4.1: Introducción a los campos estáticos y cuasistáticos

Los campos eléctricos y magnéticos estáticos se rigen por las formas estáticas de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial e integral para las cuales /t → 0:

\[\begin{align} \nabla \times \overline{\mathrm{E}}&=0 \quad \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{E}} \cdot \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}&&=0 \label{4.1.1} \\[4pt] \nabla \times \overline{\mathrm{H}}&=\overline{\mathrm{J}} \quad \oint_{\mathrm{C}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}} &&=\iint_{\mathrm{A}} \mathrm{J} \bullet \hat{n} \mathrm{d} \mathrm{a} \label{4.1.2} \\[4pt]\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}} &=\rho \quad \oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}} \bullet \hat{n}) \mathrm{da}&&=\int \int \int_{\mathrm{V}} \rho \mathrm{d} \mathrm{v}=\mathrm{Q} \label{4.1.3} \\[4pt] \nabla \bullet \overline{\mathrm{B}}&=0 \quad \oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}) \mathrm{da}&&=0 \label{4.1.4} \end{align}\]

Como se muestra en (1.3.5), la ley de Gauss (Ecuación\ ref {4.1.3}) conduce al resultado de que una carga de un solo punto\(Q\) en el origen en rendimientos de vacío produce un campo eléctrico en un radio\(r\) de:

\[\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{r})=\hat{\mathrm{r}} \mathrm{Q} / 4 \pi \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{r}^{2}\]

La superposición de tales contribuciones a E (r) de una distribución de carga ρ (r ') ubicada dentro del volumen V' rinde:

\[\mathrm{E}(\mathrm{T})=\hat{\mathrm{r}} \int \int \int \int_{\mathrm{V}^{\prime}} \frac{\rho(\overrightarrow{\mathrm{r}})}{4 \pi \varepsilon_{\mathrm{o}}|\mathrm{r}-\overrightarrow{\mathrm{r}}|^{2}} \mathrm{d} \mathrm{v}^{\prime}\]

donde r está fuera de la integral porque\(r \gg 3 V'\). Una derivación más compleja dada en la Sección 10.1 produce la ecuación correspondiente para los campos magnéticos estáticos:

\[\mathrm{H}(\mathrm{r}, \mathrm{t})=\int \int \int_{\mathrm{V}^{\prime}} \frac{\overline{\mathrm{J}} \times(\overline{\mathrm{r}}-\overrightarrow{\mathrm{r}})}{4 \pi\left|\overline{\mathrm{r}}-\overrightarrow{\mathrm{r}}^{\prime}\right|^{3}} \mathrm{d} \mathrm{v}^{\prime} \]

Cualquier campo eléctrico estático puede estar relacionado con una distribución de potencial eléctrico\(\Phi\) [voltios] porque ×\(\overline{E}\) = 0 implica\(\overline{E}\) =\(\Phi\) -, donde la diferencia de voltaje entre dos puntos (1.3.12) es:

\[\Phi_{1}-\Phi_{2}=\int_{1}^{2} \overline{\mathrm{E}} \cdot \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}\]

De igual manera, en las regiones libres de corriente del espacio\( \nabla \times \overline{\mathrm{H}}=0\) implica\( \overline{\mathrm{H}}=-\nabla \Psi\) [Amperios], donde\(\Psi\) está el potencial magnético. Por lo tanto, la diferencia de potencial magnético entre dos puntos es:

\[\Psi_{1}-\Psi_{2}=\int_{1}^{2} \bar{H} \cdot d \bar{s}\]

Esta definición de potencial magnético es útil para comprender los circuitos magnéticos discutidos en la Sección 4.4.3.

A menudo no todas las cargas y corrientes de fuente se dan porque algunas residen en superficies equipotenciales dadas y asumen una distribución desconocida consistente con esa restricción. Para abordar este caso, las ecuaciones de Maxwell pueden ser simplemente manipuladas para formar la ecuación de Laplace, que a veces puede resolverse por separación de variables, como se discute en la Sección 4.5, o generalmente por métodos numéricos. La Sección 4.6 luego analiza la utilidad de los tubos de flujo y el mapeo de campo para comprender las distribuciones de campos estáticos.

La cuasistática asume que las intensidades de campo cambian tan lentamente que los campos eléctricos y magnéticos inducidos por esos cambios (las contribuciones hacia\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) desde los términos /t en las leyes de Faraday y Ampere) son suficientemente pequeños como para que sus propios campos inducidos (∝ (/t) ²) puedan ser descuidados; por lo tanto, sólo son de interés los campos originarios e inducidos de primer orden. Los ejemplos cuasistáticos se discutieron en el Capítulo 3 en el contexto de resistencias, capacitores e inductores. La técnica de imagen especular descrita en la Sección 4.2 se utiliza para problemas estáticos, cuasistáticos y dinámicos y, por cierto, en la discusión en la Sección 4.3 sobre la relajación exponencial de las intensidades de campo en los medios conductores y la profundidad de la piel.