4.6: Tubos de flujo y mapeo de campo
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Tubos de flujo de campo estático
Los tubos de flujo se designan arbitrariamente haces de líneas estáticas eléctricas o de campo magnético en regiones libres de carga, como se ilustra en la Figura 4.6.1.
La divergencia de tales campos estáticos es cero en virtud de las leyes de Gauss, y su rizo es cero en virtud de las leyes de Faraday y Ampere. Las formas integrales de las leyes de Gauss, (2.4.17) y (2.4.18), dicen que el desplazamiento eléctrico total D o flujo magnético B que cruza la superficie A de un volumen V debe ser cero en una región libre de carga:
\[ \oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{D}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=0\]
\[\oiint_{\mathrm{A}}(\overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=0 \]
Por lo tanto, si las paredes de los tubos de flujo son paralelas a los campos entonces las paredes no aportan nada a las integrales (4.6.1) y (4.6.2) y el flujo total que ingresa al área A1 del tubo de flujo en un extremo (A1) debe ser igual al que sale por el área A2 en el otro extremo, como se ilustra:
\[ \oiint_{\mathrm{A} 1}(\overline{\mathrm{D}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=-\oiint_{\mathrm{A} 2}(\overline{\mathrm{D}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}\]
\[ \oiint_{\mathrm{A} 1}(\overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}=-\oiint_{\mathrm{A} 2}(\overline{\mathrm{B}} \bullet \hat{n}) \mathrm{d} \mathrm{a}\]
Considera dos superficies con diferencias de potencial entre ellas, como se ilustra en la Figura 4.6.1. Se muestra un tubo de flujo representativo y todos los demás campos se omiten de la figura. Las líneas de campo podrían corresponder a cualquiera\(\overline{\mathrm{D}}\) o\(\overline{\mathrm{B}}\). Constante ε y μ no son necesarios para\(\overline{\mathrm{D}}\) y tubos de\(\overline{\mathrm{B}}\) flujo porque D y\(\overline{\mathrm{B}}\) ya incorporan los efectos de medios no homogéneos. Si la permitividad ε y la permeabilidad μ fueran constantes entonces la cifra también podría aplicarse a\(\overline{\mathrm{E}}\) o\(\overline{\mathrm{H}}\), respectivamente.
Mapeo de campo
\(\overline{\mathrm{E}}\)y\(\overline{\mathrm{H}}\) son gradientes de los potenciales Φ y ψ, respectivamente [ver (4.6.2) y (4.6.5)], y por lo tanto las superficies equipotenciales son perpendiculares a sus campos correspondientes, como se sugiere en la Figura 4.6.1. Esta ortogonalidad conduce a una técnica útil llamada mapeo de campo para bosquejar distribuciones de campo aproximadamente correctas dadas superficies de forma arbitraria a potenciales conocidos. El método es particularmente sencillo para geometrías “bidimensionales” que dependen únicamente de las coordenadas x, y y son independientes de z, como el par de superficies circulares ilustradas en la Figura 4.6.2 (a) y el par de óvalos en la Figura 4.6.2 (b). Supongamos que el potencial de la superficie interna es\(\Phi_{1}\) o\(\Psi_{1}\), y que en la superficie exterior es\(\Phi_{2}\) o\( \Psi_{2}\).
Debido a que: 1) el espaciamiento lateral entre las superficies equipotenciales adyacentes y (en geometrías bidimensionales) entre las líneas de campo adyacentes son inversamente proporcionales a la intensidad del campo local, y 2) los equipotenciales y las líneas de campo son mutuamente ortogonales, se deduce que la forma rectangular del las celdas formadas por estas líneas adyacentes se conservan sobre el campo incluso cuando las intensidades de campo y los tamaños de celda varían. Es decir, el cuadrado curvilíneo ilustrado en la Figura 4.6.2 (a) tiene aproximadamente la misma forma (pero no tamaño) que todas las demás celdas de la figura, y se acerca a un cuadrado perfecto ya que las celdas se subdividen indefinidamente. Si se dibuja perfectamente, cualquier distribución de potencial estático bidimensional se puede subdividir indefinidamente en tales celdas cuadradas curvilíneas.
Un algoritmo para realizar tal subdivisión es comenzar por esbozar una superficie equipotencial de primera conjetura que: 1) separa los dos (o más) límites equipotenciales y 2) es ortogonal a las líneas de campo de primera estimación, que también se pueden esbozar. Estas líneas de campo deben ser otogonales a los límites equipotenciales. Por ejemplo, esta primera superficie bosquejada podría tener potencial\(\left(\Phi_{1}+\Phi_{2}\right) / 2\), donde\(\Phi_{1}\) y\(\Phi_{2}\) son los potenciales aplicados. El espaciado entre las líneas de campo inicialmente esbozadas y entre las superficies equipotenciales iniciales debe formar cuadrados curvilíneos aproximados. Cada uno de esos cuadrados se puede subdividir en cuatro cuadrados curvilíneos más pequeños usando el mismo algoritmo. Si las conjeturas iniciales eran correctas, entonces los cuadrados curvilíneos se acercan a los cuadrados verdaderos cuando se subdividen infinitamente. Si no lo hacen, la primera conjetura se revisa apropiadamente y el proceso puede repetirse hasta que se logre la perspicacia o perfección deseada. En general habrá algunos cuadrados fraccionarios dispuestos a lo largo de una de las líneas de campo, pero estos se vuelven despreciables en el límite.
La Figura 4.6.2 (a) ilustra cómo los tubos de flujo en una geometría coaxial son radiales con una intensidad de campo inversamente proporcional al radio. Por lo tanto, al diseñar sistemas limitados por la intensidad de campo máxima permitida, se evita incorporar superficies con pequeños radios de curvatura o puntos afilados. La Figura 4.6.2 (b) ilustra cómo se puede adaptar el método a límites conformados arbitrariamente, aunque con más dificultad. Los algoritmos basados en computadora que utilizan técnicas de relajación pueden implementar tales estrategias rápidamente para geometrías bidimensionales y tridimensionales. En tres dimensiones, sin embargo, el espaciado entre las líneas de campo varía inversamente con la raíz cuadrada de su fuerza, por lo que la relación altura-ancho de los rectángulos curvilíneos tridimensionales formados por las líneas de campo y potenciales no se conserva a través de la estructura.