int \int \int_{V} 2 \omega I_{m}\left[\underline{W}_{e}-\underline{W}_{m}\right] d v \equiv\left[W / m^{3}\right] \]

Recordamos que la densidad instantánea de energía magnética W _m (t) es\( \mu|\overline{\mathrm{H}}|^{2} / 2 \ \left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right]\) de (2.7.8), y que su promedio de tiempo se\(\mu|\overline{\mathrm{\underline{H}}}|^{2} / 4 \) debe a que su densidad máxima es\( \mu|\overline{\mathrm{H}}|^{2} / 2\) y varía sinusoidalmente a 2f Hz. Si\(\overline{\mathrm{\underline{B}}}=\underline{\mu} \overline{\mathrm{\underline{H}}}=\left(\mu_{\mathrm{r}}+\mathrm{j} \mu_{\mathrm{i}}\right) \overline{\mathrm{\underline{H}}} \) y\(\overline{\underline{D}}=\underline{\varepsilon} \overline{\underline{E}}=\left(\varepsilon_{\mathrm{r}}+\mathrm{j} \varepsilon_{\mathrm{i}}\right) \overline{\underline{\mathrm{E}}} \), entonces (2.7.25) - (2.5.27) se convierten en:

\[\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{m}}(\mathrm{t})\right\rangle=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{m}}\right\}=\frac{1}{4} \mu_{\mathrm{r}}|\overline{\mathrm{\underline{H}}}|^{2}\left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right] \quad \quad \quad \quad \quad \text { (magnetic energy density) } \]

\[\left\langle\mathrm{W}_{\mathrm{e}}(\mathrm{t})\right\rangle=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{e}}\right\}=\frac{1}{4} \varepsilon_{\mathrm{r}}|\overline{\mathrm{\underline{E}}}|^{2}\left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right] \quad \quad \quad \quad \quad \text { (electric energy density) } \]

\[\mathrm{P}_{\mathrm{d}}=\frac{1}{2} \sigma|\overline{\mathrm{\underline{E}}}|^{2}+\int \int \int_{\mathrm{V}} 2 \omega \mathrm{I}_{\mathrm{m}}\left[\underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{e}}-\underline{\mathrm{W}}_{\mathrm{m}}\right] \mathrm{d} \mathrm{v} \equiv\left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{3}\right] \quad \quad \quad \quad \quad (\text { power dissipation density })\]

Ahora podemos interpretar el significado físico del complejo overlinetor Poynting\(\overline{\underline{S}} \) replanteando la parte real de (2.7.24) como la cantidad promedio de tiempo:

\[ \mathrm{p}_{\mathrm{r}}+\mathrm{p}_{\mathrm{d}}=0 \ [\mathrm{W}]\]

donde la potencia total promedio en el tiempo irradiada hacia afuera a través del área de superficie A es:

\[ \mathrm{p}_{\mathrm{r}}=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}} \oiint_{\mathrm{A}}\{\overline{\mathrm{\underline{S}}} \bullet \hat{n}\} \mathrm{da} \ [\mathrm{W}]\]

como también lo da (2.7.17), y pd es la potencia promedio en el tiempo disipada [W] dentro del volumen V, según lo dado por (2.7.27). Por lo tanto, la densidad de flujo o la intensidad de potencia radiada promedio en el tiempo [W/m ²] es\(P_{r}=0.5 R_{e}[\overline{\underline{S}}] \). Tenga en cuenta que la potencia disipada p _d puede ser negativa si hay una fuente externa o interna (por ejemplo, una batería) que suministra energía al volumen; se representa por contribución negativa a\(\overline{\underline{E}} \bullet \overline{\underline{J}}^* \). La parte imaginaria de la radiación (2.7.24) se convierte en:

\[\oiint_{\mathrm{A}} \mathrm{I}_{\mathrm{m}}[\overline{\mathrm{\underline{S}}} \bullet \hat{n}] \mathrm{d} \mathrm{a}+\int \int \int_{\mathrm{V}}\left(\mathrm{I}_{\mathrm{m}}\left\{\overline{\mathrm{\underline{E}}} \bullet \underline{\mathrm{J}}^{*}\right\}+4 \omega\left[\left\langle\mathrm{w}_{\mathrm{m}}(\mathrm{t})\right\rangle-\left\langle\mathrm{w}_{\mathrm{e}}(\mathrm{t})\right\rangle\right]\right) \mathrm{d} \mathrm{v}=0 \ [\mathrm{W}] \]

La integral superficial sobre A de la parte imaginaria del overlinetor Poynting es la potencia reactiva, que simplemente se relaciona por (2.7.33) con la diferencia entre las energías magnéticas y eléctricas promedio almacenadas en el volumen V y con cualquier reactancia asociada con\(\overline J\).

Potencia y energía en ondas planas uniformes

Considere la onda plana armónica de tiempo uniforme que propaga +z de (2.3.1—2), donde:

\[ \overline{\mathrm{E}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\mathrm{z}-\mathrm{ct}) \ [\mathrm{V} / \mathrm{m}]\]

\[\overline{\mathrm{H}}(\overline{\mathrm{r}}, \mathrm{t})=\hat{y} \sqrt{\frac{\varepsilon_{\mathrm{o}}}{\mu_{\mathrm{o}}}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos (\mathrm{z}-\mathrm{ct}) \ \left[\mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}\right] \]

La densidad de flujo para esta onda viene dada por el overlinetor Poynting\(\overline S\) (t) (2.7.12):

\[\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})=\overline{\mathrm{E}} \times \overline{\mathrm{H}}=\hat{z} \frac{\mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2}}{\eta_{\mathrm{o}}} \cos ^{2}(\mathrm{z}-\mathrm{ct}) \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right] \]

donde la impedancia característica del espacio libre es\(\eta_{0}=\sqrt{\mu_{0} / \varepsilon_{0}} \) ohmios (2.2.19). El promedio de tiempo de\(\overline S\) (t) en (2.7.36) es\(\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} / 2 \eta_{\mathrm{o}} \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right] \).

Las densidades de energía eléctrica y magnética para esta onda se pueden encontrar en (2.7.7—8):

\[ \mathrm{W}_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2} \varepsilon|\overline{\mathrm{E}}|^{2}=\frac{1}{2} \varepsilon_{0} \mathrm{E}_{0}^{2} \cos ^{2}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})\left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right] \qquad\qquad\quad \text { (electric energy density) }\]

\[\mathrm{W}_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2} \mu|\overline{\mathrm{H}}|^{2}=\frac{1}{2} \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} \cos ^{2}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})\left[\mathrm{J} / \mathrm{m}^{3}\right] \qquad \qquad \quad(\text { magnetic energy density }) \]

Obsérvese que estas dos densidades de energía, W _e y W _m, son iguales, no negativas y sinusoidales en comportamiento al doble de la frecuencia espacial k = 2\(\pi\)/\(\lambda\)[radianes/m] de la onda subyacente, donde cos ² (z - ct) = 0.5 [1 + cos 2 (z - ct)], como se ilustra en la Figura 2.7.1 ; su frecuencia f [Hz] es también el doble que la de la onda subyacente. Tienen la misma forma de espacio/tiempo que la densidad de flujo, excepto con una magnitud diferente.

Los campos eléctricos y magnéticos complejos correspondientes a (2.7.34—5) son:

\[\overline{\mathrm{\underline{E}}}(\overline{\mathrm{r}})=\hat{x} \mathrm{\underline{E}}_{\mathrm{o}} \ [\mathrm{V} / \mathrm{m}] \]

\[\overline{\mathrm{\underline{H}}}(\overline{\mathrm{r}})=\hat{y} \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{o}} / \mu_{\mathrm{o}}} \mathrm{\underline{E}}_{\mathrm{o}} \ \left[\mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}\right] \]

Las partes real e imaginaria de la potencia compleja para esta onda plana uniforme indican el promedio de tiempo y las potencias reactivas, respectivamente:

\[\langle\overline{\mathrm{S}}(\mathrm{t})\rangle=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}[\overline{\mathrm{\underline{S}}}]=\frac{1}{2} \mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left[\overline{\mathrm{\underline{E}}} \times \overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*}\right]=\hat{z} \frac{1}{2 \eta_{\mathrm{o}}}\left|\overline{\mathrm{\underline{E}}}_{\mathrm{o}}\right|^{2}=\hat{z} \frac{1}{2} \eta_{\mathrm{o}}\left|\overline{\mathrm{\underline{H}}}_{\mathrm{o}}\right|^{2} \ \left[\mathrm{W} / \mathrm{m}^{2}\right] \]

\[ \mathrm{I}_{\mathrm{m}}\{\overline{\mathrm{\underline{S}}}(\overline{\mathrm{r}})\}=\mathrm{I}_{\mathrm{m}}\left\{\overline{\mathrm{\underline{E}}} \times \overline{\mathrm{\underline{H}}}^{*}\right\}=0\]

Si dos ondas planas superpuestas se propagan en direcciones opuestas con la misma polarización, entonces la parte imaginaria del overlinetor Poynting suele ser distinta de cero. La potencia reactiva positiva que fluye hacia un volumen generalmente se asocia con un exceso de almacenamiento de energía magnética promedio en el tiempo sobre el almacenamiento de energía eléctrica en ese volumen, y viceversa, con una entrada de energía reactiva negativa correspondiente al exceso de almacenamiento de energía eléctrica.

Figura\(\PageIndex{1}\): Campo eléctrico, almacenamiento eléctrico y magnético, e intensidad de onda para una onda plana uniforme.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Dos ondas planas polarizadas x iguales se propagan a lo largo del eje z en direcciones opuestas de tal manera que\( \overline E \) (t) = 0 en z = 0 para todos los tiempos t ¿Qué es\(\underline{\mathrm{\overline S}}(\mathrm{z})\)?

Solución

\(\overline{\mathrm{\underline{E}}}(\mathrm{z})=\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{jkz}}-\mathrm{e}^{+\mathrm{jkz}}\right)=0\)a z = 0; y\(\overline{\mathrm{\underline{H}}}(\mathrm{z})=\hat{y}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \mathrm{\eta}_{\mathrm{o}}\right)\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} \mathrm{k} \mathrm{z}}+\mathrm{e}^{+\mathrm{j} \mathrm{k} \mathrm{z}}\right)\), entonces\(\overline{\underline{S}}=\overline{\underline{E}} \times \underline{\overline{H}}^{*}=\hat{z}\left(E_{\mathbf{o}}^{2} / \eta_{\mathbf{o}}\right)\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{j} 2 \mathrm{k} \mathbf{z}}-\mathrm{e}^{+\mathrm{j} 2 \mathrm{k} \mathbf{z}}\right)=-\hat{z} 2 \mathrm{j}\left(\mathrm{E}_{\mathrm{o}}^{2} / \eta_{\mathrm{o}}\right) \sin (2 \mathrm{kz})\). \(\underline{\overline{S}}\)es imaginario puro y varía sinusoidalmente a lo largo de z entre la potencia reactiva inductiva y capacitiva, con nulos a intervalos de\(\lambda\) /2.