4.5: Ecuación de Laplace y separación de variables

Ecuación de Laplace

Los campos eléctricos y magnéticos obedecen las leyes de Faraday y Ampere, respectivamente, y cuando los campos son estáticos y la carga y la corriente son cero tenemos:

\[ \nabla \times \overline{\mathrm{E}}=0\]

\[ \nabla \times \overline{\mathrm{H}}=0\]

Estas ecuaciones son satisfechas por cualquiera\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) que se pueden expresar como el gradiente de un potencial:

\[ \overline{\mathrm{E}}=-\nabla \Phi \]

\[ \overline{\mathrm{H}}=-\nabla \Psi\]

Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell para regiones de espacio libres de carga estática se satisfacen para cualquier función potencial diferenciable arbitraria\(\Phi(\overline{\mathrm{r}}) \) y\( \Psi(\overline{\mathrm{r}})\), que se puede determinar como se analiza a continuación.

Cualquier función potencial debe ser consistente con las condiciones de límite dadas, y con las leyes de Gauss en espacios libres de carga estática y corriente:

\[\nabla \bullet \overline{\mathrm{D}}=0 \]

\[ \nabla \bullet \overline{\mathrm{B}}=0\]

dónde\( \overline{\mathrm{D}}=\varepsilon \overline{\mathrm{E}}\) y\( \overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}\). Sustituir (4.5.3) en (4.5.5) y (4.5.4) en (4.5.6) produce la ecuación de Laplace:

\[ \nabla^{2} \Phi=\nabla^{2} \Psi=0 \qquad \qquad \qquad \text{(Laplace’s equation) }\]

Para encontrar campos estáticos eléctricos o magnéticos producidos por cualquier conjunto dado de condiciones de límite solo necesitamos resolver la ecuación de Laplace (4.5.7) para\(\Phi\) o\(\Psi\), y luego usar (4.5.3) o (4.5.4) para calcular el gradiente del potencial. Un enfoque para resolver la ecuación de Laplace se desarrolla en la siguiente sección.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

¿El potencial\(\Phi\) = 1/r satisface la ecuación de Laplace ²\(\Phi\) = 0, donde r = (x ² + y ² + z ²) ^0.5?

Solución

\(\nabla^{2}=\partial^{2} / \partial \mathrm{x}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{y}^{2}+\partial^{2} / \partial \mathrm{z}^{2}\).

Primero:\( (\partial / \partial x)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-0.5}=-0.5\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1.5}(2 x)\),

así\(\left(\partial^{2} / \partial x^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-0.5}=0.75\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2.5}(2 x)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1.5} \).

Por lo tanto

\[ \left(\partial^{2} / \partial x^{2}+\partial^{2} / \partial y^{2}+\partial^{2} / \partial z^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-0.5}=3\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2.5}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-3\left(x^{2}+y^{2}\right.\left.+z^{2}\right)^{-1.5}=0 \nonumber.\]

Entonces este potencial satisface la ecuación de Laplace. El álgebra podría haberse simplificado si en cambio escribiéramos ² en coordenadas esféricas (ver Apéndice C), porque solo el término radial es potencialmente distinto de cero para\(\Phi\) = 1/r: ² = r ^-2 (/r) (r ² /r). En este caso el factor más a la derecha es r ² r ^-1 /r = r ² (-r ^-2) = -1, y (-1) /r = 0, por lo que nuevamente ²\(\Phi\) = 0.

Separación de variables

Podemos encontrar soluciones analíticas simples a la ecuación de Laplace solo en algunos casos especiales para los cuales las soluciones pueden ser factorizadas en productos, cada uno de los cuales depende solo de una sola dimensión en algún sistema de coordenadas compatible con la geometría de los límites dados. Este proceso de separar la ecuación y las soluciones de Laplace en factores unidimensionales se denomina separación de variables. Se ilustra más fácilmente en términos de dos dimensiones. Supongamos que la solución puede ser factorizada:

\[\Phi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{X}(\mathrm{x}) \mathrm{Y}(\mathrm{y})\]

Entonces la ecuación de Laplace se convierte en:

\[\nabla^{2} \Phi=\partial^{2} \Phi / \partial \mathrm{x}^{2}+\partial^{2} \Phi / \partial \mathrm{y}^{2}=\mathrm{Y}(\mathrm{y}) \mathrm{d}^{2} \mathrm{X} / \mathrm{d} \mathrm{x}^{2}+\mathrm{X}(\mathrm{x}) \mathrm{d}^{2} \mathrm{Y} / \mathrm{dy}^{2}=0 \]

Dividiendo por X (x) Y (y) rinde:

\[\left[\mathrm{d}^{2} \mathrm{X}(\mathrm{x}) / \mathrm{dx}^{2}\right] / \mathrm{X}(\mathrm{x})=-\left[\mathrm{d}^{2} \mathrm{Y}(\mathrm{y}) / \mathrm{dy}^{2}\right] / \mathrm{Y}(\mathrm{y}) \]

Dado que (4.5.10) debe ser cierto para todos los valores de x, y, se deduce que cada término debe ser igual a una constante k ², llamada constante de separación, de manera que:

\[\mathrm{d}^{2} \mathrm{X} / \mathrm{dx}^{2}=-\mathrm{k}^{2} \mathrm{X} \qquad\qquad\qquad \mathrm{d}^{2} \mathrm{Y} / \mathrm{dy}^{2}=\mathrm{k}^{2} \mathrm{Y}\]

Las soluciones genéricas a (4.5.11) son, para k ≠ 0:

\[ X(x)=A \cos k x+B \sin k x\]

\[Y(y)=C \cosh k y+D \sinh k y \]

Una alternativa equivalente es\( Y(y)=C^{\prime} e^{k y}+D^{\prime} e^{-k y}\). Las soluciones genéricas cuando k = 0 son:

\[X(x)=A x+B \]

\[Y(y)=C y+D \]

Tenga en cuenta que al dejar k → jk, la dependencia x sinusoidal se vuelve hiperbólica, y la dependencia hiperbólica y se vuelve sinusoidal—los roles de x e y se invierten. Si k es cero, real, imaginario o complejo depende de las condiciones límite. Las combinaciones lineales de soluciones a ecuaciones diferenciales también son soluciones a esas mismas ecuaciones, y tales combinaciones a menudo se requieren para que coincidan con las condiciones de contorno.

Estas soluciones univariables se pueden combinar para producir las tres formas de solución para las coordenadas x-y:

\[ \Phi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{A}+\mathrm{Bx})(\mathrm{C}+\mathrm{Dy}) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text { for } \mathrm{k}=0\]

\[\Phi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{A} \cos \mathrm{kx}+\mathrm{B} \sin \mathrm{kx})(\mathrm{C} \cosh \mathrm{ky}+\mathrm{D} \sinh \mathrm{ky}) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text { for } \mathrm{k}^{2}>0 \]

\[ \Phi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{A} \cosh \mathrm{q} \mathrm{x}+\mathrm{B} \sinh \mathrm{q} \mathrm{x})(\mathrm{C} \cos \mathrm{qy}+\mathrm{D} \sin \mathrm{qy}) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text { for } \mathrm{k}^{2}<0(\mathrm{k}=\mathrm{j} \mathrm{q})\]

Este enfoque puede extenderse a tres dimensiones cartesianas dejando\(\Phi\) (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z); esto lleva a la solución ¹¹:

\[\Phi(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(\mathrm{A} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}+\mathrm{B} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{x}} \mathrm{x}\right)\left(\mathrm{C} \cos \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}+\mathrm{D} \sin \mathrm{k}_{\mathrm{y}} \mathrm{y}\right)\left(\mathrm{E} \cosh \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}+\mathrm{F} \sinh \mathrm{k}_{\mathrm{z}} \mathrm{z}\right) \]

donde\(\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}+\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}=0 \). Ya que\( \mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}\),\( \mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}\), y\( \mathrm{k}_{2}^{2}\) debe sumar a cero,\( \mathrm{k}_{\mathrm{i}}^{2}\) debe ser negativo para una o dos coordenadas de manera que la solución sea sinusoidal a lo largo de uno o dos ejes e hiperbólica a lo largo de los demás.

¹¹ Si\(\Phi(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{X}(\mathrm{x}) \mathrm{Y}(\mathrm{y}) \mathrm{Z}(\mathrm{z})\), entonces\(\nabla^{2} \Phi=\mathrm{YZd}^{2} \mathrm{X} / \mathrm{dx}^{2}+\mathrm{XZd}^{2} \mathrm{Y} / \mathrm{dy}^{2}+\mathrm{XYd}^{2} \mathrm{Z} / \mathrm{dz}^{2}\). Dividir por rendimientos XYZ\(X^{-1} \mathrm{d}^{2} \mathrm{X} / \mathrm{d} \mathrm{x}^{2}+\mathrm{Y}^{-1} \mathrm{d}^{2} \mathrm{Y} / \mathrm{dy}^{2}+\mathrm{Z}^{-1} \mathrm{d}^{2} \mathrm{Z} / \mathrm{dz}^{2}=0\), lo que implica que los tres términos deben ser constantes si la ecuación se mantiene para todos x, y, z; que estas constantes sean\( \mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2}\)\( \mathrm{k}_{\mathrm{y}}^{2}\), y\( \mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}\), respectivamente. Entonces\(\mathrm{d}^{2} \mathrm{X}(\mathrm{y}) / \mathrm{d} \mathrm{x}^{2}=\mathrm{k}_{\mathrm{x}}^{2} \mathrm{X}(\mathrm{x}) \), y la solución (4.5.19) sigue cuando solo\(\mathrm{k}_{\mathrm{z}}^{2}>0\).

Una vez establecida la forma de la solución, se selecciona la forma correcta, (4.5.16) a (4.5.19), y se determinan las constantes desconocidas para que la solución coincida con las condiciones de contorno dadas, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Figura\(\PageIndex{1}\): Potenciales y campos estáticos en una ranura rectangular conductora accionada sinusoidalmente.

Considera una ranura infinitamente larga de ancho w y profundidad d cortada en una losa perfectamente conductora, y supongamos que la cubierta a la ranura tiene la distribución de voltaje V (x) = 5 sin (\(\pi\)x/w) voltios, como se ilustra en la Figura 4.5.1 (a). Este es un problema de coordenadas cartesianas bidimensionales, por lo que la solución (4.5.17) es apropiada, donde debemos asegurar que esta expresión produzca potenciales que tengan el voltaje dado a través de la parte superior de la ranura y potencial cero sobre los límites laterales e inferiores de la ranura. Así:

\[\Phi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{A} \sin (\pi \mathrm{x} / \mathrm{w}) \sinh (\pi \mathrm{y} / \mathrm{w}) \quad[\text { volts }] \]

donde se eligieron las opciones senoidal y sinh ¹² de (4.5.17) para que coincidieran con los potenciales dados en los cuatro límites, y donde A 5 sinh = (\(\pi\)Dw) para igualar el potencial dado a través de la parte superior de la ranura.

La Figura 4.5.1 (b) ilustra la solución para el caso en el que el potencial a través de la parte superior abierta de la ranura se da como V (x) = sin 2\(\pi\) x/w. Si se aplica un voltaje arbitrario V (x) a través de la abertura en la parte superior de la ranura, entonces se puede usar una suma de ondas sinusoidales para coincidir con las condiciones de límite.

Aunque todos estos ejemplos fueron en términos de campos eléctricos estáticos\(\overline{\mathrm{E}} \) y potenciales\(\Phi\), igualmente bien podrían haberse planteado en términos de potencial estático\( \overline{\mathrm{H}}\) y magnético\(\Psi\); las formas de soluciones para\(\Psi\) son idénticas.

¹²\(\sinh x=\left(e^{x}-e^{-x}\right) / 2 \) y\(\cosh x=\left(e^{x}+e^{-x}\right) / 2 \).

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Una cierta región cuadrada obedece ²\(\Phi\) = 0 y tiene\(\Phi\) = 0 a lo largo de sus dos paredes en x = 0 y en y = 0. \(\Phi\)= V voltios en la esquina aislada x = y = L.\(\Phi\) aumenta linealmente de 0 a V a lo largo de las otras dos paredes. ¿Qué son\(\Phi\) (x, y) y\(\overline{\mathrm{E}}(\mathrm{x}, \mathrm{y})\) dentro del cuadrado?

Solución

La separación de variables permite gradientes lineales en potenciales en coordenadas rectangulares vía (4.5.14) y (4.5.15), por lo que el potencial puede tener la forma\(\Phi\) = (Ax + B) (Cy + D) donde B = D = 0 para este ejemplo. Las condiciones de contorno se emparejan para\(\Phi\) (x, y) = (V/L ²) xy [V]. De ello se desprende que:\(\overline{\mathrm{E}}=-\nabla \Phi=\left(\mathrm{V} / \mathrm{L}^{2}\right)(\hat{x} \mathrm{y}+\hat{y} \mathrm{x})\).

Separación de variables en coordenadas cilíndricas y esféricas

La ecuación de Laplace solo se puede separar en cuatro sistemas de coordenadas conocidos: cartesiano, cilíndrico, esférico y elíptico. La Sección 4.5.2 exploró la separación en coordenadas cartesianas, junto con un ejemplo de cómo se podrían aplicar las condiciones de contorno para determinar una solución total para el potencial y por lo tanto para los campos. El mismo procedimiento se puede utilizar en algunos otros sistemas de coordenadas, como se ilustra a continuación para coordenadas cilíndricas y esféricas.

Cuando no hay dependencia de la coordenada z, la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas se reduce a coordenadas circulares y es:

\[\nabla^{2} \Phi=\mathrm{r}^{-1}(\partial / \partial \mathrm{r})(\mathrm{r} \partial \Phi / \partial \mathrm{r})+\mathrm{r}^{-2}\left(\partial^{2} \Phi / \partial \phi^{2}\right)=0\]

El Apéndice C revisa el operador del en varios sistemas de coordenadas. De nuevo asumimos que la solución se puede separar:

\[\Phi=\mathrm{R}(\mathrm{r}) \Phi(\phi) \]

La sustitución de (4.5.22) en (4.5.21) y dividiendo por R (r)\(\Phi\) (\(\phi\)) rinde:

\[\mathrm{R}^{-1}(\mathrm{d} / \mathrm{dr})(\mathrm{r} \mathrm{dR} / \mathrm{dr})=-\Phi^{-1}\left(\mathrm{d}^{2} \Phi / \mathrm{d} \phi^{2}\right)=\mathrm{m}^{2}\]

donde m ² es la constante de separación.

La solución a (4.5.23) depende de si m ² es cero, positivo o negativo:

\[ \Phi(\mathrm{r}, \phi)=[\mathrm{A}+\mathrm{B} \phi][\mathrm{C}+\mathrm{D}(\ln \mathrm{r})] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \text {(for } \mathrm{m}_2= 0)\]

\[ \Phi(\mathrm{r}, \phi)=(\mathrm{A} \sin \mathrm{m} \phi+\mathrm{B} \cos \mathrm{m} \phi)\left(\mathrm{Cr}^{\mathrm{m}}+\mathrm{Dr}^{-\mathrm{m}}\right) \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\left(\text { for } \mathrm{m}^{2}>0\right)\]

\[\Phi(\mathrm{r}, \phi)=[\mathrm{A} \sinh \mathrm{p} \phi+\mathrm{B} \cosh \mathrm{p} \phi][\mathrm{C} \cos (\mathrm{p} \ln \mathrm{r})+\mathrm{D} \sin (\mathrm{p} \ln \mathrm{r})] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left(\text { for } \mathrm{m}^{2}<0\right) \]

donde A, B, C y D son constantes a determinar y m ≡ jp para m ² < 0.

A continuación se presentan algunos ejemplos de condiciones de contorno y las soluciones resultantes. El caso más simple es un campo uniforme en la\( +\hat{x}\) dirección; la solución que coincide con estas condiciones de límite es (4.5.25) para m = 1:

\[ \Phi(\mathrm{r}, \phi)=\mathrm{Br} \cos \phi\]

Otro ejemplo sencillo es el de un cilindro conductor de radio R y potencial V. Entonces el potencial dentro del cilindro es V y ese exterior decae como ln r, según lo dado por (1.3.12), cuando m = C = 0:

\[ \Phi(\mathrm{r}, \phi)=(\mathrm{V} / \ln \mathrm{R}) \ln \mathrm{r}\]

El campo eléctrico asociado a este potencial eléctrico es:

\[ \overline{\mathrm{E}}=-\nabla \Phi=-\hat{\mathrm{r}} \partial \Phi / \partial \mathrm{r}=\hat{\mathrm{r}}(\mathrm{V} / \ln \mathrm{R}) \mathrm{r}^{-1}\]

Así\(\overline{\mathrm{E}}\) se dirige radialmente lejos del cilindro conductor si V es positivo, y decae como r ^-1.

Un último ejemplo interesante es el de un cilindro dieléctrico perpendicular a un campo eléctrico aplicado\( \overline{\mathrm{E}}=\hat{\mathrm{x}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}}\). Fuera del cilindro el potencial sigue de (4.5.25) para m = 1 y es:

\[\Phi(\mathrm{r}, \phi)=-\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \mathrm{r} \cos \phi+(\mathrm{AR} / \mathrm{r}) \cos \phi\]

El potencial interior no puede tener singularidad en el origen y es:

\[\Phi(\mathrm{r}, \phi)=-\mathrm{E}_{\mathrm{o}}(\mathrm{Br} / \mathrm{R}) \cos \phi\]

que corresponde a un campo eléctrico uniforme. Las constantes desconocidas A y B se pueden encontrar haciendo coincidir las condiciones de contorno en la superficie del cilindro dieléctrico, donde ambas\(\Phi\) y\(\overline{\mathrm{D}}\) deben ser continuas a través del límite entre las regiones 1 y 2. Las dos ecuaciones lineales deben ser continuas a través del límite entre las regiones 1 y 2. Las dos ecuaciones lineales para continuidad (\(\Phi_{1}\)=\(\Phi_{2}\), y\(\overline{\mathrm{D}}_{1}\) =\( \overline{\mathrm{D}}_{2}\)) se pueden resolver para las dos incógnitas A y B. Los campos eléctricos para este caso se esbozan en la Figura 4.5.2.

Figura\(\PageIndex{2}\): Campos eléctricos perpendiculares a un cilindro dieléctrico.

Si estas condiciones de contorno cilíndrico también varían con z, la solución a la ecuación de Laplace se convierte en:

\[\Phi(\mathrm{r}, \phi, \mathrm{z})=\Phi_{\mathrm{o}}\left[\mathrm{C}_{1} \mathrm{e}^{\mathrm{kz}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{e}^{-\mathrm{kz} 2}\right]\left[\mathrm{C}_{3} \cos \mathrm{n} \phi+\mathrm{C}_{4} \sin \mathrm{n} \phi\right]\left[\mathrm{C}_{5} \mathrm{J}_{\mathrm{n}}(\mathrm{kr})+\mathrm{C}_{6} \mathrm{N}_{\mathrm{n}}(\mathrm{kr})\right]\]

donde J _n y N _n son funciones de Bessel de orden n del primer y segundo tipo, respectivamente, y C _i son constantes adimensionales que coinciden con las condiciones de contorno. La complejidad cada vez mayor de estas soluciones a medida que aumenta la dimensionalidad del problema generalmente exige soluciones numéricas de tales problemas de valor límite en casos prácticos.

Nuestro ejemplo final involucra coordenadas esféricas, para lo cual las soluciones son:

\[\Phi(\mathrm{r}, \theta, \phi)=\Phi_{\mathrm{o}}\left[\mathrm{C}_{1} \mathrm{r}^{\mathrm{n}}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{r}^{-\mathrm{n}-1}\right]\left[\mathrm{C}_{3} \cos \mathrm{m} \phi+\mathrm{C}_{4} \sin \mathrm{m} \phi\right]\left[\mathrm{C}_{5} \mathrm{P}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}}(\cos \theta)+\mathrm{C}_{6} \mathrm{Q}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{m}}(\cos \theta)\right]\]

donde\( P_{n}^{m}\) y\( Q_{n}^{m}\) están asociadas funciones Legendre del primer y segundo tipo, respectivamente, y C _i son nuevamente constantes adimensionales elegidas para que coincidan con las condiciones de contorno. Ciertos problemas esféricos no invocan funciones Legendre, sin embargo, como se ilustra a continuación.

Una esfera dieléctrica insertada en un campo eléctrico uniforme\(\hat{x} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \) exhibe la misma forma general de solución que la varilla dieléctrica perpendicular a un campo eléctrico aplicado uniforme; la solución es la suma del campo aplicado y el campo dipolar producido por las cargas de polarización inducidas en el superficie de la varilla o esfera. Dentro de la esfera el campo es uniforme, como se sugiere en la Figura 4.5.2. Las cargas de polarización se discuten más a fondo en la Sección 2.5.3. El potencial se deriva de (4.5.33) con n = 1 y m = 0, y es simplemente:

\[\Phi(\mathrm{r}, \theta, \phi)=-\mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos \theta\left(\mathrm{C}_{1} \mathrm{r}-\mathrm{C}_{2} \mathrm{R}^{3} \mathrm{r}^{-2}\right)\]

donde C ₂ = 0 dentro, y para la región fuera del cilindro C ₂ es proporcional al dipolo eléctrico inducido. C ₁ afuera es unidad y el interior disminuye por debajo de la unidad a medida que ε aumenta.

Si la esfera en el campo eléctrico uniforme está conduciendo, entonces en (4.5.34) C ₁ = C ₂ = 0 dentro de la esfera, y el campo hay cero; la carga superficial es:

\[\rho_{\mathrm{s}}=-\left.\varepsilon_{\mathrm{o}} \hat{n} \bullet \nabla \Phi\right|_{\mathrm{r}=\mathrm{R}}=\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{r}}=3 \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}_{\mathrm{o}} \cos \theta \ \left[\mathrm{Cm}^{-2}\right]\]

Fuera de la esfera conductora C ₁ = 1, y para asegurar\(\Phi\) (r = R) = 0, C ₂ también debe ser unidad.

Las mismas consideraciones también se aplican a los potenciales magnéticos. Por ejemplo, una esfera de permeabilidad μ y radio R colocada en un campo magnético uniforme también tendría un dipolo magnético inducido que produce un campo magnético uniforme en su interior, y produce fuera de la superposición del campo uniforme original con un campo dipolo magnético producido por la esfera. Un ejemplo estrechamente relacionado implica una esfera de radio R que tiene corriente superficial:

\[\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}}=\hat{\phi} \sin \theta \ \left[\mathrm{Am}^{-1}\right]\]

Esto puede ser producido aproximadamente por una bobina enrollada en la superficie de la esfera con un número constante de vueltas por unidad de longitud a lo largo del eje z.

Para una esfera permeable en un campo magnético uniforme\(\overline{\mathrm{H}}=-\hat{z} \mathrm{H}_{\mathrm{o}} \), la solución a la ecuación de Laplace para el potencial magnético ²\(\Psi\) = 0 tiene una forma similar a (4.5.34):

\[\Psi(\mathrm{r}, \theta)=\mathrm{Cr} \cos \theta \qquad \qquad \qquad \text { (inside the sphere; } \mathrm{r}<\mathrm{R})\]

\[\left.\Psi(\mathrm{r}, \theta)=\mathrm{Cr}^{-2} \cos \theta+\mathrm{H}_{\mathrm{o}} \mathrm{r} \cos \theta \qquad\qquad\qquad \text { (outside the sphere; } \mathrm{r}>\mathrm{R}\right)\]

Usando\(\overline{\mathrm{H}}=-\nabla \Psi \), obtenemos:

\[\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{r}, \theta)=-2 \mathrm{C} \qquad \qquad \qquad \text { (inside the sphere; } \mathrm{r}<\mathrm{R})\]

\[\left.\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{r}, \theta)=-\mathrm{C}(\mathrm{R} / \mathrm{r})^{2}(\hat{r} \cos \theta+0.5 \hat{\theta} \sin \theta)-\hat{z} \mathrm{H}_{\mathrm{o}} \qquad\qquad\qquad \text { (outside the sphere; } \mathrm{r}>\mathrm{R}\right.)\]

La coincidencia de las condiciones de contorno en la superficie de la esfera produce C; por ejemplo, equiparar\( \overline{\mathrm{B}}=\mu \overline{\mathrm{H}}\) dentro a\(\overline{\mathrm{B}}=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H} \) afuera al igualar (4.5.39) a (4.5.40) para θ = 0.