4.2: Cargas y corrientes de imagen especular

Una técnica de resolución de problemas muy útil es cambiar la definición del problema por una que sea más fácil de resolver pero que se sepa que tiene la misma respuesta. Un excelente ejemplo de este enfoque es el uso de cargas y corrientes de imagen especular, que también funciona para problemas de onda. ¹⁰

10 Otro ejemplo de este enfoque es el uso de la dualidad entre\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\), como se discute en la Sección 9.2.6.

Figura\(\PageIndex{1}\): Carga de imagen para un conductor perfecto plano infinito.

Considerar el problema de encontrar los campos producidos por una carga ubicada a una distancia d por encima de un plano infinito perfectamente conductor, como se ilustra en la Figura 4.2.1 (a). Las condiciones de límite en el conductor requieren solo que las líneas de campo eléctrico sean perpendiculares a su superficie. Cualquier otro conjunto de condiciones de contorno que imponga la misma restricción debe producir la misma solución única en virtud del teorema de singularidad de la Sección 2.8.

Uno de esos conjuntos de condiciones de límite equivalentes invoca una carga duplicada de imagen especular a una distancia 2d de la carga original y de signo opuesto; se elimina el conductor. La simetría para cargas iguales y opuestas requiere que las líneas\(\overline{\mathrm{E}}\) de campo eléctrico sean perpendiculares a la superficie original del conductor en z = 0; esto resulta en\(\overline{\mathrm{E}}\) ser exactamente como lo fue para z > 0 cuando el conductor estuvo presente, como se ilustra en la Figura 4.2.1 (b). Por lo tanto, la singularidad dice que por encima del medio plano los campos producidos por la carga original más su imagen especular son idénticos a los del problema original. Los campos por debajo del medio plano original son claramente diferentes, pero no son relevantes para el problema original.

Esta equivalencia se aplica para cargos múltiples o para una distribución de cargos, como se ilustra en la Figura 4.2.2. De hecho, el método de imagen especular sigue siendo válido siempre y cuando las cargas cambien de valor o posición lentamente con respecto al tiempo de relajación ε/σ del conductor, como se discute en la Sección 4.4.1. El tiempo de relajación es la constante de tiempo 1/e requerida para que las cargas dentro del conductor se aproximen a nuevas posiciones de equilibrio después de que la distribución de carga de la fuente fuera cambia.

Figura\(\PageIndex{2}\): Múltiples cargas de imagen.

Debido a que el método de imagen especular funciona para cargas variables o móviles, funciona para las corrientes que deben asociarse con ellas por conservación de carga (2.1.21), como se sugiere en la Figura 4.2.3 (a) y (b). La Figura 4.2.3 (d) también sugiere cómo los campos magnéticos producidos por estas corrientes satisfacen las condiciones límite para el plano conductor: en la superficie de un conductor perfecto\(\overline{\mathrm{H}}\) es solo paralelo.

El método de imagen especular continúa funcionando si el medio plano superior contiene un conductor, como se ilustra en la Figura 4.2.4; el conductor también debe ser fotografiado. Estos conductores pueden incluso estar en ángulos, como se sugiere en la Figura 4.2.4 (b). La región sobre la que son válidos los campos deducidos está naturalmente restringida a la abertura original entre los conductores. Se pueden usar configuraciones de imagen aún más complejas para otras colocaciones de conductores, e incluso pueden implicar una serie infinita de cargas y corrientes de imagen progresivamente más pequeñas.

Figura\(\PageIndex{3}\): Corrientes de imagen.

Figura\(\PageIndex{4}\): Cargas y corrientes de imagen para conductores de intersección.