3.1: Resistencias y Capacitores

Introducción

Una aplicación importante del análisis de campo electromagnético es a componentes electrónicos simples como resistencias, condensadores e inductores, todos los cuales exhiben a frecuencias más altas características de los demás. Dichas estructuras pueden analizarse en términos de su: 1) comportamiento estático, para lo cual podemos establecer /t = 0 en las ecuaciones de Maxwell, 2) comportamiento cuasistático, para lo cual /t no es despreciable, pero descuidamos términos del orden 2 /t ², y 3) comportamiento dinámico, para lo cual términos del orden de 2 /t ² tampoco son despreciables; en el caso dinámico las longitudes de onda de interés ya no son grandes en comparación con las dimensiones del dispositivo. Debido a que la mayoría de estos dispositivos tienen geometrías cilíndricas o planas, como se analiza en las Secciones 1.3 y 1.4, sus campos y comportamiento generalmente se entienden fácilmente. Esta comprensión puede ser extrapolada a estructuras más complejas.

Un enfoque para analizar estructuras simples es revisar las restricciones básicas impuestas por la simetría, las ecuaciones de Maxwell y las condiciones de contorno, y luego plantear la hipótesis de los campos eléctricos y magnéticos que resultarían. Estas hipótesis pueden entonces ser probadas para verificar su consistencia con cualquier restricción restante que no se haya invocado ya. Para ilustrar este enfoque, las resistencias, capacitores e inductores con formas simples se analizan en las Secciones 3.1—2 a continuación.

Todos los elementos físicos presentan diversos grados de resistencia, inductancia y capacitancia, dependiendo de la frecuencia. Esto se debe a que: 1) esencialmente todos los materiales conductores exhiben cierta resistencia, 2) todas las corrientes generan campos magnéticos y por lo tanto contribuyen a la inductancia, y 3) todas las diferencias de voltaje generan campos eléctricos y por lo tanto contribuyen capacitancia. Las R, las L y las C están diseñadas para exhibir solo una propiedad dominante a bajas frecuencias. La Sección 3.3 discute ejemplos simples de comportamiento ambivalente del dispositivo como cambios de frecuencia.

La mayoría de los componentes electrónicos pasivos tienen dos o más terminales donde se pueden medir los voltajes. La diferencia de voltaje entre dos terminales cualesquiera de un dispositivo pasivo generalmente depende de los historiales de las corrientes a través de todos los terminales. Los dispositivos de dos terminales lineales pasivos comunes incluyen resistencias, inductores y condensadores (R, L's. y C, respectivamente), mientras que los transformadores son comúnmente dispositivos de tres o cuatro terminales. Los dispositivos con aún más terminales a menudo se caracterizan simplemente como redes de N puertos. Los conjuntos conectados de tales dispositivos lineales pasivos forman circuitos lineales pasivos que pueden analizarse utilizando los métodos descritos en la Sección 3.4. Los resonadores RLC y los circuitos de relajación RL y RC son más relevantes aquí porque su física y comportamiento se asemejan a los de los sistemas electromagnéticos comunes. Los resonadores RLC se tratan en la Sección 3.5, y los circuitos RL, RC y LC son casos limitantes cuando uno de los tres elementos se vuelve insignificante.

Resistencias

Las resistencias son dispositivos lineales pasivos de dos terminales caracterizados por su resistencia R [ohmios]:

\[ \mathrm{v}=\mathrm{iR}\]

donde v (t) e i (t) son el voltaje y la corriente asociados. Es decir, un voltio a través de una resistencia de un ohmio induce una corriente de un amperio a través de ella; esto define el ohmio.

La resistencia ilustrada en la Figura 3.1.1 está compuesta por dos placas terminales paralelas perfectamente conductoras entre las cuales se coloca un medio de conductividad σ, permitividad ε, permeabilidad μ y espesor d; las dos placas terminales y el medio tienen todas un área transversal constante A [m ²] en el x-y avión. Supongamos que existe un voltaje estático v a través de la resistencia R, y que una corriente i fluye a través de ella.

Figura\(\PageIndex{1}\): Resistencia simple.

Las condiciones límite requieren que el campo eléctrico\(\overline E\) en cualquier placa perfectamente conductora sea perpendicular a él [ver (2.6.16);\(\overline{\mathrm{E}} \times \hat{n}=0\)], y la ley de Faraday requiere que cualquier integral de línea\(\overline E\) de una placa de extremo iso-potencial a la otra debe ser igual al voltaje v independientemente de la trayectoria de integración (1.3.13). Debido a que la conductividad σ [Siemens/m] es uniforme dentro de paredes paralelas a\(\hat{z}\), estas restricciones son satisfechas por un campo eléctrico uniforme estático\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\) en todas partes dentro del medio conductor, que estaría libre de carga ya que nuestro supuesto no\(\overline E\) es divergente. Así:

\[ \int_{0}^{\mathrm{d}} \overline{\mathrm{E}} \bullet \hat{z} \mathrm{d} z=\mathrm{E}_{0} \mathrm{d}=\mathrm{v}\]

donde\( \mathrm{E}_{\mathrm{o}}=\mathrm{v} / \mathrm{d}\left[\mathrm{Vm}^{-1}\right]\).

Tal campo eléctrico dentro del medio conductor induce una densidad de corriente\(\overline J\), donde:

\[ \overline{\mathrm{J}}=\sigma \overline{\mathrm{E}}\left[\mathrm{Am}^{-2}\right]\]

La corriente total i que fluye es la integral de\(\overline{\mathrm{J}} \bullet \hat{z} \) la sección transversal A del dispositivo, de manera que:

\[\mathrm{i}=\int \int_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{J}} \bullet \hat{z} \mathrm{d} \mathrm{x} \mathrm{d} \mathrm{y}=\int \int_{\mathrm{A}} \sigma \overline{\mathrm{E}} \bullet \hat{z} \mathrm{d} \mathrm{x} \mathrm{d} \mathrm{y}=\int \int_{\mathrm{A}} \sigma \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \mathrm{d} \mathrm{x} \mathrm{d} \mathrm{y}=\sigma \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \mathrm{A}=\mathrm{v} \sigma \mathrm{A} / \mathrm{d} \]

Pero i = V/r desde (3.1.1), y por lo tanto la resistencia estática de una resistencia plana simple es:

\[\mathrm{R}=\mathrm{v} / \mathrm{i}=\mathrm{d} / \sigma \mathrm{A}\ [\mathrm{ohms}]\]

La potencia instantánea p [W] disipada en una resistencia es i ² R = v ² /R, y la potencia promedio en el tiempo disipada en el estado estacionario sinusoidal es de\(|\mathrm{\underline{I}}|^{2} \mathrm{R} / 2=|\mathrm{\underline{V}}|^{2} / 2 \mathrm{R} \) vatios. Alternativamente, la densidad de potencia instantánea local se\( \) puede integrar sobre el volumen de la resistencia para producir la potencia instantánea total disipada:

\[ \]

cual es la respuesta esperada, y donde usamos (2.1.17):\( \).

Las cargas superficiales residen en las placas terminales donde el campo eléctrico es perpendicular al conductor perfecto. La condición límite\( \) sugiere que la densidad de carga superficial ρs en la cara positiva de la placa final adyacente al medio conductor es:

\[ \]

La carga estática total Q en la placa final del resistor positivo es, por lo tanto, ρSA culombios. Por convención, el subíndice s distingue la densidad de carga superficial ρ _s [C m ^-2] de la densidad de carga volumétrica ρ [C m ^-3]. Una carga superficial negativa igual reside en la otra placa de extremo. El total almacenado cargado Q = ρ _s A = CV, donde C es la capacitancia del dispositivo, como se discute más adelante en la Sección 3.1.3.

Las corrientes estáticas y los voltajes en esta resistencia producirán campos fuera de la resistencia, pero estos no producen corriente o voltaje adicional en los terminales del dispositivo y no son de preocupación inmediata aquí. De igual manera, μ y ε no afectan el valor estático de R. A frecuencias más altas, sin embargo, esta resistencia R varía y aparecen tanto la inductancia como la capacitancia, como se muestra en las siguientes tres secciones. Aunque esta solución estática para carga, corriente y campo eléctrico dentro de la porción conductora de la resistencia satisface las ecuaciones de Maxwell, una solución completa también probaría singularidad y consistencia con\(\overline H\) las ecuaciones de Maxwell fuera del dispositivo. La singularidad es abordada por el teorema de singularidad en la Sección 2.8, y los enfoques para encontrar campos para geometrías arbitrarias de dispositivos se discuten brevemente en las Secciones 4.4—6.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Diseñe una práctica resistencia de 100 ohmios. Si la disipación térmica fuera un problema, ¿cómo podría eso cambiar el diseño?

Solución

^{Resistencia R = D/σA (3.1.5), y si elegimos arbitrariamente una forma cilíndrica clásica con longitud de resistencia d = 4r, donde r es el radio, entonces A =\(\pi\) r 2 =\(\pi\) d 2/16 y R = 16/\(\pi\) dσ = 100.} Las resistencias discretas son más pequeñas para los circuitos compactos modernos de baja potencia, por lo que podríamos establecer d = 1 mm, produciendo σ = 16/\(\pi\) dR = 16/ (\(\pi\)10 ^-3 ×100) 51 S m ^-1. Dichas conductividades corresponden aproximadamente, por ejemplo, al agua muy salada o al polvo de carbono. Sin embargo, el área superficial de la resistencia debe ser suficiente para disipar la potencia máxima esperada. Las resistencias planas unidas térmicamente a un disipador de calor pueden ser más pequeñas que los dispositivos refrigerados por aire, y estas a menudo están hechas de película metálica delgada. Algunas resistencias son cables largos enrollados en bobinas. La falla de la resistencia a menudo ocurre donde la resistencia local es ligeramente mayor, y el calor resultante generalmente aumenta aún más la resistencia local, causando aún más calentamiento local.

Capacitores

Los capacitores son dispositivos lineales pasivos de dos terminales que almacenan la carga Q y se caracterizan por su capacitancia C [Faradios], definidos por:

\[\mathrm{Q}=\mathrm{Cv} \ [\text { Coulombs }]\]

donde v (t) es el voltaje a través del condensador. Es decir, un voltio estático a través de un condensador de un farad almacena un Coulomb en cada terminal, como se analiza más adelante; esto define el Farad [Coulombs por voltio].

La estructura resistiva ilustrada en la Figura 3.1.1 se convierte en un condensador puro a bajas frecuencias si la conductividad del medio σ → 0. Aunque algunos capacitores están llenos de aire con ε ε _o, generalmente se usa relleno dieléctrico con permitividad ε > ε _o. Los valores típicos para la constante dieléctrica ε/ε _o utilizada en los condensadores son ~1-100. En todos los casos, las condiciones límite requieren nuevamente que el campo eléctrico E sea perpendicular a las placas terminales perfectamente conductoras, es decir, que esté en la dirección ±z, y la ley de Faraday requiere que cualquier integral de línea de E de una placa de extremo iso-potencial a la otra debe ser igual al voltaje v a través del condensador. Estas restricciones son satisfechas nuevamente por un campo eléctrico uniforme estático\(\overline{\mathrm{E}}=\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\) dentro del medio que separa las placas, que es uniforme y libre de carga.

Descuidaremos temporalmente los efectos de todos los campos producidos fuera del condensador si su separación de placas d es pequeña en comparación con su diámetro, una configuración común. Así E _o = v/d [V m ^-1] (3.1.2). La densidad de carga superficial en la cara positiva de la placa terminal adyacente al medio conductor es σ _s = εE _o [C m ^-2], y la carga estática total Q en la placa final positiva del área A es, por lo tanto:

\[\mathrm{Q}=\mathrm{A} \sigma_{\mathrm{s}}=\mathrm{A} \varepsilon \mathrm{E}_{\mathrm{o}}=\mathrm{A} \varepsilon \mathrm{v} / \mathrm{d}=\mathrm{Cv}\ [\mathrm{C}] \]

Por lo tanto, para un condensador de placa paralela:

\[ \mathrm{C}=\varepsilon \mathrm{A} / \mathrm{d} \ [\text { Farads }] \qquad \qquad\quad \text{(parallel-plate capacitor) }\]

Usando (3.1.2) y el hecho de que la carga Q (t) en la placa positiva es la integral de tiempo de la corriente i (t) en ella, obtenemos la relación entre voltaje y corriente para un condensador:

\[\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{Q}(\mathrm{t}) / \mathrm{C}=(1 / \mathrm{C}) \int_{-\infty}^{\mathrm{t}} \mathrm{i}(\mathrm{t}) \mathrm{d} \mathrm{t} \]

\[ \mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{C} \mathrm{dv}(\mathrm{t}) / \mathrm{d} \mathrm{t}\]

Cuando dos condensadores están conectados en paralelo como se muestra en la Figura 3.1.2, son equivalentes a un solo condensador de valor C _eq que almacena la carga Q _eq, donde estos valores se encuentran fácilmente en términos de las cargas (Q ₁, Q ₂) y capacitancias (C ₁, C ₂) asociados con los dos dispositivos separados.

Figura\(\PageIndex{2}\): Capacitores en paralelo.

Debido a que la carga total Q _eq es la suma de las cargas en los dos condensadores separados, y los condensadores en paralelo tienen el mismo voltaje v, se deduce que:

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{eq}}=\mathrm{Q}_{1}+\mathrm{Q}_{2}=\left(\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2}\right) \mathrm{v}=\mathrm{C}_{\mathrm{eq}} \mathrm{v} \]

\[\mathrm{C}_{\mathrm{eq}}=\mathrm{C}_{1}+\mathrm{C}_{2} \qquad\qquad\quad \text { (capacitors in parallel) } \]

Figura\(\PageIndex{3}\): Capacitores en serie.

Cuando dos condensadores están conectados en serie, como se ilustra en la Figura 3.1.3, entonces sus dos cargas _Q1 y _Q2 permanecen iguales si eran iguales antes de que la corriente i (t) comenzara a fluir, y el voltaje total es la suma de los voltajes a través de cada condensador:

\[\mathrm{C}_{\mathrm{eq}}^{-1}=\mathrm{v} / \mathrm{Q}=\left(\mathrm{v}_{1}+\mathrm{v}_{2}\right) / \mathrm{Q}=\mathrm{C}_{1}^{-1}+\mathrm{C}_{2}^{-1} \qquad\qquad\quad \text { (capacitors in series) } \]

La densidad instantánea de energía eléctrica W _e [J m ^-3] entre las placas del condensador viene dada por el teorema de Poynting:\(\mathrm{W}_{\mathrm{e}}=\varepsilon|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2 \) (2.7.7). La energía eléctrica total w _e almacenada en el condensador es la integral de W _e sobre el volumen Ad del dieléctrico:

\[ \mathrm{w}_{\mathrm{e}}=\int \int \int_{\mathrm{V}}\left(\varepsilon|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2\right) \mathrm{d} \mathrm{v}=\varepsilon \mathrm{Ad}|\overline{\mathrm{E}}|^{2} / 2=\varepsilon \mathrm{Av}^{2} / 2 \mathrm{d}=\mathrm{Cv}^{2} / 2 \ [J]\]

La expresión correspondiente para la energía promedio en el tiempo almacenada en un condensador en el estado estacionario sinusoidal es:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{e}}=\mathrm{C}|\underline{\mathrm{J}}|^{2} / 4 \ [V] \]

El factor extra de dos relativo a (3.1.9) entra porque el promedio de tiempo de un sinsuoide cuadrado es la mitad de su valor pico.

Para probar (3.1.16) para cualquier condensador C, no sólo los dispositivos de placa paralela, podemos calcular\( \mathrm{w}_{\mathrm{e}}=\int_{0}^{\mathrm{t}} \mathrm{iv} \mathrm{dt}\) donde i = dq/dt y q = Cv Por lo tanto\(\mathrm{w}_{\mathrm{e}}=\int_{0}^{\mathrm{t}} \mathrm{C}(\mathrm{dv} / \mathrm{dt}) \mathrm{v} \mathrm{dt}=\int_{0}^{\mathrm{v}} \mathrm{Cv} \mathrm{d} \mathrm{v}=\mathrm{Cv}^{2} / 2 \) en general.

También podemos analizar otras geometrías de condensadores, como el condensador cilíndrico ilustrado en la Figura 3.1.4. El radio interior es “a”, el radio exterior es “b”, y la longitud es D; su interior tiene permitividad ε.

Figura\(\PageIndex{4}\): Capacitor cilíndrico.

El campo eléctrico nuevamente debe estar libre de divergencia y rizado en las regiones libres de carga entre los dos cilindros, y debe ser perpendicular a los cilindros interior y exterior en sus paredes perfectamente conductoras. La solución puede ser cilíndricamente simétrica e independiente de\(\phi\). Un campo eléctrico puramente radial tiene estas propiedades:

\[ \overline{\mathrm{E}}(\mathrm{r})=\hat{r} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \mathrm{r}\]

El potencial eléctrico\(\Phi\) (r) es la integral del campo eléctrico, por lo que la diferencia de potencial v entre los conductores interno y externo es:

\[\mathrm{v}=\Phi_{\mathrm{a}}-\Phi_{\mathrm{b}}=\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \frac{\mathrm{E}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{r}} \mathrm{dr}=\left.\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \ln \mathrm{r}\right|_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{b}}=\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \ln \left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right) \ [\mathrm{V}] \]

Este voltaje del condensador produce una densidad de carga superficial ρ _s en los conductores interno y externo, donde\(\rho_{\mathrm{s}}=\varepsilon \mathrm{E}=\varepsilon \mathrm{E}_{\mathrm{o}} / \mathrm{r}\). Si\(\Phi_{\mathrm{a}}>\Phi_{\mathrm{b}}\), entonces el cilindro interior está cargado positivamente, el cilindro exterior está cargado negativamente y Eo es positivo. La carga total Q en el cilindro interior es entonces:

\[\mathrm{Q}=\rho_{\mathrm{s}} 2 \pi \mathrm{aD}=\varepsilon \mathrm{E}_{\mathrm{o}} 2 \pi \mathrm{D}=\varepsilon \mathrm{v} 2 \pi \mathrm{D} /[\ln (\mathrm{b} / \mathrm{a})]=\mathrm{CC} \ [v] \]

Por lo tanto, este condensador cilíndrico tiene capacitancia C:

\[\mathrm{C}=\varepsilon 2 \pi \mathrm{D} /[\ln (\mathrm{b} / \mathrm{a})][F] \qquad \qquad \quad \text { (cylindrical capacitor) } \]

En el límite donde b/a → 1 y b - a = d, entonces tenemos aproximadamente un condensador de placa paralela con C → εA/d donde el área de placa A = 2\(\pi\) aD; ver (3.1.10).

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Diseñe un práctico condensador de 100 voltios de 10 ^-8 faradios (0.01 mfd) utilizando dieléctrico que tenga ε = 20ε _o y una intensidad de campo de ruptura E _B de 10 ⁷ [V m ^-1].

Solución

Para condensadores de placa paralela C = εA/d (3.1.10), y el voltaje de ruptura del dispositivo es E _B d = 100 [V]. Por lo tanto la separación de placas d = 100/E _B = 10 ^-5 [m]. Con un factor de seguridad de dos, d se duplica a 2×10 ^-5, por lo que A = DC/ε = 2×10 ^-5 × 10 ^-8/(20 × 6.85×10 ^-12) 1.5×10 ³ [m ²]. Si el condensador es un cubo del lado D, entonces el volumen del condensador es D ³ = Ad y D = (Ad) ^0.333 = (1.5×10 ^-3 × 2×10 ^-5) ^0.333 3.1 mm. Para simplificar la fabricación, dichos capacitores generalmente se enrollan en cilindros o se cortan a partir de láminas apiladas planas.