3.4: Circuitos generales y métodos de solución
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Leyes de Kirchoff
Los circuitos generalmente están compuestos por elementos agrupados o “ramas” conectadas en nodos para formar estructuras bidimensionales o tridimensionales, como se sugiere en la Figura 3.4.1. Se pueden caracterizar por los voltajes vi en cada nodo o a través de cada rama, o por las corrientes ij que fluyen en cada rama o en un conjunto de bucles de corriente. Para determinar el comportamiento de dichos circuitos desarrollamos ecuaciones lineales simultáneas que deben ser satisfechas por las tensiones y corrientes desconocidas. Las leyes de Kirchoff generalmente proporcionan estas ecuaciones.
Aunque el análisis de circuitos a menudo se basa en parte en las leyes de Kirchoff, estas leyes son imperfectas debido a los efectos electromagnéticos. Por ejemplo, la ley de voltaje de Kirchoff (KVL) dice que las caídas de voltaje vi asociadas con cada elemento agrupado alrededor de cualquier bucle deben sumarse a cero, es decir:
\[\sum_{i} v_{i}=0 \qquad\qquad\qquad \text{(Kirchoff’s voltage law [KVL])} \]
que puede derivarse de la forma integral de la ley de Faraday:
\[ \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{E}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=-(\partial / \partial \mathrm{t}) \oiint_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{B}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{a}}\]
Esta integral de\(\overline{\mathrm{E}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} \) a través de cualquier rama produce el voltaje a través de esa rama. Por lo tanto, la suma de los voltajes de ramificación alrededor de cualquier contorno cerrado es cero si el flujo magnético neto a través de ese contorno es constante; esta es la suposición básica de KVL.
KVL es claramente válido para cualquier circuito estático. Sin embargo, cualquier rama que lleve corriente variable en el tiempo contribuirá con flujo magnético variable en el tiempo y, por tanto, voltaje a todos los bucles adyacentes más otros cercanos. Estas contribuciones de voltaje son típicamente insignificantes porque las corrientes y las áreas de bucle son pequeñas en relación con las longitudes de onda de interés (λ = c/f) y luego se aplica la aproximación KVL. Un enfoque estándar para analizar circuitos que violan KVL es determinar la energía magnética o inductancia asociada con cualquier campo magnético ajeno, y modelar sus efectos en el circuito con una inductancia parásita agrupada en cada bucle de corriente afectado.
La relación complementaria con KVL es la ley actual de Kirchoff (KCL), que dice que la suma de las corrientes i j que fluyen hacia cualquier nodo es cero:
\[\sum_{j} \mathrm{i}_{j}=0 \qquad \qquad \qquad \text{(Kirchoff’s current law)} \]
Esto se desprende de la conservación de carga (2.4.19) cuando no se permite el almacenamiento de cargo en los nodos:
\[(\partial / \partial \mathrm{t}) \int \int \int_{\mathrm{V}} \rho \mathrm{d} \mathrm{v}=-\oiint_{\mathrm{A}} \overline{\mathrm{J}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{a}} \qquad\qquad\qquad \text{(conservation of charge) } \]
Si no se puede almacenar ningún cargo en el volumen V de un nodo, entonces\((\partial / \partial \mathrm{t}) \int \int \int_{\mathrm{V}} \rho \mathrm{d} \mathrm{v}=0 \), y puede haber V no hay corriente neta en ese nodo.
Para problemas estáticos, KCL es exacto. Sin embargo, los nodos físicos y los cables que conectan esos nodos a elementos agrupados típicamente exhiben voltajes variables y\(\vec D\), y por lo tanto tienen capacitancia y la capacidad de almacenar carga, violando KCL. Si la frecuencia es suficientemente alta como para que dicha capacitancia parásita en cualquier nodo sea importante, esa capacitancia parásita se puede modelar como un elemento agrupado adicional unido a ese nodo.
Resolviendo problemas de circuito
Para determinar el comportamiento de cualquier circuito de elemento agrupado lineal dado se debe resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas, donde el número de ecuaciones debe ser igual o superior al número de incógnitas. Las incógnitas son generalmente los voltajes y corrientes en cada rama; si hay ramas b hay 2b incógnitas.
La Figura 3.4.2 (a) ilustra un circuito simple con b = 12 ramas, p = 6 bucles y n = 7 nodos. Un conjunto de corrientes de bucle caracteriza de manera única todas las corrientes si cada bucle da un solo “agujero” en la topología y si no se agregan bucles adicionales una vez que cada rama en el circuito se incorpora en al menos un bucle. Aunque otras definiciones para las corrientes de bucle pueden caracterizar adecuadamente todas las corrientes ramificadas, no se exploran aquí. La Figura 3.4.2 (b) ilustra un circuito puente con b = 6, p = 3 y n = 4.
El circuito más simple posible tiene un nodo y una rama, como se ilustra en la Figura 3.4.3 (a).
Es fácil ver por la figura que el número b de ramas en un circuito es:
\[b=n+p-1 \]
A medida que agregamos nodos o ramas al circuito ilustrado en cualquier secuencia y con cualquier ubicación, la Ecuación (3.4.5) siempre se obedece. Si agregamos fuentes de voltaje o corriente al circuito, ellas también se convierten en ramas.
El voltaje y la corriente para cada rama son inicialmente desconocidos y por lo tanto cualquier circuito tiene 2b incógnitas. El número de ecuaciones también es b + (n — 1) + p = 2b, donde el primer b en esta expresión corresponde a las ecuaciones que relacionan voltaje a corriente en cada rama, n-1 es el número de ecuaciones KCL independientes, y p es el número de bucles y ecuaciones KVL; (3.4.5) dice (n — 1) + p = b Por lo tanto, dado que el números de incógnitas y ecuaciones lineales coinciden, podemos resolverlas. Las ecuaciones son lineales porque las ecuaciones de Maxwell son lineales para circuitos RLC.
A menudo, los circuitos son tan complejos que es conveniente para fines de análisis reemplazar grandes secciones de ellos con un circuito equivalente a Thevenin de dos terminales o un circuito equivalente a Norton. Esto solo se puede hacer cuando ese circuito es incrementalmente lineal con respecto a las tensiones impuestas en sus terminales. Los circuitos equivalentes de Thevenin consisten en una fuente de voltaje V Th (t) en serie con un circuito lineal pasivo caracterizado por su impedancia dependiente de la frecuencia\(\underline{Z}(\omega)=\mathrm{R}+\mathrm{jX}\), mientras que los circuitos equivalentes de Norton consisten en una fuente de corriente I No (t) en paralelo con una impedancia\(\underline{Z}(\omega)\).
Un ejemplo importante de la utilidad de los circuitos equivalentes es el problema de diseñar una carga coincidente\(\underline{Z}_{L}(\omega)=R_{L}(\omega)+j X_{L}(\omega) \) que acepte la cantidad máxima de energía disponible de un circuito fuente lineal, y no refleje ninguna. La solución es simplemente diseñar la carga para que su impedancia\(\underline{Z}_{L}(\omega)\) sea el complejo conjugado de la impedancia de la fuente:\(\underline{Z}_{\mathrm{L}}(\omega)=\underline{Z}^{*}(\omega) \). Tanto para las fuentes equivalentes de Thevenin como de Norton la reactancia de la carga coincidente cancela la de la fuente [X L (ω) = - X (ω)] y las dos partes resistivas se establecen iguales, R = R L.
Una prueba de que una carga igualada maximiza la transferencia de potencia consiste en calcular la potencia promedio temporal P d disipada en la carga en función de su impedancia, equiparando a cero su derivada dP d/dω, y resolver la compleja ecuación resultante para R L y X L. Excluimos aquí la posibilidad de resistencias negativas a menos que las de la carga y fuente tengan el mismo signo; de lo contrario la potencia transferida puede ser infinita si R L = -R.
El circuito puente de la Figura 3.4.2 (b) tiene cinco ramas que conectan cuatro nodos en todas las formas posibles excepto uno. Supongamos que ambas ramas paralelas tienen resistencias de 0.1-ohm y 0.2-ohm en serie, pero en orden inverso para que R 1 = R 4 = 0.1, y R 2 = R 3 = 0.2. ¿Cuál es la resistencia R del circuito puente entre los nodos a y d si R 5 = 0? ¿Qué es R si R 5 = ∞? ¿Qué es R si R 5 es 0.5 ohmios?
Solución
Cuando R 5 = 0 entonces los voltajes de nodo v b = v c, por lo que R 1 y R 3 están conectados en paralelo y tienen la resistencia equivalente R 13//. La ley actual de Kirchoff “KCL” (3.4.3) dice que la corriente que fluye al nodo “a” es I = (v a - v b) (R 1 -1 + R 3 -1). Si V ab ≡ (v a - v b), entonces V ab = IR 13// y R 13// = (R 1 -1 + R 3 -1) -1 = (10+5) -1 = 0.067Ω = R 24//. Estos dos circuitos están en serie por lo que sus resistencias suman: R = R 13// + R 24// 0.133 ohmios. Cuando R 5 = ∞, R 1 y R2 están en serie con una resistencia total R 12s de 0.1 + 0.2 = 0.3Ω = R 34s. Estas dos resistencias, R 12s y R 34s están en paralelo, por lo que R = (R 12s -1 + R 34s -1) -1 = 0.15Ω. Cuando R 5 es finito, entonces se deben resolver ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, las corrientes que fluyen hacia cada uno de los nodos a, b y c suman a cero, produciendo tres ecuaciones simultáneas que se pueden resolver para el vector\(\overline{\mathrm{V}}=\left[\mathrm{v}_{\mathrm{a}}, \mathrm{v}_{\mathrm{b}}, \mathrm{v}_{\mathrm{c}}\right]\); definimos v d = 0. Así
\(\left(\mathrm{v}_{\mathrm{a}}-\mathrm{v}_{\mathrm{b}}\right) / \mathrm{R}_{1}+\left(\mathrm{v}_{\mathrm{a}}-\mathrm{v}_{\mathrm{c}}\right) / \mathrm{R}_{3}=\mathrm{I}=\mathrm{v}_{\mathrm{a}}\left(\mathrm{R}_{1}^{-1}+\mathrm{R}_{3}^{-1}\right)-\mathrm{v}_{\mathrm{b}} \mathrm{R}_{1}^{-1}-\mathrm{v}_{\mathrm{c}} \mathrm{R}_{3}^{-1}=15 \mathrm{v}_{\mathrm{a}}-10 \mathrm{v}_{\mathrm{b}}-5 \mathrm{v}_{\mathrm{c}}\).
KCL para los nodos b y c de manera similar rendimiento: -10v a + 17v b - 2v c = 0, y -5v a -2v b + 17v c = 0. Si definimos el vector actual\(\overline{\mathrm{I}}=[\mathrm{I}, 0,0]\), entonces estas tres ecuaciones se pueden escribir como una ecuación matricial:
\[\overline{\overline{\mathrm{G}}} \overline{\mathrm{v}}=\overline{\mathrm{I}}, \text { where } \overline{\overline{\mathrm{G}}}=\left[\begin{array}{ccc} 15 & -10 & -5 \\ -10 & 17 & -2 \\ -5 & -2 & 17 \end{array}\right]. \nonumber\]
Dado que la resistencia de circuito deseada entre los nodos a y d es R = v a/I, solo necesitamos resolver para v a en términos de I, que se desprende de\(\overline{\mathrm{v}}=\overline{\overline{\mathrm{G}}}^{-1} \overline{\mathrm{I}}\), siempre que la matriz\(\overline{\overline{\mathrm{G}}}\) de conductancia no sea singular (aquí no lo es). Así, R = 0.146Ω, que es intermedio entre las dos primeras soluciones, como debería ser.