3.2: Inductores y Transformadores

Inductores solenoidales

Todas las corrientes en los dispositivos producen campos magnéticos que almacenan energía magnética y por lo tanto contribuyen a la inductancia en un grado que depende de la frecuencia. Cuando dos ramas de circuito comparten campos magnéticos, cada una inducirá típicamente una tensión en la otra, acoplando así las ramas para que formen un transformador, como se discute en la Sección 3.2.4.

Los inductores son dispositivos pasivos de dos terminales diseñados específicamente para almacenar energía magnética, particularmente a frecuencias por debajo de algún límite superior dependiente del diseño. Una geometría simple se muestra en la Figura 3.2.1 en la que la corriente i (t) fluye en un bucle a través de dos placas paralelas perfectamente conductoras de ancho W y largo D, separadas d y cortocircuitadas en un extremo.

Figura\(\PageIndex{1}\): Inductor de placa paralela.

Para encontrar el campo magnético de las corrientes podemos utilizar la forma integral de la ley de Ampere, que vincula las variables\(\overline H\) y\(\overline J\):

\[ \oint_{\text{C}} \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{s}}=\int \int_{\text{A}}(\overline{\text{J}}+\partial \overline{\text{D}} / \partial \text{t}) \cdot \text{d} \overline{\text{a}}\]

El contorno _C1 alrededor de ambas corrientes en la Figura 3.2.1 rodea la corriente neta cero, y (3.2.1) dice que la integral de contorno de la corriente neta\(\overline H\) alrededor de cero debe ser cero en el caso estático. El contorno C ₂ rodea solo la corriente i (t), por lo que la integral de contorno de\(\overline H\) alrededor de cualquier C ₂ en el sentido de la derecha es igual a i (t) para el caso estático. Los valores de estas dos integrales de contorno son consistentes con un campo magnético cero fuera del par de placas y un campo constante\(\overline{\text{H}}=\text{H}_{\text{o}} \hat{y}\) entre ellas, aunque un campo magnético uniforme podría superponerse en todas partes sin alterar esas integrales. Dado que un campo tan uniforme no tendría la misma simetría que este dispositivo, dicho campo tendría que generarse en otra parte. Estas integrales también son exactamente consistentes con los campos de flecos en los bordes de la placa, como se ilustra en la Figura 3.2.1 (b) en el plano x-y para z > 0. Los campos de franjas generalmente se pueden descuidar si la separación de placas d es mucho menor que el ancho de placa W.

De ello se deduce que:

\[\oint_{\text{C} 2} \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{s}}=\text{i}(\text{t})=\text{H}_{\text{o}} \text{W} \]

\[\overline{\text{H}}=\hat{y} \text{H}_{\text{o}}=\hat{y} \text{i}(\text{t}) / \text{W}\left[\text{A} \text{m}^{-1}\right] \qquad\qquad\quad(\overline{\text{H}} \text { between the plates }) \]

y\(\overline H\) 0 en otros lugares.

Figura\(\PageIndex{2}\): Voltajes inducidos en un inductor de placa paralela.

El voltaje v (t) a través de los terminales del inductor ilustrado en las Figuras 3.2.1 y 3.2.2 se puede encontrar utilizando la forma integral de la ley de Faraday y (3.2.3):

\[\oint_{\text{C}} \overline{\text{E}} \bullet \text{d} \overline{\text{s}}=-\frac{\partial}{\partial \text{t}} \int \int_{\text{A}} \mu \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{a}}=-\frac{\mu \text{D} \text{d}}{\text{W}} \frac{\text{d} \text{i}(\text{t})}{\text{dt}}=\int_{1}^{2} \text{E}_{\text{x}}(\text{t}, \text{z}) \text{d} \text{x}=-\text{v}(\text{t}, \text{z})\]

donde z = D en los terminales del inductor. Tenga en cuenta que cuando integramos\(\overline E\) alrededor del contorno C hay cero contribución a lo largo de la trayectoria dentro del conductor perfecto; la porción distinta de cero está restringida a la trayectoria ilustrada 1-2. Por lo tanto:

\[\text{v}(\text{t})=\frac{\mu \text{Dd}}{\text{W}} \frac{\text{di}(\text{t})}{\text{dt}}=\text{L} \frac{\text{di}(\text{t})}{\text{dt}}\]

donde (3.2.5) define la inductancia L [Henries] de cualquier inductor. Por lo tanto, L ₁ para un bucle de corriente de una sola vuelta que tiene longitud W >> d y área A = Dd es:

\[\text{L}_{1}=\frac{\mu \text{Dd}}{\text{W}}=\frac{\mu \text{A}}{\text{W}}\ [\text{H}] \qquad \qquad \quad \text { (single-turn wide inductor) } \]

Para simplificar estas ecuaciones definimos el flujo magnético\(\psi_{\text{m}}\) como ⁸:

\[ \psi_{\text{m}}=\int \int_{\text{A}} \mu \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{a}} \ [\text{Webers}=\text{Vs}]\]

Entonces las Ecuaciones (3.2.4) y (3.2.7) se convierten en:

\[ \text{v}(\text{t})=\text{d} \psi_{\text{m}}(\text{t}) / \text{d} \text{t}\]

\[\psi_{\text{m}}(\text{t})=\text{L} \ \text{i}(\text{t}) \qquad \qquad \quad \text{(single-turn inductor) } \]

Ya que asumimos que los campos de flecos podrían descuidarse porque W >> d, los inductores grandes de una sola vuelta requieren estructuras muy grandes. El enfoque estándar para aumentar la inductancia L en un volumen limitado es usar bobinas de múltiples vueltas como se ilustra en la Figura 3.2.3.

Figura\(\PageIndex{3}\): Inductor de giro N: (a) solenoide, (b) toroide.

La bobina de giro N de la Figura 3.2.3 duplica la geometría del flujo de corriente ilustrada en las Figuras 3.2.1 y 3.2.2, pero con N veces la intensidad (A m ^-1) para la misma corriente terminal i (t), y por lo tanto el campo magnético H _o y el flujo también\(\psi_{\mathrm{m}}\) son N veces más fuertes que antes. Al mismo tiempo, el voltaje inducido en cada giro es proporcional al flujo a\( \psi_{\text{m}}\) través de él, que ahora es N veces mayor que para una bobina de una sola vuelta (\(\psi_{\text{m}} \)= NiμA/W), y el voltaje total a través del inductor es la suma de los voltajes a través de las N vueltas. Por lo tanto, siempre que W >> d, el voltaje total a través de un inductor de N vueltas sea N ² veces su valor de una vuelta, y la inductancia _LN de una bobina de N vueltas también sea N ² mayor que L ₁ para una bobina de una vuelta:

\[\text{v}(\text{t})=\text{L}_{\text{N}} \frac{\text{di}(\text{t})}{\text{dt}}=\text{N}^{2} \text{L}_{1} \frac{\text{di}(\text{t})}{\text{dt}} \]

\[ \text{L}_{\text{N}}=\text{N}^{2} \frac{\mu \text{A}}{\text{W}} \ [H] \qquad\qquad\quad \text { (N-turn solenoidal inductor) }\]

donde A es el área de la bobina y W es su longitud;\(W>>\sqrt{A}>d\).

La ecuación (3.2.11) también se aplica a las bobinas cilíndricas que tienen W >> d, que es la forma más común de inductor. Para lograr grandes valores de N las vueltas de alambre pueden enrollarse una encima de la otra con poco efecto adverso; (3.2.11) aún aplica.

Estas expresiones también pueden simplificarse definiendo el enlace de flujo magnético λ como el flujo magnético\(\psi_{\text{m}} \) (3.2.7) unido por N vueltas de la corriente i, donde:

\[ \Lambda=\text{N} \psi_{\text{m}}=\text{N}(\text{Ni} \mu \text{A} / \text{W})=\left(\text{N}^{2} \mu \text{A} / \text{W}\right) \text{i}=\text{Li} \qquad\qquad\quad \text { (flux linkage) }\]

Esta ecuación λ = Li es dual a la expresión Q = Cv para capacitores. Podemos usar (3.2.5) y (3.2.12) para expresar el voltaje v a través de N vueltas de una bobina como:

\[\text{v}=\text{L} \text{di} / \text{dt}=\text{d} \Lambda / \text{dt} \qquad\qquad\quad \text { (any coil linking magnetic flux } \Lambda \text { ) } \]

La inductancia neta L de dos inductores L ₁ y _L2 en serie o paralelo está relacionada con L ₁ y _L2 de la misma manera que se relacionan dos resistencias conectadas:

\[\text{L}=\text{L}_{1}+\text{L}_{2} \qquad\qquad\quad \text { (series combination) } \]

\[\text{L}^{-1}=\text{L}_{1}^{-1}+\text{L}_{2}^{-1} \qquad \qquad \quad \text { (parallel combination) } \]

Por ejemplo, dos inductores en serie transportan la misma corriente i pero el voltaje total a través del par es la suma de los voltajes en cada uno, por lo que las inductancias se suman.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Diseñe un inductor 100-Henry enrollado por aire.

Solución

La ecuación (3.2.11) dice L = N ² μA/W, por lo que se debe elegir N y el factor de forma A/W. Dado que A =\(\pi\) r ² es el área de un inductor cilíndrico de radio r, entonces W = 4r implica L = N ² μ\(\pi\) r/4. Aunque los inductores diminutos (r pequeños) se pueden lograr con un gran número de vueltas N, N está limitado por la relación de las áreas de sección transversal de la bobina rW y del cable\(\pi\) r _w ², y es N r ² /r _w ². N se limita aún más si queremos la impedancia resistiva R << JΩL. Si ω _min es la frecuencia de interés más baja, entonces queremos R ω _min L/100 = d/ (σ\(\pi\) r _w ²) [ver (3.1.5)], donde la longitud del cable d 2\(\pi\) rN. Estas restricciones finalmente producen los valores deseados para r y N que producen el inductor más pequeño. El ejemplo 3.2B lleva estos temas más allá.

Inductores toroidales

La discusión previa suponía que μ llenaba todo el espacio. Si μ se restringe al interior de un solenoide, L disminuye significativamente, pero las bobinas enrolladas en un toroide alto μ, una estructura en forma de rosquilla como se ilustra en la Figura 3.2.3 (b), producen el beneficio completo de valores altos para μ. Los valores típicos de μ son de ~5000 a 180,000 para el hierro, y hasta ~10 ⁶ para materiales especiales.

Las bobinas enrolladas en toroides de alta permeabilidad exhiben significativamente menos fugas de flujo que los solenoides. Considere el límite entre el aire y un material de alta permeabilidad (μ/μ _o >>1), como se ilustra en la Figura 3.2.4.

Figura\(\PageIndex{4}\): Campos magnéticos en límites de alta permeabilidad.

El grado en que\(\overline B\) es paralelo o perpendicular al límite ilustrado se ha reducido sustancialmente con fines de claridad. Las condiciones de contorno son que ambas\(\overline{\text{B}}_{\perp}\) y\(\overline{\text{H}}_{//} \) son continuas a través de cualquier interfaz (2.6.5, 2.6.11). Dado que\(\overline{\text{B}}=\mu \overline{\text{H}}\) en el núcleo permeable y\( \overline{\text{B}}=\mu_{\text{o}} \overline{\text{H}}\) en el aire, y dado que\(\overline{\text{H}}_{//} \) es continuo a través del límite, por lo tanto\(\overline{\text{B}}_{//} \) cambia a través del límite por el factor grande μ/μ _ο. En contraste,\(\overline{\text{B}}_{\perp}\) es lo mismo en ambos lados. Por lo tanto, como se sugiere en la Figura 3.2.4,\( \overline{\text{B}}_{2}\) en el aire es casi perpendicular al límite porque\(\overline{\mathrm{H}}_{/ /}\), y por lo tanto\(\overline{\text{B}}_{2 / /} \), es muy pequeño; tenga en cuenta que la figura se ha escalado de manera que las flechas que representan\(\overline{\mathrm{H}}_{2} \) y\(\overline{\text{B}}_{2} \) tienen la misma longitud cuando μ = μ ₀ .

Figura\(\PageIndex{5}\): Inductor toroidal.

En contraste,\( \overline{\text{B}}_{1}\) es casi paralelo al límite y por lo tanto está atrapado en gran parte allí, aunque ese límite se curva, como se muestra para un toroide en la Figura 3.2.5. La razón por la que el flujo magnético está atrapado en gran medida dentro de materiales de alto μ también está estrechamente relacionada con la razón por la que la corriente está atrapada dentro de cables de alta σ, como se describe

La inductancia de un inductor toroidal se relaciona simplemente con el flujo magnético enlazado λ por (3.2.12) y (3.2.7):

\[ \text{L}=\frac{\Lambda}{\text{i}}=\frac{\mu \text{N} \int \int_{\text{A}} \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{a}}}{\text{i}} \qquad\qquad\qquad \text { (toroidal inductor) }\]

donde A es cualquier área transversal del toroide.

La computación\(\overline H \) es más fácil si el toroide es circular y tiene una sección transversal constante A la cual es pequeña en comparación con el radio mayor R para que\( \text{R}>>\sqrt{\text{A}}\). De la ley de Ampere aprendemos que la integral de\(\overline H \) alrededor de la circunferencia 2\(\pi\) R de este toroide es:

\[\oint_{\text{C}} \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{s}} \cong 2 \pi \text{RH} \cong \text{Ni} \]

donde la única corriente ligada es i (t) que fluye a través de las N vueltas del cable que enrosca el toroide. La ecuación (3.2.17) produce H Ni/2\(\pi\) R y (3.2.16) relaciona H con L. Por lo tanto, la inductancia L de dicho toroide encontrada en (3.2.16) y (3.2.17) es:

\[\text{L} \cong \frac{\mu \text{NA}}{\text{i}} \frac{\text{Ni}}{2 \pi \text{R}}=\frac{\mu \text{N}^{2} \text{A}}{2 \pi \text{R}} \ [\text { Henries }] \qquad\qquad\qquad(\text { toroidal inductor }) \]

La inductancia es proporcional a μ, N ² y el área transversal A, pero disminuye a medida que aumenta el radio mayor toroide R. Los toroides de L grande más compactos son, por lo tanto, grasos (A grandes) sin casi ningún orificio en el medio (R pequeño); el tamaño del orificio está determinado por N (hecho lo más grande posible) y el diámetro del alambre (hecho pequeño). La resistencia en serie máxima aceptable del inductor limita N y el diámetro del alambre; para una masa de alambre dada [kg] esta resistencia es proporcional a N ².

Figura\(\PageIndex{6}\): Inductor toroidal con un pequeño hueco.

La inductancia de un toroide de alta permeabilidad se reduce fuertemente si incluso existe un pequeño espacio de ancho d en la trayectoria magnética, como se muestra en la Figura 3.2.6. La inductancia L de un toroide con un hueco de ancho d se puede encontrar usando (3.2.16), pero primero debemos encontrar la magnitud de H _μ dentro del toroide. Nuevamente podemos usar la forma integral de la ley de Ampere para un contorno cerrado a lo largo del eje del toroide, rodeando el agujero.

\[ \oint_{\text{C}} \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{s}} \cong(2 \pi \text{R}-\text{d}) \text{H}_{\mu}+\text{H}_{\text{g}} \text{d} \cong \text{Ni}\]

donde H _g es la magnitud de H dentro de la brecha. Dado que\(\overline{\text{B}}_{\perp}\) es continuo a través de las caras del hueco, μ _o H _g = μH _μ y estas dos ecuaciones se pueden resolver para las dos incógnitas, H _g y H _μ. _{El segundo término H g d se puede descuidar si el ancho de hueco d >> 2\(\pi\) Rμ o/μ.} En este caso limitante tenemos la misma inductancia que antes, (3.2.18). Sin embargo, si A ^0.5 > d >> 2\(\pi\) Rμ _o /μ, entonces H _g Ni/d y:

\[\text{L}=\Lambda / \text{i} \cong \text{N} \psi_{\text{m}} / \text{i} \cong \text{N} \mu_{\text{o}} \text{H}_{\text{g}} \text{A} / \text{i} \cong \text{N}^{2} \mu_{\text{o}} \text{A} / \text{d}\ [\text{H}] \qquad\qquad\qquad(\text {toroid with a gap} ) \]

_{Relativo a (3.2.18) la inductancia se ha reducido en un factor de μ o/μ y se ha incrementado en un factor mucho menor de 2\(\pi\) R/d, una reducción neta significativa a pesar de que la brecha es pequeña.}

La ecuación (3.2.20) sugiere cómo los pequeños espacios de aire en los motores magnéticos limitan la inductancia del motor y algunas veces el par motor, como se discute más adelante en la Sección 6.3. Las brechas también pueden ser útiles. Por ejemplo, si μ es no lineal [μ = f (H)], entonces L ≠ f (H) si la brecha y μo dominan L. Además, la inductancia dominada por huecos puede almacenar más energía cuando H excede la saturación (i.e.,\(\text{B}^{2} / 2 \mu_{\text{o}} \gg \text{B}_{\text{SAT}}^{2} / 2 \mu\)).

Almacenamiento de energía en inductores

La energía almacenada en un inductor reside en su campo magnético, el cual tiene una densidad de energía instantánea de:

\[ \text{W}_{\text{m}}(\text{t})=\mu|\overline{\text{H}}|^{2} / 2\left[\text{J} \text{m}^{-3}\right]\]

Dado que el campo magnético es uniforme dentro del volumen Ad del inductor rectangular de la Figura 3.2.1, la energía magnética instantánea total almacenada allí es:

\[\text{w}_{\text{m}} \cong \mu \text{AW}|\overline{\text{H}}|^{2} / 2 \cong \mu \text{AW}(\text{i} / \text{W})^{2} / 2 \cong \text{Li}^{2} / 2 \ [\text{J}]\]

Eso (3.2.22) es válido y exacto para cualquier inductancia L se puede mostrar usando el teorema de Poynting, que relaciona la potencia P = vi en los terminales del dispositivo con los cambios en el almacenamiento de energía:

\[\text{w}_{\text{m}}=\int_{-\infty}^{\text{t}} \text{v}(\text{t}) \text{i}(\text{t}) \text{dt}=\int_{-\infty}^{\text{t}} \text{L}(\text{di} / \text{dt}) \text{i} \text{dt}=\int_{0}^{\text{i}} \text{Li} \text{di}=\text{Li}^{2} / 2 \ [\text{J}]\]

Anteriormente descuidamos los campos de flecos, pero también almacenan energía magnética. Podemos calcularlos con precisión utilizando la ley Biot-Savart (10.2.21), que se deriva posteriormente y expresa\(\overline H\) directamente en términos de las corrientes que fluyen en el inductor:

\[\overline{\text{H}}(\overline{\text{r}})=\int \int \int_{\text{V}^{\prime}} \text{d} \text{v}^{\prime}[\overline{\text{J}}(\overline{\text{r}^{\prime}}) \times(\overline{\text{r}}-\overline{\text{r}^{\prime}})] /\left[4 \pi\left|\overline{\text{r}}-\overline{\text{r}}^{\prime}\right|^{3}\right]\]

El campo magnético producido por la corriente\( \overline{\text{J}}(\overline{\text{r}^{\prime}})\) disminuye con la distancia al cuadrado, y por lo tanto la magnitud del campo uniforme\(\overline H\) dentro del inductor está dominada por corrientes dentro de una distancia de ~d de los extremos del inductor, donde d es el diámetro o espesor nominal del inductor [ver Figura 3.2. 3 (a) y asumir d D << W]. Por lo tanto,\(|\overline{\text{H}}|\) en el centro de la cara final de un inductor cilíndrico semiinfinito tiene precisamente la mitad de la fuerza que tiene cerca de la mitad del mismo inductor porque las contribuciones de Biot-Savart\(\overline H\) a en la cara final surgen solo de un lado de la cara final, no de ambos lados.

Por lo tanto, la densidad de energía dentro de un inductor solenoidal disminuye dentro de una distancia de ~d de cada extremo, pero esto es parcialmente compensado en (3.2.23) por la energía magnética descuidada fuera del inductor, que también decae dentro de una distancia ~d Por estas razones, los campos marginales generalmente se descuidan en cálculos de inductancia cuando d << W. Debido a que el flujo magnético no es divergente, la intensidad de campo reducida cerca de los extremos de los solenoides implica que algunas líneas de campo magnético escapan de la bobina allí; están completamente atrapadas dentro del resto de la bobina.

La energía almacenada en un inductor toroidal delgado se puede encontrar usando (3.2.21):

\[\text{w}_{\text{m}} \cong\left(\mu|\overline{\text{H}}|^{2} / 2\right) \text{A} 2 \pi \text{R}\]

La energía almacenada en un inductor toroidal con un hueco de ancho d no despreciable se puede encontrar fácilmente sabiendo que el almacenamiento de energía en el hueco domina eso en el toroide de alta permeabilidad, de manera que:

\[\text{w}_{\text{m}} \cong\left(\mu_{\text{o}} \text{H}_{\text{g}}^{2} / 2\right) \text{Ad} \cong \mu_{\text{o}}(\text{Ni} / \text{d})^{2} \text{Ad} / 2 \cong \text{Li}^{2} / 2\]

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Diseñar un práctico inductor 100-Henry enrollado en un toroide que tenga μ = 10 ⁴ μ _o; se utilizará para ω 400 [r s ^-1] (~60 Hz). ¿Cuántos Julios puede almacenar si la corriente es de un Amperio? Si la densidad de flujo residual _Br del toroide es 0.2 Tesla, ¿cómo afecta esto al diseño?

Solución

Tenemos al menos tres incógnitas, i, e., tamaño, número de vueltas N, y radio de alambre rw, y por lo tanto necesitamos al menos tres ecuaciones. La ecuación (3.2.18) dice\(\text{L} \cong \mu \text{N}^{2} \text{A} / 2 \pi \text{R}_{\text{m}}\) donde A =\(\pi\) r ². Un toroide gordo podría tener un radio mayor R _m 3r, correspondiente a un agujero central de radio 2r rodeado por un toro de hierro de 2r de espesor, produciendo un diámetro exterior de 4r. Nuestra primera ecuación sigue:\( \text{L}=100 \cong \mu \text{N}^{2} \text{r} / 6\). A continuación, el número N de vueltas está limitado por la relación del área de la sección transversal del agujero en el toro (\(\pi\)4r ²) y el área de la sección transversal del alambre\( \pi r_{w}^{2}\); nuestra segunda ecuación es\(\text{N} \cong 4 \text{r}^{2} / \text{r}_{\text{w}}^{2}\). Aunque los inductores diminutos (r pequeños) se pueden lograr con N grandes, N es limitado si queremos la impedancia resistiva R << ΩL. Si ω _min es la frecuencia de interés más baja, entonces obtenemos nuestra tercera ecuación,\(\text{R} \cong \omega_{\min } \text{L} / 100=400=\text{d} /\left(\sigma \pi \text{r}_{\text{w}}^{2}\right)\) [ver (3.1.5)], donde la longitud del cable d 4\(\pi\) rN. Al eliminar\(\text{r}_{\text{w}}^{2}\) de la segunda y tercera ecuación se obtienen N ² 400σr, y al eliminar N ² de la primera ecuación se obtiene r = (600/400σμ) ^0.5 1.5mm, donde para los cables típicos σ 5×10 ⁷; el diámetro máximo de este toroide es 8r 1.2 cm. Desde N ² 400σr, por lo tanto N 5600, y\(r_{w} \cong 2 r / \sqrt{N} \cong 40\) micrones.

Podríamos suponer los\(\text{w}_{\text{m}}=\text{Li}^{2} / 2=100 \times 1^{2} / 2=50\) julios de energía almacenada. Sin embargo, si 1 amperio fluye a través de 5600 vueltas, y si H = 5600/2\(\pi\) 3r = 5600/0.031 = 1.8×10 ⁵ [A m ^-1], entonces B = μH 2300 Tesla, muy por encima del límite de B _r = 0.2 Tesla donde se decía que se producía saturación. _{Dado que el μ o incremental se aplica a altas corrientes, este dispositivo es bastante no lineal y la energía almacenada calculada de 50J debe reducirse en un factor de ~μ o/μ para producir ~5 mJ.} Si se desea linealidad y baja pérdida (R<<ΩL), o bien este toroide debe hacerse mucho más grande para que no se supere el límite superior en μH dentro del toroide, o bien se debe reducir la corriente máxima al nivel de ~100 μA. Además, una corriente sinusoidal de 1 amperio a través de esta pequeña resistencia de 400 ohmios disiparía 200 W, lo suficiente como para dañarla. Tenga en cuenta que si ω _min se incrementa en un factor de F, entonces r disminuye en F ^0.5.

Transformers

Los transformadores son dispositivos pasivos que se utilizan para elevar o bajar los voltajes de las corrientes alternas o transitorios. El voltaje v a través de dos terminales de cualquier bobina se puede encontrar usando la ley de Faraday (2.4.14):

\[\oint_{C} \overline{E} \bullet d \overline{s}=-\frac{d}{d t} \int \int_{A} \mu_{0} \overline{H} \bullet d \overline{a}\]

que conduce al voltaje a través de cualquier N vueltas de una bobina, según lo dado por (3.2.13):

\[\text{v}=\text{d} \Lambda / \text{d} \text{t}\]

donde el enlace de flujo\(\Lambda=\text{N} \psi_{\text{m}} \) y el flujo magnético\( \psi_{\text{m}}\) dentro del área transversal A de la bobina se definen por (3.2.7):

\[ \Psi_{\text{m}}=\int \int_{\text{A}} \mu \overline{\text{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{a}} \ [\text {Webers }=\text{Vs}]\]

Considera el transformador toroidal ideal de la Figura 3.2.7.

Figura\(\PageIndex{7}\): Transformador toroidal

Su alta permeabilidad atrapa el flujo magnético dentro de él de manera que\( \psi_{\text{m}}\) es constante alrededor del toroide, aunque A varía. De (3.2.28) vemos que el voltaje v _k a través de la bobina k es por lo tanto:

\[\text{v}_{\text{k}}=\text{d} \Lambda_{\text{k}} / \text{d} \text{t}=\text{N}_{\text{k}} \text{d} \Psi_{\text{m}} / \text{d} \text{t}\]

La relación entre los voltajes a través de dos bobinas k = 1,2 es por lo tanto:

\[\text{v}_{2} / \text{v}_{1}=\text{N}_{2} / \text{N}_{1} \]

donde N ₂ /N ₁ es la relación de vueltas del transformador.

Si la corriente i ₂ fluye en la bobina de salida, entonces habrá una contribución agregada a v ₁ y v ₂ debido a las contribuciones de i ₂ al original\(\psi_{\text{m}}\) desde la bobina de entrada solo. Obsérvese que la corriente que fluye hacia el terminal “+” de ambas bobinas\(\overline H\) en la figura contribuye a que en la dirección ilustrada; esto distingue al terminal positivo del terminal negativo de cada bobina. Si el acoplamiento de flujo entre las dos bobinas es imperfecto, entonces el voltaje de salida se reduce correspondientemente. Cualquier resistencia en los cables puede incrementar estos voltajes en proporción a las corrientes.

La Figura 3.2.8 sugiere símbolos tradicionales utilizados para representar transformadores ideales y algunas configuraciones comunes utilizadas en la práctica. El punto de polaridad al final de cada bobina indica qué terminales registrarían el mismo voltaje para un cambio dado en el flujo magnético vinculado. En ausencia de puntos, se entiende la polaridad indicada en (a). Tenga en cuenta que muchos transformadores consisten en una sola bobina con múltiples tomas. A veces, una de las tomas es un conmutador que puede deslizarse a través de los devanados de la bobina para proporcionar una relación de vueltas del transformador continuamente variable. Como se ilustra, la presencia de un núcleo de hierro se indica mediante líneas paralelas y un autotransformador consiste en una sola bobina roscada.

Figura\(\PageIndex{8}\): Configuraciones de transformadores:

(a) núcleo de aire, (b) núcleo de hierro, (c) roscado y (d) autotransformador.

Los voltajes terminales de los transformadores lineales para los cuales μ ≠ f (H) se relacionan linealmente con las diversas corrientes que fluyen a través de los devanados. Considere un toroide simple para el cual H, B y el área de sección transversal A son los mismos en todas partes alrededor de la circunferencia promedio\(\pi\) D. En este caso el voltaje\(\underline{V}_{1}\) a través de las N ₁ vueltas de la bobina (1) es:

\[ \underline{V}_{1}=j \omega N_{1}\]

\[ \underline{\Psi}=\mu \underline{H}\text{A}\]

\[\underline{\text{H}}=\left(\text{N}_{1} \underline{\text{I}}_{1}+\text{N}_{2} \underline{\text{I}}_{2}\right) / \pi \text{D} \]

Por lo tanto:

\[\underline{\text{V}}_{1}=\text{j} \omega\left[\mu \text{A} \text{N}_{1}\left(\text{N}_{1} {\underline{I}}_{1}+\text{N}_{2} {\underline{I}}_{2}\right) / \pi \text{D}\right]=\text{j} \omega\left(\text{L}_{11} \underline{\text{I}}_{1}+\text{L}_{12} {\underline{I}}_{2}\right) \]

donde la autoinductancia L ₁₁ y la inductancia mutua L ₁₂ [Henries] son:

\[\text{L}_{11}=\mu \text{AN}_{1}^{2} / \pi \text{D} \qquad\qquad \text{L}_{12}=\mu \text{AN}_{1} \text{N}_{2} / \pi \text{D}\]

La ecuación (3.2.35) puede generalizarse para un transformador de dos bobinas:

\[\left[\frac{\mathrm{\underline{V}}_{1}}{\mathrm{\underline{V}}_{2}}\right]=\left[\begin{array}{ll} \mathrm{L}_{11} & \mathrm{L}_{12} \\ \mathrm{L}_{21} & \mathrm{L}_{22} \end{array}\right]\left[\frac{\underline{\mathrm{I}}_{1}}{\mathrm{\underline{I}}_{2}}\right] \]

Considere el transformador elevador toroidal simple ilustrado en la Figura 3.2.9 en el que la fuente de voltaje acciona la resistencia de carga R a través del transformador, que tiene N ₁ y N ₂ enciende su entrada y salida, respectivamente. El toroide tiene diámetro mayor D y área transversal A.

Figura\(\PageIndex{9}\): Transformador elevador toroidal cargado con resistencia R.

Combinando (3.2.33) y (3.2.34), y señalando que el signo de I ₂ se ha invertido en la figura, obtenemos la expresión para el flujo total:

\[\underline{\Psi}=\mu \text{A}\left(\text{N}_{1} \text{I}_{1}+\text{N}_{2} \underline{\text{I}}_{2}\right) / \pi \text{D}\]

Podemos encontrar la admitancia vista por la fuente de voltaje resolviendo (3.2.38) para\(\underline{I}_{1} \) y dividiendo por\(\underline{V}_{s} \):

\[ \underline{I}_{1}=\left(\pi D \underline{\Psi} / \mu \text{A} \text{N}_{1}\right)+\underline{\text{I}}_{2} \text{N}_{2} / \text{N}_{1}\]

\[\underline{\text{V}}_{\text{s}}=\text{j} \omega \text{N}_{1} \ \underline{\Psi}=\underline{\text{V}}_{2} \text{N}_{1} / \text{N}_{2}=\underline{\text{I}}_{2} \text{R} \text{N}_{1} / \text{N}_{2} \]

\[\begin{align} \underline{I}_{1} / \underline{V}_{s} &=\left(\pi D \underline{\Psi} / \mu \text{A} \text{N}_{1}\right) / \text{j} \omega \text{N}_{1} \underline{\Psi}+\underline{\text{I}}_{2} \text{N}_{2}^{2} /\left(\text{N}_{1}^{2} \underline{\text{I}}_{2} \text{R}\right) \\ &=-\text{j} \pi \text{D} /\left(\omega \text{N}_{1}^{2} \mu \text{A}\right)+\left(\text{N}_{2} / \text{N}_{1}\right)^{2} / \text{R}=1 / \text{j} \omega \text{L}_{11}+\left(\text{N}_{2} / \text{N}_{1}\right)^{2} / \text{R} \end{align} \]

Así, la admitancia vista en la entrada al transformador es la de la autoinductancia (1/JΩL ₁₁) en paralelo con la admitancia de la resistencia transformada [(N ₂ /N ₁) ² /R]. La potencia entregada a la carga es\(\left|\underline{\text{V}}_{2}\right|^{2} / 2 \text{R}=\left|{\underline{V}}_{1}\right|^{2}\left(\text{N}_{2} / \text{N}_{1}\right)^{2} / 2 \text{R} \), que es la potencia promedio en el tiempo entregada al transformador, ya que\( \left|{\underline{V}}_{2}\right|^{2}=\left|\underline{\text{V}}_{1}\right|^{2}\left(\text{N}_{2} / \text{N}_{1}\right)^{2}\); ver (3.2.31).

El circuito equivalente del transformador es así L ₁₁ en paralelo con la entrada de un transformador ideal con relación de vueltas N ₂ /N ₁. Las pérdidas resistivas en las bobinas de entrada y salida podrían ser representadas por resistencias en serie con las líneas de entrada y salida. Por lo general, JΩL ₁₁ para un transformador de núcleo de hierro es tan grande que solo el transformador ideal es importante.

Un problema significativo con los transformadores de núcleo de hierro es que los campos magnéticos cambiantes dentro de ellos pueden generar tensiones considerables y corrientes parásitas en virtud de la Ley de Ohm (\( \underline{\overline{\mathrm{J}}} \)= σ\( \overline{\underline{E}}\)) y la ley de Faraday:

\[\oint_{\text{C}} \underline{\overline{E}} \bullet \text{d} \overline{\text{s}}=-\text{j} \omega \mu \int_{\text{A}} \underline{\overline{H}} \bullet \text{d} \overline{\text{a}}\]

donde el contorno C circunda cada elemento magnético conductor. Un método estándar simple para reducir las corrientes parásitas\( \underline{\overline J}\) y la potencia disipada asociada\(\int_{V}\left(\sigma|\underline{J}|^{2} / 2\right) \text{d} \text{v}\) es reducir el área A laminando el núcleo; es decir, fabricándolo con losas aisladas apiladas delgadas de hierro o acero orientadas para interrumpir las corrientes parásitas. Las corrientes parásitas fluyen perpendicular a\(\overline{\text{H}}\), por lo que la losa debe cortarse a lo largo de la dirección de\(\overline{\text{H}}\). Si N losas apiladas reemplazan a una sola losa, entonces A\( \underline{\text{E}}\),,\(\underline{\text{J}} \) cada una se reduce aproximadamente por un factor de N, por lo que la potencia disipada, que es proporcional al cuadrado de J, se reduce en un factor de ~N ². Las corrientes parásitas y los núcleos laminados se discuten más a fondo al final de la Sección 4.3.3.