5.2: Fuerzas sobre Cargas y Corrientes dentro de Conductores

Fuerzas eléctricas de Lorentz en cargas dentro de conductores

Las fuerzas eléctricas estáticas sobre las cargas dentro de los conductores también se pueden calcular usando la ecuación de fuerza de Lorentz (5.1.1), que se convierte en\(\overline{\mathrm{f}}=\mathrm{q} \overline{\mathrm{E}} \). Por ejemplo, considere las placas de condensador ilustradas en la Figura 5.2.1 (a), que tienen cargas superficiales totales de ±Q culombios en las dos superficies conductoras enfrentadas entre sí. Los campos y cargas para las placas de condensadores se discutieron en la Sección 3.1.3.

Figura\(\PageIndex{1}\): Distribución de carga dentro de placas conductoras de condensadores.

Para calcular la presión eléctrica atractiva total P _e [N m ^-2] en la placa superior, por ejemplo, podemos en la placa superior, por ejemplo, podemos integrar la densidad de fuerza Lorentz\(\overline{\mathrm{F}}\) [N m ^-3] actuando sobre la distribución de carga ρ (z) sobre profundidad z y área de unidad :

\[\overline{\mathrm{F}}=\rho \overline{\mathrm{E}} \quad\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right] \]

\[ \overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{e}}=\int_{0}^{\infty} \overline{\mathrm{F}}(\mathrm{z}) \mathrm{d} \mathrm{z}=\hat{z} \int_{0}^{\infty} \rho(\mathrm{z}) \mathrm{E}_{\mathrm{z}}(\mathrm{z}) \mathrm{d} \mathrm{z} \quad\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]\]

donde hemos definido\( \overline{\mathrm{E}}=\hat{z} \mathrm{E}_{\mathrm{z}}\), como se ilustra.

Se justifica el cuidado, sin embargo, porque la superficie la carga ρ (z) se distribuye sobre alguna profundidad infinitesimal δ, como se ilustra en la Figura 5.2.1 (b), y esas cargas a mayores profundidades están blindadas por las otras y por lo tanto ven un campo eléctrico menor\( \overline{\mathrm{E}}\). Si asumimos ε = ε _o dentro de los conductores y una geometría plana con /x = /y = 0, entonces la ley de Gauss,\(\nabla \bullet \varepsilon \overline{\mathrm{E}}=\rho \), se convierte en:

\[\varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{d} \mathrm{E}_{\mathrm{z}} / \mathrm{d} \mathrm{z}=\rho(\mathrm{z})\]

Esta expresión para ρ (z) se puede sustituir en (5.2.2) para producir la presión ejercida por los campos eléctricos en la placa del condensador y perpendicular a la misma:

\[P_{e}=\int_{E_{0}}^{0} \varepsilon_{0} d E_{z} E_{z}=-\varepsilon_{0} E_{o}^{2} / 2 \qquad\qquad\qquad \text{(electric pressure on conductors) }\]

La densidad de carga ρ y el campo eléctrico E _z son cero en niveles por debajo de δ, y la intensidad de campo en la superficie es E _o. Si el conductor fuera un dieléctrico con ε ≠ ε _o, entonces también habría que considerar las fuerzas de polarización Kelvin discutidas en la Sección 5.3.2.

Así, la presión eléctrica P _e [N m ^-2] que tira de un conductor cargado es la misma que la densidad de energía eléctrica inmediatamente adyacente [Jm ^-3], y es independiente del signo de ρ y\(\overline{\mathrm{E}}\). Estas dimensiones son idénticas porque [J] = [Nm]. La intensidad máxima alcanzable del campo eléctrico limita así la presión eléctrica máxima alcanzable P _e, que es negativa porque tira en lugar de empuja conductores.

Una forma alternativa para la expresión de presión eléctrica es:

\[P_{e}=-\varepsilon_{0} E_{0}^{2} / 2=-\rho_{s}^{2} / 2 \varepsilon_{0} \quad\left[\mathrm{Nm}^{-2}\right] \qquad\qquad\qquad \text {(electric pressure on conductors) }\]

donde ρ _s es la densidad de carga superficial [cm ^-2] en el conductor y εo es su permitividad; las condiciones límite en el conductor requieren D = ε _o E = σs. Por lo tanto, si el conductor estuviera adyacente a una losa dieléctrica con ε ≠ ε _o, la presión eléctrica sobre el conductor aún estaría determinada por la carga superficial, el campo eléctrico y la permitividad ε _o dentro del conductor; la presión no depende de ε de rígido adyacente materiales.

Podemos inferir de (5.2.4) el resultado intuitivamente útil que el campo eléctrico promedio que tira de la carga Q es E/2 ya que la fuerza de tracción total f = - P _e A, donde A es el área de la placa:

\[\mathrm{f}=-\mathrm{P}_{\mathrm{e}} \mathrm{A}=\mathrm{A} \varepsilon_{\mathrm{o}} \mathrm{E}^{2} / 2=\mathrm{AD}(\mathrm{E} / 2)=\mathrm{Q}(\mathrm{E} / 2)\]

Si ambas placas se cargaran igual en lugar de opuestamente, las cargas superficiales se repelerían entre sí y se moverían hacia las superficies exteriores de las dos placas, alejándose una de la otra. Dado que ahora no habría E entre las placas, no podría aplicar fuerza alguna. Sin embargo, las cargas Q en el exterior están asociadas con la misma intensidad de campo eléctrico que antes, E = Q/ε _o A. Estos campos eléctricos fuera de las placas, por lo tanto, los separan con la misma densidad de fuerza que antes, P _e = - ε _o E ² /2, y la fuerza entre las dos placas ahora son repulsivas en lugar de atractivas. Tanto en los casos atractivos como en los repulsivos hemos asumido que el ancho y la longitud de la placa son suficientemente grandes en comparación con la separación de placas que pueden descuidarse los campos de franjas.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Algunas copiadoras dejan el papel cargado eléctricamente. ¿Cuál es el campo eléctrico E entre dos hojas adyacentes de papel si se adhieren eléctricamente con una densidad de fuerza de 0.01 oz. 0.0025 N por centímetro cuadrado = 25 Nm ^-2? Si separamos ligeramente dos de esas hojas de papel por 4 cm, ¿cuál es el voltaje V entre ellas?

Solución

La presión eléctrica es P _e = -ε _o E ² /2 [N m ^-2], entonces E = (-2P _e ε _o) ^0.5 = (2×25/8.8×10 ^-12) ^0.5 = 2.4 [mV/m]. A una distancia de 4 cm, este campo produce una diferencia de potencial de ~95 kV entre las hojas. La pequeña carga involucrada hace que este voltaje sea inofensivo.

Fuerzas Magnéticas de Lorentz en Corrientes en Conductores

La ley de fuerza de Lorentz también se puede utilizar para calcular fuerzas sobre electrones que se mueven dentro de conductores para los cuales μ = μ _o. El cálculo de las fuerzas para el caso μ ≠ μ _o se trata en las Secciones 5.3.3 y 5.4. Si no hay carga neta y no fluye corriente en un cable, todas las fuerzas sobre las cargas positivas y negativas se cancelan porque las cargas que comprenden la materia están unidas entre sí por fuertes fuerzas inter- e intraatómicas.

Figura\(\PageIndex{2}\): Fuerza magnética sobre un cable portador de corriente.

Sin embargo, si n ₁ portadores por metro de carga q están fluyendo en un cable ¹⁵, como se ilustra en la Figura 5.2.2, entonces la densidad de fuerza total\(\overline{\mathrm{F}}=\mathrm{n}_{1} \mathrm{q} \overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{I}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-1}\right]\) ejercida por un campo magnético estático que\( \overline{\mathrm{H}}\) actúa sobre la corriente estática\(\overline{\mathrm{I}} \) que fluye en el cable es:

\[\overline{\mathrm{F}}=\mathrm{n}_{1} \mathrm{q}^{-} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{I}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-1}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (magnetic force density on a wire) }\]

donde\( \overline{\mathrm{I}}=\mathrm{n}_{1} \mathrm{q} \overline{\mathrm{v}}\). Si\(\overline{\mathrm{H}} \) es uniforme, esta fuerza no es función de la sección transversal del alambre, que podría ser una placa plana, por ejemplo.

¹⁵ La notación n _j significa densidad numérica [m ^-j], por lo que n ₁ y n ₃ indican números por metro y por metro cúbico, respectivamente.

Figura\(\PageIndex{3}\): Fuerzas magnéticas que atraen corrientes paralelas.

Podemos extender fácilmente el resultado de (5.2.7) al caso de dos cables paralelos que transportan la misma corriente I en la misma\(+\hat{z} \) dirección y separados por la distancia r, como se ilustra en la Figura 5.2.3. La ley de amperios con simetría cilíndrica produce fácilmente\(\overline{\mathrm{H}}(\mathrm{r})=\hat{\theta} \mathrm{H}(\mathrm{r}) \):

\[\oint_{\mathrm{c}} \overline{\mathrm{H}} \bullet \mathrm{d} \overline{\mathrm{s}}=\mathrm{I}=2 \pi \mathrm{rH} \Rightarrow \mathrm{H}=\mathrm{I} / 2 \pi \mathrm{r}\]

La densidad\(\overline{\mathrm{F}} \) de fuerza que une los dos cables paralelos se encuentra entonces de (5.2.7) y (5.2.8) para ser:

\[|\overline{\mathrm{F}}|=\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{I}^{2} / 2 \pi \mathrm{r}\ \left[\mathrm{Nm}^{-1}\right]\]

La simplicidad de esta ecuación y la facilidad de medición de F, I y r llevaron a su uso en la definición de la permeabilidad del espacio libre, μ _o = 4\(\pi\) ×10 ^-7 Henries/metro, y de ahí la definición de un Henry (la unidad de inductancia). Si las dos corrientes están en direcciones opuestas, la fuerza que actúa sobre los cables es repulsiva. Por ejemplo, si I = 10 amperios y r = 2 milímetros, entonces (5.2.9) produce F = 4\(\pi\) ×10 ^-7 × 10 ^{2 /2\(\pi\) 2} ×10 ^-3 = 0.01 Newtons/metro; esta es aproximadamente la fuerza repulsiva promedio entre los dos cables en un cable de lámpara de CA de 120 voltios entregando uno kilovatios. Estas fuerzas son atractivas cuando las corrientes son paralelas, por lo que si consideramos que un solo cable consiste en hebras paralelas, se comprimen juntas debido a este efecto de pellizco. En corrientes extremas, estas fuerzas pueden aplastar los cables, por lo que la densidad de corriente instantánea máxima alcanzable en los cables está parcialmente limitada por su resistencia mecánica. El mismo efecto puede pellizcar haces de electrones que fluyen en plasmas de carga neutra.

Los campos magnéticos asociados con las corrientes superficiales en conductores planos generalmente ejercen una presión\(\overline{\mathrm{P}} \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}\right]\) que se relaciona simplemente con la intensidad instantánea del campo\(\left|\overline{\mathrm{H}}_{\mathrm{s}}\right| \) en la superficie del conductor. Primero podemos usar el término magnético en la ley de fuerza de Lorentz (5.2.7) para calcular la densidad de fuerza\(\overline{\mathrm{F}} \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right] \) en la corriente superficial\(\overline{\mathrm{J}}_{\mathrm{S}} \ \left[\mathrm{A} \mathrm{m}^{-1}\right] \):

\[\overline{\mathrm{F}}=\mathrm{nq} \overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{N} \mathrm{m}^{-3}\right]\]

donde n es el número de cargas q por metro cúbico. Para encontrar la presión magnética P _m [N m ^-2] en el conductor debemos integrar la densidad de fuerza\(\overline{\mathrm{F}} \) sobre la profundidad z, donde ambas\( \overline{\mathrm{J}}\) y\( \overline{\mathrm{H}}\) son funciones de z, según se rige por la ley de Ampere en el límite estático:

\[\nabla \times \overline{\mathrm{H}}=\overline{\mathrm{J}}\]

Si asumimos\(\overline{\mathrm{H}}=\hat{y} \mathrm{H}_{\mathrm{y}} \ (\mathrm{z}) \) entonces\( \overline{\mathrm{J}}\) está en la dirección x y hy/x = 0, de manera que:

\ [\ begin {align}
\ nabla\ times\ overline {\ mathrm {H}} &=\ hat {x}\ left (\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {z}}/\ parcial\ mathrm {y} -\ parcial\ mathrm {H} _ _ {\ mathrm {y}}/\ parcial\ mathrm {z}\ derecha) +\ hat y {}\ left (\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}}/\ parcial\ mathrm {z} -\ parcial\ mathrm {H} _ _ {\ mathrm {z}}/\ parcial \ mathrm {x}\ derecha) +\ hat {z}\ izquierda (\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {y}}/\ parcial\ mathrm {x} -\ parcial\ mathrm {H} _ {\ mathrm {x}}/\ parcial\ mathrm {y}\ derecha)\\
&=-\ hat {x}\ mathrm {d}\ mathrm {y}\ mathrm {y}\ mathrm {y}\ mathrm {y} H} _ {\ mathrm {y}}/\ mathrm {d}\ mathrm {z} =\ hat {x} _ {\ mathrm {x}} (\ mathrm {z})\ nonumber
\ end {align}\]

La presión magnética instantánea P _m ejercida por H ahora se puede encontrar integrando la ecuación de densidad de fuerza (5.2.10) sobre la profundidad z para producir:

\[\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}=\int_{0}^{\infty} \overline{\mathrm{F}} \mathrm{d} \mathrm{z}=\int_{0}^{\infty} \overline{\mathrm{J}}(\mathrm{z}) \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}(\mathrm{z}) \mathrm{d} \mathrm{z}=\int_{0}^{\infty}\left[-\hat{x} \mathrm{d} \mathrm{H}_{\mathrm{y}} / \mathrm{d} \mathrm{z}\right] \times\left[\hat{y} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}_{\mathrm{y}}(\mathrm{z})\right] \mathrm{d} \mathrm{z}\nonumber\]

\[\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{m}}=-\hat{z} \mu_{\mathrm{o}} \int_{\mathrm{H}}^{0} \mathrm{H}_{\mathrm{y}} \mathrm{d} \mathrm{H}_{\mathrm{y}}=\hat{z} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H}^{2} / 2 \ \left[\mathrm{Nm}^{-2}\right] \qquad\qquad\qquad \text { (magnetic pressure) }\]

Hemos asumido\(\overline{\mathrm{H}}\) decae a cero en algún lugar dentro del conductor. Como en el caso de la tracción electrostática de un campo eléctrico sobre un conductor cargado, la intensidad de campo promedio experimentada por las cargas o corrientes superficiales es la mitad que en la superficie debido a que los campos dentro del conductor están parcialmente protegidos por cualquier carga o corriente suprayacente. El tiempo promedio de presión magnética para H sinusoidal es\(\left\langle\mathrm{P}_{\mathrm{m}}\right\rangle=\mu_{\mathrm{o}}|\overline{\mathrm{\underline{H}}}|^{2} / 4 \).