5.1: Fuerzas en Libre Cargas y Corrientes

Ecuación de fuerza de Lorentz e introducción a la fuerza

La ecuación de fuerza de Lorentz (1.2.1) caracteriza completamente las fuerzas electromagnéticas sobre cargas estacionarias y móviles. A pesar de la simplicidad de esta ecuación, es altamente precisa y esencial para la comprensión de todos los fenómenos eléctricos porque estos fenómenos son observables solo como resultado de fuerzas sobre cargas. A veces, estas fuerzas impulsan motores u otros actuadores, y a veces impulsan electrones a través de materiales que se calientan, iluminan o experimentan otros cambios físicos o químicos. Estas fuerzas también impulsan las corrientes esenciales para todos los circuitos y dispositivos electrónicos.

Cuando se conocen los campos electromagnéticos y la ubicación y movimiento de las cargas libres, el cálculo de las fuerzas que actúan sobre esas cargas es sencillo y se explica en las Secciones 5.1.2 y 5.1.3. Cuando estas cargas y corrientes están confinadas dentro de los conductores en lugar de aislarse en vacío, generalmente se pueden utilizar los enfoques introducidos en la Sección 5.2. Finalmente, cuando las cargas y el movimiento de carga de interés se unen dentro de átomos estacionarios o partículas cargadas giratorias, se deben agregar las expresiones de densidad de fuerza Kelvin desarrolladas en la Sección 5.3. El problema suele ir más allá del alcance de este texto cuando no se dan los campos electromagnéticos productores de fuerza sino que están determinados por esas mismas cargas sobre las que actúan las fuerzas (por ejemplo, física plasmática), y cuando las velocidades son relativistas.

El caso más simple involucra las fuerzas que surgen de campos electromagnéticos conocidos que actúan sobre cargas libres en vacío. Este caso se puede tratar usando la ecuación de fuerza de Lorentz (5.1.1) para el vector de fuerza\(\overline{\mathrm{f}}\) que actúa sobre una carga q [Coulombs]:

\[ \overline{\mathrm{f}}=\mathrm{q}\left(\overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\right) \quad [\text { Newtons }]\qquad\qquad\qquad \text { (Lorentz force equation) }\]

donde\(\overline{\mathrm{E}}\) y\(\overline{\mathrm{H}}\) son los campos eléctricos y magnéticos locales y\(\overline{\mathrm{v}}\) es el vector de velocidad de carga [m s ^-1].

Fuerzas eléctricas de Lorentz sobre electrones libres

El tubo de rayos catódicos (TRC) utilizado para pantallas en computadoras y televisores más antiguos, como se ilustra en la Figura 5.1.1, proporciona un ejemplo simple de la ley de fuerza de Lorentz (5.1.1). Los electrones excitados térmicamente por un cátodo calentado a -V voltios escapan a baja energía y se aceleran en vacío a aceleración\(\overline{\mathrm{a}}\) [m s ^-2] hacia el ánodo puesto a tierra por el campo eléctrico\(\overline{\mathrm{E}} \cong-\hat{z} \mathrm{V} / \mathrm{s}\) entre el ánodo y el cátodo ¹³; V y s son los voltaje a través del tubo y la separación cátodo-ánodo, respectivamente. En electrónica el ánodo siempre tiene un potencial\(\Phi\) más positivo que el cátodo, por definición.

¹³ El ánodo está conectado a tierra por razones de seguridad; se encuentra en la cara del tubo donde los usuarios pueden colocar sus dedos en el otro lado de la placa frontal de vidrio. Además, el cátodo y el ánodo a veces están conformados de manera que el campo eléctrico\(\overline{\mathrm{E}}\)\(\overline{\mathrm{f}}\), la fuerza y la aceleración\(\overline{\mathrm{a}}\) son funciones de z en lugar de ser constantes; es decir,\(\overline{\mathrm E} \neq-\hat{z} V / D\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Tubo de rayos catódicos.

La aceleración\(\overline{\mathrm{a}}\) se rige por la ley de Newton:

\[\overline{\mathrm{f}}=\mathrm{m} \overline{a} \qquad\qquad\qquad \text{(Newton’s law)}\]

donde m es la masa de la partícula aceleradora sin restricciones. Por lo tanto, la aceleración a de la carga electrónica q = -e en un campo eléctrico E = V/s es:

\[\mathrm{a}=\mathrm{f} / \mathrm{m}=\mathrm{qE} / \mathrm{m} \cong \mathrm{eV} / \mathrm{ms} \quad\left[\mathrm{ms}^{-2}\right]\]

La velocidad\(\overline{\mathrm{v}}\) y posición z posteriores de la partícula se pueden encontrar por integración de la aceleración\(\hat{z} a\):

\[\overline{\mathrm{v}}=\int_{0}^{\mathrm{t}} \mathrm{\overline{a}}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{o}}+\hat{z} \mathrm{at} \quad\left[\mathrm{ms}^{-1}\right]\]

\[z=z_{0}+\hat{z} \bullet \int_{0}^{t} {\overline{v}}(t) d t=z_{0}+\hat{z} \bullet \bar{v}_{0} t+a t^{2} / 2 \ \text{[m]}\]

donde hemos definido la posición inicial del electrón y la velocidad a t = 0 como z _o y\(\overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{o}}\), respectivamente.

El incremento w _k en la energía cinética del electrón equivale al trabajo acumulado realizado en él por el campo eléctrico\(\overline{\mathrm{E}}\). Es decir, el aumento en la energía cinética del electrón es el producto de la fuerza constante f que actúa sobre él y la distancia s que el electrón se movió en la dirección de\(\overline{\mathrm{f}}\) mientras experimenta esa fuerza. Si s es la separación entre ánodo y cátodo, entonces:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{k}}=\mathrm{fs}=(\mathrm{eV} / \mathrm{s}) \mathrm{s}=\mathrm{eV} \ \text{[J]}\]

Así, la energía cinética adquirida por el electrón al moverse a través de la diferencia de potencial V es eV Julios. Si V = 1 voltio, entonces wk es un “electrón voltio”, o “e” Julios, donde e 1.6 × 10 ^-19 Coulombs. El aumento de energía cinética es igual a eV incluso cuando\(\overline{\mathrm{E}}\) es una función de z porque:

\[\mathrm{w}_{\mathrm{k}}=\int_{0}^{\mathrm{D}} \mathrm{e} \mathrm{E}_{\mathrm{z}} \mathrm{d} \mathrm{z}=\mathrm{eV}\]

Los valores típicos para V en los CRT de televisión son generalmente menores de 50 kV para minimizar los rayos X peligrosos producidos cuando los electrones impactan los fósforos en la placa frontal del CRT, que a menudo está hecha de vidrio con plomo absorbente de rayos X.

La Figura 5.1.1 también ilustra cómo se\(\overline{\mathrm{E}}_{\perp}(\mathrm{t})\) pueden aplicar campos eléctricos laterales variables en el tiempo mediante placas de deflexión para escanear el haz de electrones a través de la placa frontal del CRT y “pintar” la imagen que se va a mostrar. A voltajes de tubo más altos V los electrones se mueven tan rápido que las fuerzas eléctricas laterales no tienen tiempo para actuar, y en su lugar se usa deflexión magnética porque las fuerzas magnéticas laterales aumentan con la velocidad electrónica v.

Fuerzas magnéticas de Lorentz en cargos libres

Un método alternativo para escanear lateralmente el haz de electrones en un CRT utiliza deflexión magnética aplicada por bobinas que producen un campo magnético perpendicular al haz de electrones, como se ilustra en la Figura 5.1.2. La fuerza magnética de Lorentz sobre la carga q = -e (1.6021×10 ^-19 Coulombs) se encuentra fácilmente de (5.1.1) para ser:

\[\overline{\mathrm{f}}=-\mathrm{e} \overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \ \text{[N]}\]

Así, el haz de electrones CRT ilustrado sería desviado hacia arriba, donde el campo magnético\(\overline{\mathrm{H}}\) producido por la bobina es dirigido fuera del papel; la magnitud de la fuerza sobre cada electrón es evμ _o H [N].

Figura\(\PageIndex{2}\): Deflexión magnética de electrones en un tubo de rayos catódicos.

La fuerza lateral sobre los electrones evμ _o H puede estar relacionada con el voltaje CRT V. Los electrones acelerados desde el reposo a través de una diferencia de potencial de V voltios tienen energía cinética eV [J], donde:

\[\mathrm{eV}=\mathrm{mv}^{2} / 2\]

Por lo tanto, la velocidad electrónica v = (2Ev/m) ^0.5, donde m es la masa de electrones (^9.107×10-31 kg), y la deflexión lateral aumenta con el voltaje del tubo V, mientras que disminuye si en su lugar se usa deflexión electrostática.

Otro caso de deflexión magnética se ilustra en la Figura 5.1.3 donde un electrón libre que se mueve perpendicular a un campo magnético\(\overline{\mathrm{B}}\) experimenta una fuerza\(\overline{\mathrm{f}}\) ortogonal a su vector de velocidad\(\overline{\mathrm{v}}\), ya que\(\overline{\mathrm{f}}=\mathrm{q} \overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Movimiento ciclotrón de un electrón.

Esta fuerza\(|\mathrm{\overline{f}}|\) es siempre ortogonal\(\overline{\mathrm{v}}\) y por lo tanto la trayectoria del electrón será circular con radio R a frecuencia angular ω _e [radianes s ^-1]:

\[|\mathrm f|=\operatorname{ev} \mu_{0} H=m_{e} a=m_{e} \omega_{e}^{2} R=m_{e} v \omega_{e}\]

donde v = ω _e R. Podemos resolver (5.1.9) para esta “frecuencia de ciclotrón electrónico” ω _e:

\[\omega_{\mathrm{e}}=\mathrm{e} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H} / \mathrm{m}_{\mathrm{e}} \qquad \qquad \qquad \text { (electron cyclotron frequency) }\]

que es independiente de v y la energía del electrón, siempre que el electrón no sea relativista. Así, las magnitudes de los campos magnéticos pueden medirse observando la frecuencia de radiación ω _e de los electrones libres en la región de interés.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\): Cyclotron Motion

¿Cuál es el radio\(r_e\) de movimiento de ciclotrón para un electrón libre de 100 e.v. en la magnetosfera terrestre ¹⁴ donde B 10 ^-6 Tesla? ¿Cuál es el radio\(r_p\) para un protón libre con la misma energía? Las masas de electrones y protones son ^~9.1×10-31 y ^1.7×10-27 kg, respectivamente.

Solución

La fuerza magnética sobre una partícula cargada es qvμ _o H = ma = mv ² /r, donde la velocidad v sigue de (5.1.9): eV = mv ² /2 ⇒ v = (2Ev/m) ^0.5. Resolviendo rendimientos de r _e

\[\begin{align*} \mathrm{r}_{\mathrm{e}} &=\mathrm{m}_{\mathrm{eV}} / \mathrm{e} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H} \\[4pt] &=(2 \mathrm{Vm} / \mathrm{e})^{0.5} / \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H} \\[4pt] &\cong\left(2 \times 100 \times 9.1 \times 10^{-31} / 1.6 \times 10^{-19}\right)^{0.5} / 10^{-6} \\[4pt] &\cong 34 \ \mathrm{m} \end{align*}\]

para electrones y ~2.5 km para protones.

¹⁴ La magnetosfera se extiende desde la ionosfera a varios radios planetarios; las colisiones de partículas son raras en comparación con la frecuencia de los ciclotrones.