6.1: Campos eléctricos y magnéticos inducidos por la fuerza

Introducción

El capítulo 5 explicó cómo los campos eléctricos y magnéticos podrían ejercer fuerza sobre las cargas, las corrientes y los medios, y cómo la energía eléctrica en tales dispositivos podría transformarse en energía mecánica. El capítulo 6 explora varios tipos de motores y actuadores prácticos construidos usando estos principios, donde un actuador suele ser un motor que lanza un interruptor o realiza alguna otra tarea breve de vez en cuando. El capítulo 6 también explora la transformación inversa, donde el movimiento mecánico altera los campos eléctricos o magnéticos y convierte la energía mecánica en eléctrica. En ausencia de pérdidas, las conversiones a energía eléctrica pueden ser casi perfectas y encontrar aplicación en generadores eléctricos y sensores mecánicos.

La Sección 6.1.2 primero explora cómo el movimiento mecánico de conductores o cargas a través de campos magnéticos puede generar voltajes que se pueden aprovechar para obtener energía. También se pueden separar con fuerza dos objetos cargados, alargando las líneas de campo eléctrico que los conectan y aumentando así su diferencia de voltaje, donde este aumento de voltaje puede ser aprovechado para fines de detección o generación de energía eléctrica. La Sección 6.1.3 luego muestra en el contexto de un cable portador de corriente en un campo magnético cómo puede ocurrir la conversión de potencia en cualquier dirección.

Voltajes inducidos por movimiento

Cualquier conductor que se mueva a través de líneas de campo magnético adquiere una tensión de circuito abierto que sigue directamente de la ley de fuerza de Lorentz (6.1.1) ¹⁸:

\[\overline{\mathrm{f}}=\mathrm{q}\left(\overline{\mathrm{E}}+\overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\right)\]

Consideremos el electrón ilustrado en la Figura 6.1.1, que tiene carga —e y velocidad\(\overline{\mathrm{v}}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Fuerzas sobre un electrón que se mueve a través de campos electromagnéticos.

¹⁸ Algunos libros de texto presentan explicaciones alternativas que conducen a los mismos resultados. La explicación aquí considera que la materia está compuesta por partículas cargadas gobernadas electromagnéticamente únicamente por la ley de fuerza de Lorentz, y otras fuerzas, como las densidades de fuerza Kelvin que actúan sobre los medios discutidos en la Sección 4.5, se derivan de ella.

Se mueve perpendicular\(\overline{\mathrm{H}}\) y por lo tanto experimenta una fuerza Lorentz sobre ella de\(-\mathrm{e} \overline{\mathrm v} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\). Se experimenta esa fuerza incluso dentro de un alambre en movimiento y se acelerará en respuesta a ella. Esta fuerza hace que todos los electrones libres dentro del conductor se muevan hasta que las cargas superficiales resultantes produzcan una distribución de campo eléctrico de equilibrio tal que la fuerza neta sobre cualquier electrón sea cero.

En el caso de un cable de circuito abierto en movimiento, las cargas libres (electrones) se moverán dentro del cable y se acumularán hacia sus extremos hasta que haya suficiente potencial eléctrico a través del cable para detener su movimiento en todas partes. Específicamente, este balance de fuerzas de Lorentz requiere que la fuerza\( -\mathrm{e} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{e}}\) sobre los electrones debida al campo eléctrico resultante\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{e}} \) sea igual y opuesta a las debidas al campo magnético\(-\mathrm{e} \overline{\mathrm v} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \), es decir:

\[-e \bar{\mathrm v} \times \mu_{0} \bar{H}=e \bar{E}_{e}\]

Por lo tanto, el campo eléctrico de equilibrio dentro del cable debe ser:

\[\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{e}}=-\overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\]

No debe haber confusión acerca de\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{e}}\) ser distinto de cero dentro de un conductor. Es la fuerza neta sobre los electrones libres la que debe ser cero en equilibrio, no el campo eléctrico\(\overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{e}}\). La fuerza eléctrica de Lorentz\(\mathrm{q} \overline{\mathrm{E}}_{\mathrm{e}}\) debe equilibrar la fuerza magnética de Lorentz o de lo contrario las cargas experimentarán una fuerza neta que continúe moviéndolas hasta que haya tal equilibrio.

La Figura 6.1.2 ilustra tal alambre de longitud W moviéndose a velocidad\(\overline{\mathrm{v}} \) perpendicular a\(\overline{\mathrm{H}}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Fuerzas y tensiones en un cable que se mueve en un campo magnético.

Si el cable estuviera en circuito abierto, el potencial\(\Phi\) a través de él sería la integral del campo eléctrico necesario para cancelar las fuerzas magnéticas sobre los electrones, donde:

\[\Phi=\mathrm{v} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW} \]

y las señales y direcciones son como se indica en la figura. Suponemos que los campos, cables y velocidad\( \overline{\mathrm{v}}\) en la figura son todos ortogonales, de modo que no\(\overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\) aporta diferencias de potencial excepto a lo largo del cable de longitud W.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Un gran avión metálico vuela a 300 m s ^-1 en relación con un campo magnético terrestre vertical de ~10 ^-4 Teslas (1 gauss). ¿Cuál es el voltaje de circuito abierto V punta de ala a punta de ala si la envergadura W es de ~40 metros? Si\(\overline{\mathrm{B}}\) apunta hacia arriba, ¿la derecha es positiva o negativa?

Solución

El campo eléctrico inducido dentro del metal es\(-\overline{\mathrm{v}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}}\) (4.3.2), por lo que el voltaje inducido\(\mathrm{V}=\mathrm{W} \mathrm{v} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{H} \cong 40 \times 300 \times 1.26 \times 10^{-6} \times 10^{-4} \cong 1.5 \times 10^{-6} \ \mathrm{volts}\), y la punta del ala derecha es positiva.

Corrientes inducidas y contratensiones

Si el cable móvil de la Figura 6.1.2 está conectado a una carga R, entonces la corriente I fluirá según se rige por la ley de Ohm. I depende de\(\Phi\), R, y el voltaje V de Thevenin ilustrado:

\[ \mathrm{I}=(\mathrm{V}-\Phi) / \mathrm{R}=\left(\mathrm{V}-\mathrm{v} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW}\right) / \mathrm{R}\]

La corriente puede ser positiva o negativa, dependiendo de los valores relativos de V y el voltaje inducido por movimiento\(\Phi\). De (5.2.7) vemos que la densidad de fuerza magnética en el cable es\(\overline{\mathrm{F}}=\overline{\mathrm{I}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \ \left[\mathrm{Nm}^{-1}\right]\). La fuerza total asociada\( \overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{be}}\) ejercida sobre el alambre por el ambiente y por\( \overline{\mathrm{H}}\) sigue de (6.1.5) y es:

\[\overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{be}}=\overline{\mathrm{I}} \times \mu_{\mathrm{o}} \overline{\mathrm{H}} \mathrm{W}=\hat{x} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW}(\mathrm{V}-\Phi) / \mathrm{R} \quad {[\mathrm N]}\]

donde el vector unitario\(\hat{x} \) es paralelo a\( \overline{\mathrm{v}}\).

La ecuación (6.1.6) nos permite calcular la potencia mecánica entregada al cable por el entorno (P _be) o, en sentido inverso, por el cable al ambiente (P _oe), donde P _be = - P _oe. Si la fuente de voltaje V es suficientemente grande, entonces el sistema funciona como un motor y la potencia mecánica P _oe suministrada al medio ambiente por el cable es:

\[P_{\mathrm{Oe}}=\bar{\mathrm f}_{\mathrm{oe}} \bullet \overline{\mathrm{v}}=\mathrm{v} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW}(\mathrm{V}-\Phi) / \mathrm{R}=\Phi(\mathrm{V}-\Phi) / \mathrm{R} \quad [\mathrm W]\]

La energía eléctrica P _e suministrada por el cable móvil a la batería y la resistencia es igual a la potencia mecánica P que _se entrega al cable por el entorno, donde I viene dada por (6.1.5):

\[\begin{align} \mathrm{P}_{\mathrm{e}} &=-\mathrm{VI}+\mathrm{I}^{2} \mathrm{R}=-[\mathrm{V}(\mathrm{V}-\Phi) / \mathrm{R}]+\left[(\mathrm{V}-\Phi)^{2} / \mathrm{R}\right]=[(\mathrm{V}-\Phi) / \mathrm{R}][-\mathrm{V}+(\mathrm{V}-\Phi)] \\ &=-\Phi(\mathrm{V}-\Phi) / \mathrm{R}=\mathrm{P}_{\mathrm{be}} \quad [\mathrm{W}] \nonumber \end{align}\]

El signo negativo en el primer término de (6.1.8) se asocia con la dirección de I definida en la Figura 6.1.2; I fluye fuera del circuito Thevenin mientras que P _e fluye hacia adentro. Si V es cero, entonces el cable entrega la máxima potencia,\(\Phi^{2} / \mathrm{R}\). A medida que aumenta V, esta potencia entregada disminuye y luego se vuelve negativa a medida que el sistema deja de ser un generador eléctrico y se convierte en un motor. Como motor, la potencia mecánica entregada al cable por el ambiente se vuelve negativa, y la energía eléctrica entregada por la fuente Thevenin se vuelve positiva. Es decir, tenemos un:

\[ \begin{align} & \qquad {Motor: } \quad \quad \text{If mechanical power out } \mathrm{P_{oe}} > 0, \\ &\qquad \qquad \qquad \quad \ \mathrm{V}>\Phi=\mathrm{v} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW}, \text { or } \mathrm{v}<\mathrm{V} / \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW} \nonumber \end{align}\]

\[ \begin{align} &{Generator: } \quad \text{If electrical power out } \mathrm{P_{e}} > 0, \\ & \qquad \qquad \qquad\mathrm{V}<\Phi, \text { or } \mathrm{v}>\mathrm{V} / \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW} \nonumber \end{align}\]

Llamamos a\(\Phi\) la “contratensión” de un motor; aumenta a medida que aumenta la velocidad del motor v hasta que iguala la tensión V de la fuente de alimentación y P _e = 0. Si la velocidad aumenta aún más para que\(\Phi\) > V, el motor se convierte en un generador. Cuando V =\(\Phi\), entonces I = 0 y el motor se mueve libremente sin fuerzas electromagnéticas.

Este mecanismo de acoplamiento básico entre fuerzas y potencias magnéticas y mecánicas se puede utilizar en muchas configuraciones, como se analiza más adelante.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Un cable recto se dibuja a velocidad\(\mathrm{v}=\hat{\mathrm{x}} 10 \ \mathrm{m} \ \mathrm{s}^{-1}\) entre los polos de un imán de 0.1 Tesla; el vector de velocidad, la dirección del cable y la dirección del campo son ortogonales entre sí. El cable está conectado externamente a una resistencia R = 10 ^-5 ohmios. ¿\(\overline{\mathrm{f}} \)Qué fuerza mecánica ejerce sobre el alambre el campo magnético\( \overline{\mathrm{B}} \)? La geometría se ilustra en la Figura 6.1.2.

Solución

La fuerza ejercida sobre el cable por su entorno magnético (6.1.6) es\( \overline{\mathrm{f}}_{\mathrm{be}}=\overline{\mathrm{I}} \times \overline{\mathrm{H}} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{W} \ [\mathrm{N}] \), donde la corriente inducida I = -\(\Phi\) /R y la tensión de retorno\(\Phi\) = vμ _o HW [V]. Por lo tanto:

\[ \mathrm{f}_{\mathrm{be}}=-\hat{\mathrm{x}} \mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW} \Phi / \mathrm{R}=-\hat{\mathrm{x}} \mathrm{v}\left(\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{HW}\right)^{2} / \mathrm{R}=-\hat{\mathrm{x}} 10 \times(0.1 \times 0.1)^{2} / 10^{-5}=1 \ [\mathrm{N}], \nonumber\]

opuesto a\( \overline{\mathrm{v}}\).