3.5: Circuitos de dos elementos y resonadores RLC

Circuitos de dos elementos y resonadores RLC desacoplados

Los resonadores RLC suelen consistir en una resistencia R, un inductor L y un condensador C conectados en serie o en paralelo, como se ilustra en la Figura 3.5.1. Los resonadores RLC son de interés porque se comportan de manera muy similar a otros sistemas electromagnéticos que almacenan energía eléctrica y magnética, que se disipa lentamente debido a pérdidas resistivas. Primero encontraremos y resolveremos las ecuaciones diferenciales que caracterizan a los resonadores RLC y sus subsistemas más simples: circuitos RC, RL y LC. Esto conducirá a definiciones de frecuencia resonante ω _o y Q, que luego se relacionarán en la Sección 3.5.2 con la respuesta de frecuencia de resonadores RLC que están acoplados a circuitos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Resonadores RLC en serie y paralelos.

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan los voltajes a través de R, L y C son, respectivamente:

\[ \mathrm{v}_{\mathrm{R}}=\mathrm{iR}\]

\[\mathrm{v}_{\mathrm{L}}=\mathrm{L} \ \mathrm{di} / \mathrm{dt}\]

\[\mathrm{v}_{\mathrm{C}}=(1 / \mathrm{C}) \int \mathrm{i} \ \mathrm{d} \mathrm{t}\]

La ley de voltaje de Kirchoff aplicada al circuito RLC en serie de la Figura 3.5.1 (a) dice que la suma de los voltajes (3.5.1), (3.5.2) y (3.5.3) es cero:

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{i} / \mathrm{dt}^{2}+(\mathrm{R} / \mathrm{L}) \mathrm{di} / \mathrm{dt}+(1 / \mathrm{LC}) \mathrm{i}=0 \]

donde hemos dividido por L y diferenciado para simplificar la ecuación. Antes de resolverlo, es útil resolver versiones más simples para circuitos RC, RL y LC, donde ignoramos uno de los tres elementos.

En el límite RC donde L = 0 sumamos (3.5.1) y (3.5.3) para producir la ecuación diferencial:

\[ \mathrm{di} / \mathrm{dt}+(1 / \mathrm{RC}) \mathrm{i}=0\]

Esto dice que i (t) puede ser cualquier función con la propiedad de que la primera derivada es la misma que la señal original, veces una constante. Esta propiedad está restringida a exponenciales y sus sumas, como senos y cosenos. Representemos i (t) por I _o e ^st, donde:

\[\mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{\mathrm{st}}\right\}\]

donde la frecuencia compleja s es:

\[\mathrm{s} \equiv \alpha+\mathrm{j} \omega\]

Podemos sustituir (3.5.6) en (3.5.5) para producir:

\[\operatorname{Re}\left\{[\mathrm{s}+(1 / \mathrm{RC})] \mathrm{I}_{0} \mathrm{e}^{\mathrm{st}}\right\}=0\]

Dado que e ^st no siempre es cero, para satisfacer (3.5.8) se deduce que s = - 1/RC y:

\[\mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-(1 / \mathrm{RC}) \mathrm{t}}=\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{t} / \tau} \qquad\qquad\qquad \text{(RC current response)}\]

donde\(\tau\) es igual a segundos RC y es la constante de tiempo RC. I _o se elige para satisfacer las condiciones iniciales, que no se dieron aquí.

Un ejemplo sencillo ilustra cómo se pueden incorporar las condiciones iniciales en la solución. Simplemente necesitamos tantas ecuaciones para t = 0 ya que hay variables desconocidas. En el presente caso necesitamos una ecuación para determinar I _o. Supongamos que el circuito RC [de la Figura 3.5.1 (a) con L = 0] estaba en reposo a t = 0, pero el condensador se cargó a V _o voltios. _{Entonces sabemos que la corriente inicial I o a t = 0 debe ser V o/R.}

En el límite de RL donde C = ∞ sumamos (3.5.1) y (3.5.2) para dar di/dt + (R/L) i = 0, que tiene la misma forma de solución (3.5.6), de manera que s = -R/L y:

\[\mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-(\mathrm{R} / \mathrm{L}) \mathrm{t}}=\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-\mathrm{t} / \tau} \qquad\qquad\qquad \text{(RL current response) }\]

donde la constante de tiempo RL\(\tau\) es L/R segundos.

En el límite LC donde R = 0 sumamos (3.5.2) y (3.5.3) para rendir:

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{i} / \mathrm{dt}^{2}+(1 / \mathrm{LC}) \mathrm{i}=0\]

Su solución también tiene la forma (3.5.6). Debido a que i (t) es real y e ^jωt es complejo, es más fácil asumir soluciones sinusoidales, donde la fase φ y la magnitud I _o estarían determinadas por las condiciones iniciales. Esta forma de la solución sería:

\[\mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \cos \left(\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{t}+\phi\right) \qquad\qquad\qquad \text{(LC current response)}\]

donde ω _o = 2\(\pi\) f _o se encuentra sustituyendo (3.5.12) en (3.5.11) para dar [ω _o ² — (LC) ^-1] i (t) = 0, entonces:

\[\omega_{\mathrm{o}}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{L} C}} \ \left[\text { radians } \mathrm{s}^{-1}\right] \qquad \qquad \qquad \text{ (LC resonant frequency) }\]

Alternativamente, podríamos expresar esta solución (3.5.12) como la suma de dos exponenciales usando la identidad\(\cos \omega t \equiv\left(e^{j \omega t}+e^{-j \omega t}\right) / 2\).

Los circuitos RLC exhiben tanto resonancia oscilatoria como decaimiento exponencial. Si sustituimos la solución genérica\(\underline{I}_{0} \mathrm{e}^{\mathrm{st}}\) (3.5.6) en la ecuación diferencial RLC (3.5.4) para el resonador RLC serie de la Figura 3.5.1 (a) obtenemos:

\[\left(s^{2}+s R / L+1 / L C\right) \underline{I}_{0} e^{s t}=\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right) \underline{I}_{0} e^{s t}=0\]

Las frecuencias resonantes RLC s ₁ y s ₂ son soluciones a (3.5.14) y se pueden encontrar resolviendo esta ecuación cuadrática ⁹ para producir:

\[\mathrm{s}_{\mathrm{i}}=-\mathrm{R} / 2 \mathrm{L} \pm \mathrm{j}\left[(1 / \mathrm{LC})-(\mathrm{R} / 2 \mathrm{L})^{2}\right]^{0.5} \qquad \qquad \qquad \text{(series RLC resonant frequencies) }\]

Cuando R = 0 esto se reduce a la solución de frecuencia resonante LC (3.5.13).

⁹ Una ecuación cuadrática en x tiene la forma ax ² + bx + c = 0 y la solución x = (-b ± [b ² - 4ac] ^0.5) /2a.

La solución genérica\( \mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{\underline{I}}_{\mathrm{o}}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{st}}\) es compleja, donde\(\underline{I}_{0}^{\prime} \equiv \mathrm{I}_{0} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi} \):

\[\mathrm{i}(\mathrm{t})=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{\underline{I}}_{\mathrm{o}}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{s}_{1} \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{\mathrm{j} \phi} \mathrm{e}^{-(\mathrm{R} / 2 \mathrm{L}) \mathrm{t}} \mathrm{t}^{\mathrm{j} \omega \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{I}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-(\mathrm{R} / 2 \mathrm{L}) \mathrm{t}} \cos (\omega \mathrm{t}+\phi)\]

donde\( \omega=\left[(\mathrm{LC})^{-1}+(\mathrm{R} / 2 \mathrm{L})^{2}\right]^{0.5} \cong(\mathrm{LC})^{-0.5}\). I _o y φ se pueden encontrar a partir de las condiciones iniciales, que son la corriente inicial a través de L y la tensión inicial a través de C, correspondientes a los términos iniciales de almacenamiento de energía. Si elegimos el origen del tiempo para que la fase φ = 0, la energía magnética instantánea almacenada en el inductor (3.2.23) es:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{m}}(\mathrm{t})=\mathrm{Li}^{2} / 2=\left(\mathrm{LI}_{\mathrm{o}}^{2} / 2\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{R} t / \mathrm{L}} \cos ^{2} \omega \mathrm{t}=\left(\mathrm{LI}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{R} t / \mathrm{L}}(1+\cos 2 \omega \mathrm{t})\]

Debido a que w _m = 0 dos veces por ciclo y se conserva la energía, la energía eléctrica pico w _e (t) almacenada en el condensador debe ser intermedia entre las energías magnéticas máximas almacenadas en el inductor (e ^Rt /LLI _o ² /2) durante el anterior y siguiente ciclos. _{Además, desde dv C/dt = I/c, las variaciones cosenales de i (t) producen una variación sinusoidal en el voltaje v C (t) a través del condensador.} Juntos estos dos hechos dan:\( \mathrm{w}_{\mathrm{e}}(\mathrm{t}) \cong\left(\mathrm{LI}_{\mathrm{o}}^{2} / 2\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{R} t / \mathrm{L}} \sin ^{2} \omega \mathrm{t}\). Si definimos Vo como el voltaje inicial máximo correspondiente a la corriente inicial máxima I _o, y recordamos la expresión (3.1.16) para w _e (t), encontramos:

\[ \mathrm{w}_{\mathrm{e}}(\mathrm{t})=\mathrm{Cv}^{2} / 2 \cong\left(\mathrm{CV}_{\mathrm{o}}^{2} / 2\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{R} t / \mathrm{L}} \sin ^{2} \omega \mathrm{t}=\left(\mathrm{CV}_{\mathrm{o}}^{2} / 4\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{R} t / \mathrm{L}}(1-\cos 2 \omega \mathrm{t})\]

Comparación de (3.5.17) y (3.5.18) en combinación con la conservación de rendimientos energéticos:

\[ \mathrm{V}_{\mathrm{o}} \cong(\mathrm{L} / \mathrm{C})^{0.5} \mathrm{I}_{\mathrm{o}}\]

La Figura 3.5.2 ilustra cómo la corriente y el almacenamiento de energía decaen exponencialmente con el tiempo mientras se somete a conversión entre almacenamiento de energía eléctrica y magnética a 2ω radianes s ^-1; la constante de tiempo para corriente y voltaje es\(\tau\) = 2L/R segundos, y la de energía es L/R.

Una manera útil de caracterizar una resonancia es por la cantidad adimensional Q, que es el número de radianes requeridos antes de que la energía total w _T decae a 1/e de su valor original, como se ilustra en la Figura 3.5.2 (b). Es decir:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{T}}=\mathrm{w}_{\mathrm{To}} \mathrm{e}^{-2 \alpha \mathrm{t}}=\mathrm{w}_{\mathrm{To}} \mathrm{e}^{-\omega \mathrm{t} / \mathrm{Q}} \ [\mathrm{J}]\]

Por lo tanto, la tasa\(\alpha\) de decaimiento de corriente y voltaje se relaciona simplemente con Q:

\[ \alpha=\omega / 2 \mathrm{Q}\]

Figura\(\PageIndex{2}\): Variación temporal de la corriente y el almacenamiento de energía en circuitos RLC.

Si encontramos la potencia disipada P _d [W] diferenciando la energía total w _T con respecto al tiempo usando (3.5.20), entonces podemos derivar una definición alternativa común para Q:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{d}}=-\mathrm{d} \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{dt}=(\omega / \mathrm{Q}) \mathrm{w}_{\mathrm{T}}\]

\[\mathrm{Q}=\omega \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{d}} \qquad\qquad\qquad \text{(one definition of Q) }\]

Para el resonador RLC serie\(\alpha\) = R/2L y ω (LC) ^-0.5, entonces (3.5.21) rinde:

\[\mathrm{Q}=\omega / 2 \alpha=\omega \mathrm{L} / \mathrm{R} \cong(\mathrm{L} / \mathrm{C})^{0.5} / \mathrm{R} \qquad\qquad\qquad \text{(Q of series RLC resonator) }\]

La Figura 3.5.1 (b) ilustra un resonador RLC paralelo. KCL dice que la suma de las corrientes en cualquier nodo es cero, entonces:

\[\mathrm{C} \ \mathrm{dv} / \mathrm{dt}+\mathrm{v} / \mathrm{R}+(1 / \mathrm{L}) \int \mathrm{v} \ \mathrm{dt}=0\]

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{v} / \mathrm{dt}^{2}+(1 / \mathrm{RC}) \mathrm{dv} / \mathrm{dt}+(1 / \mathrm{LC}) \mathrm{v}=0\]

Si v = V _o e ^st, entonces:

\[\left[s^{2}+(1 / R C) s+(L / C)\right]=0\]

\[\mathrm{s}=-(1 / 2 \mathrm{RC}) \pm \mathrm{j}\left[(1 / \mathrm{LC})-(1 / 2 \mathrm{RC})^{2}\right]^{0.5} \qquad \qquad \qquad \text{(parallel RLC resonance) }\]

Análogamente a (3.5.16) encontramos:

\[\mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{R}_{\mathrm{e}}\left\{\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{o}}^{\prime} \mathrm{e}^{\mathrm{s}_{1} \mathrm{t}}\right\}=\mathrm{V}_{\mathrm{o}} \mathrm{e}^{-(1 / 2 \mathrm{R} \mathrm{C}) \mathrm{t}} \cos (\omega \mathrm{t}+\phi) \]

donde\( \underline{V}_{0}^{\prime}=V_{0} e^{j \phi}\). De ello se deduce que para un resonador RLC paralelo:

\[\omega=\left[(\mathrm{LC})^{-1}-(2 \mathrm{RC})^{-2}\right]^{0.5} \cong(\mathrm{LC})^{-0.5}\]

\[Q=\omega / 2 \alpha=\omega R C=R(C / L)^{0.5} \qquad \qquad \qquad \text{(Q of parallel RLC resonator) }\]

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿Qué valores de L y C darían a un resonador paralelo a 1 MHz una Q de 100 si R = 10 ⁶ /2\(\pi\)?

Solución

LC = 1/ω _o ² = 1/ (2\(\pi\) 10 ⁶) ², y Q = 100 = ωRc = 2\(\pi\) 10 ⁶ (10 ⁶ /2\(\pi\)) C entonces C = 10 ^-10 [F] y L = 1/ω _o ² c 2.5×10 ^-4 [Hy].

Resonadores RLC acoplados

Los resonadores RLC suelen estar acoplados a un entorno que puede ser representado por su circuito equivalente Thevenin o Norton, como se ilustra en la Figura 3.5.3 (a) y (b), respectivamente, para circuitos puramente resistivos.

Figura\(\PageIndex{3}\): Resonadores RLC en serie y paralelos accionados por circuitos equivalentes Thevenin y Norton.

Un equivalente Thevenin consiste en una fuente de voltaje V _Th en serie con una impedancia\(\underline{Z}_{\mathrm{Th}}=\mathrm{R}_{\mathrm{Th}}+\mathrm{jX}_{\mathrm{Th}}\), mientras que un circuito equivalente a Norton consiste en una fuente de corriente I _No en paralelo con una admitancia\(\underline{Y}_{\mathrm{No}}=\mathrm{G}_{\mathrm{No}}+\mathrm{jU}_{\mathrm{No}}\). El equivalente Thevenin de un circuito equivalente a Norton resistivo tiene voltaje de circuito abierto V _Th = I _{No /G No}, y R _Th = 1/G _No; es decir, sus voltajes opencircuit, corrientes de cortocircuito e impedancias son los mismos. Ningún experimento eléctrico de frecuencia única realizado en los terminales puede distinguir los circuitos lineales ideales de sus equivalentes Thevenin o Norton.

Una característica importante de un resonador es la dependencia de frecuencia de su disipación de potencia. Si R _Th = 0, el resonador RLC en serie de la Figura 3.5.3 (a) se disipa:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{d}}=\mathrm{R}|\mathrm{\underline{I}}|^{2} / 2[\mathrm{W}]\]

\[P_{d}=\left[R\left|\underline{V}_{T h}\right|^{2} / 2\right] /\left|R+L s+C^{-1} s^{-1}\right|^{2}=\left[R\left|\underline{V}_{T h}\right|^{2} / 2\right]|s / L|^{2} /\left|\left(s-s_{1}\right)\left(s-s_{2}\right)\right|^{2}\]

donde s ₁ y s ₂ están dados por (3.5.15):

\[\mathrm{s}_{\mathrm{i}}=-\mathrm{R} / 2 \mathrm{L} \pm \mathrm{j}\left[(1 / \mathrm{LC})-(\mathrm{R} / 2 \mathrm{L})^{2}\right]^{0.5}=-\alpha \pm \mathrm{j} \omega_{\mathrm{o}}^{\prime} \qquad\qquad\qquad \text { (series RLC resonances) }\]

El valor máximo de Pd se alcanza cuando ω ω′ _o:

\[P_{\mathrm{d} \max }=\left|\underline{\mathrm{V}}_{\mathrm{Th}}\right|^{2} / 2 \mathrm{R}\]

Esta expresión simple se espera ya que las impedancias reactivas de L y C cancelan a ω _o, dejando solo R.

Si es\((1 / \mathrm{LC}) \gg(\mathrm{R} / 2 \mathrm{L})\) así\(\omega_{\mathrm{o}} \cong \omega_{\mathrm{o}}^{\prime}\), entonces como ω - ω _o aumenta de cero a\(\alpha\), |s − s ₁ | = | jω _o − (jω _o +\(\alpha\)) | aumenta de\(\alpha\) a\(\sqrt{2} \alpha\). Esta desviación de la resonancia aproximadamente duplica el denominador de (3.5.33) y mitades P _d. A medida que ω se aleja aún más de ωo y resonancia, P _d finalmente se acerca a cero porque las impedancias de L y C se acercan al infinito a frecuencia infinita y cero, respectivamente. La respuesta de frecuencia total Pd (f) de esta serie de resonadores RLC se sugiere en la Figura 3.5.4. Se dice que el ancho de banda del resonador o ancho de banda de media potencia Δω es la diferencia entre las dos frecuencias de media potencia, o Δω 2\(\alpha\) = R/L para este circuito en serie. Δω se relaciona simplemente con ω _o y Q para resonancias tanto en serie como en paralelo, de la siguiente manera de (3.5.21):

\[\mathrm{Q}=\omega_{\mathrm{o}} / 2 \alpha=\omega_{\mathrm{o}} / \Delta \omega \qquad \qquad \qquad \text{(Q versus bandwidth) }\]

Los resonadores RLC paralelos se comportan de manera similar excepto que:

\[ \mathrm{s}_{\mathrm{i}}=-\mathrm{G} / 2 \mathrm{L} \pm \mathrm{j}\left[(1 / \mathrm{LC})-(\mathrm{G} / 2 \mathrm{L})^{2}\right]^{0.5}=-\alpha \pm \mathrm{j} \omega_{\mathrm{o}}^{\prime} \qquad\qquad\qquad \text{(parallel RLC resonances) }\]

donde R, L y C en (3.5.34) han sido reemplazados por sus duales G, C y L, respectivamente.

Figura\(\PageIndex{4}\): Disipación de potencia RLC cerca de la resonancia.

Los resonadores reducen a sus resistencias en resonancia porque la impedancia de la porción LC se aproxima a cero o infinito para resonadores en serie o paralelos, respectivamente. _{En resonancia P d se maximiza cuando la fuente R s y las resistencias de carga R coinciden, como se muestra fácilmente estableciendo la derivada dP d/dR = 0 y resolviendo para R. En este caso decimos que el resonador está críticamente emparejado a su fuente, para toda la potencia disponible es entonces} transferido a la carga en resonancia.

Esta condición críticamente emparejada también puede estar relacionada con las Q's de un resonador acoplado con voltaje Thevenin cero aplicado desde el exterior, donde definimos Q interno (o Q _I) como correspondiente a la potencia disipada internamente en el resonador, Q externa (o Q _E) como correspondiente a la potencia disipado externamente en la resistencia de la fuente, y cargado Q (o Q _L) como correspondiente a la potencia total disipada tanto internamente (P _DI) como externamente (P _DE). Es decir, siguiendo (3.5.23):

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{I}} \equiv \omega \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{DI}} \qquad\qquad\qquad \text{(internal Q) }\]

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{E}} \equiv \omega \mathrm{w}_{\mathrm{T}} / \mathrm{P}_{\mathrm{DE}} \qquad\qquad\qquad \text{(external Q) }\]

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{L}} \equiv \omega \mathrm{w}_{\mathrm{T}} /\left(\mathrm{P}_{\mathrm{DI}}+\mathrm{P}_{\mathrm{DE}}\right) \qquad \qquad \qquad \text{(loaded Q)}\]

Por lo tanto, estas Q están simplemente relacionadas:

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{L}}^{-1}=\mathrm{Q}_{\mathrm{I}}^{-1}+\mathrm{Q}_{\mathrm{E}}^{-1}\]

Es Q _L que corresponde a Δω para resonadores acoplados (Q _L = _ω o/Δω).

Por ejemplo, al aplicar Ecuaciones (3.5.38—40) a un resonador RLC en serie, obtenemos fácilmente:

\[Q_{I}=\omega_{0} L / R\]

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{E}}=\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{L} / \mathrm{R}_{\mathrm{Th}}\]

\[Q_{L}=\omega_{0} L /\left(R_{T h}+R\right)\]

Para un resonador RLC paralelo, las Q se convierten en:

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{I}}=\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{RC}\]

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{E}}=\omega_{\mathrm{O}} \mathrm{R}_{\mathrm{Th}} \mathrm{C}\]

\[\mathrm{Q}_{\mathrm{L}}=\omega_{\mathrm{o}} \mathrm{CR}_{\mathrm{Th}} \mathrm{R} /\left(\mathrm{R}_{\mathrm{Th}}+\mathrm{R}\right)\]

Dado que las resistencias de fuente y carga se corresponden para una disipación de potencia máxima en resonancia, se deduce de la Figura 3.5.3 que un resonador acoplado críticamente o resonador emparejado resulta cuando Q _I = Q _E. Estas expresiones para Q son en términos de energías almacenadas y potencia disipada, y pueden aplicarse fácilmente a resonancias electromagnéticas de cavidades u otras estructuras, dando sus anchos de banda y condiciones para la máxima transferencia de potencia a las cargas, como se discute en la Sección 9.4.