8.1: Propagación y reflexión de señales transitorias en líneas de transmisión TEM

Líneas de transmisión sin pérdidas

La velocidad de cálculo y procesamiento de señales está limitada por el tiempo requerido para que las cargas se muevan dentro y entre los dispositivos, y por el tiempo requerido para que las señales se propaguen entre elementos. Si los dispositivos reflejan parcialmente las señales entrantes, puede haber retrasos adicionales mientras las reverberaciones resultantes se desvanecen. Finalmente, las señales pueden distorsionarse a medida que se propagan, manchando las formas de pulso y los tiempos de llegada. Estas tres fuentes de retardo, es decir, propagación más reverberación, tiempos de respuesta del dispositivo y distorsión de la señal se discuten en las Secciones 8.1, 8.2 y 8.3, respectivamente. Estas mismas cuestiones se aplican a cualquier sistema que combine líneas y circuitos de transmisión, como circuitos integrados analógicos o digitales, placas de circuitos impresos, interconexiones entre circuitos o antenas, y líneas de energía eléctrica.

Las líneas de transmisión suelen ser conductores paralelos emparejados que transmiten señales entre dispositivos. Son fundamentales para todo sistema electrónico, desde circuitos integrados hasta grandes sistemas. La Sección 7.1.2 derivó de las ecuaciones de Maxwell el comportamiento de las ondas electromagnéticas transversales (TEM) que se propagan entre conductores de placas paralelas, y la Sección 7.1.3 mostró que las mismas ecuaciones también gobiernan cualquier estructura, incluso una disipativa, para la cual la sección transversal es constante a lo largo de su longitud y que tiene al menos dos elementos perfectamente conductores entre los cuales se aplica el voltaje de excitación. Usando elementos de circuito RLC diferenciales, esta sección a continuación deriva el mismo comportamiento de línea de transmisión en una forma que puede extenderse fácilmente a líneas de transmisión con cables resistivos, como se discute más adelante en la Sección 8.3.1. Dado que los cables resistivos introducen campos eléctricos longitudinales, tales líneas ya no son líneas TEM puras.

Las ecuaciones (7.1.10) y (7.1.11) caracterizaron el voltaje v (t, z) y la corriente i (t, z) en estructuras TEM con inductancia L [H m ^-1] y capacitancia C [F m ^-1] como:

\[\mathrm{dv} / \mathrm{dz}=-\mathrm{L} \mathrm{di} / \mathrm{dt}\]

\[\mathrm{di} / \mathrm{dz}=-\mathrm{Cdv} / \mathrm{dt}\]

Estas expresiones se combinaron para producir la ecuación de onda (7.1.14) para líneas TEM sin pérdidas:

\[\left(\mathrm{d}^{2} / \mathrm{d} \mathrm{z}^{2}-\mathrm{L} \mathrm{C} \mathrm{d}^{2} / \mathrm{dt}^{2}\right) \mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=0 \qquad\qquad\qquad \text { (TEM wave equation) }\]

Una solución general a esta ecuación de onda es (7.1.16):

\[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})+\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct}) \qquad \qquad \qquad \text{(TEM voltage) }\]

que corresponde a la superposición de ondas que se propagan hacia adelante y hacia atrás que se mueven a velocidad\(\mathrm{c}=(\mathrm{LC})^{-0.5}=(\mu \varepsilon)^{-0.5}\). La corriente i (t, z) correspondiente a (8.1.4) se deriva de la sustitución de (8.1.4) en (8.1.1) o (8.1.2), y la diferenciación seguida de la integración:

\[\mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{Y}_{\mathrm{o}}\left[\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})-\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})\right] \qquad \qquad \qquad \text{(TEM current)}\]

Y _o es la admitancia característica de la línea, y el recíproco de la impedancia característica Z _o:

\[\mathrm{Z}_{\mathrm{o}}=\mathrm{Y}_{\mathrm{o}}^{-1}=(\mathrm{L} / \mathrm{C})^{0.5} \ [\mathrm{Ohms}] \qquad \qquad \qquad \text { (characteristic impedance of lossless TEM line) }\]

El valor de Y _o sigue directamente de los pasos anteriores.

Una manera más intuitiva de derivar estas ecuaciones utiliza un circuito distribuido equivalente para la línea de transmisión compuesto por un número infinito de elementos diferenciales con inductancia en serie y capacitancia paralela, como se ilustra en la Figura 8.1.1 (a). Este modelo se extiende fácilmente a líneas no TEM con cables resistivos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Modelo de circuito distribuido para líneas de transmisión TEM sin pérdidas.

La inductancia L [Henries m ^-1] de los dos conductores surge de la energía magnética almacenada por metro de longitud, y produce una caída de voltaje dv a través de cada longitud incremental dz de alambre que es proporcional a la derivada de tiempo de la corriente a través del mismo ⁴⁰:

\[\mathrm{d} \mathrm{v}=-\mathrm{L} \mathrm{dz}(\mathrm{di} / \mathrm{dt})\]

⁴⁰ Un circuito alternativo equivalente tendría un segundo inductor en la rama inferior equivalente al de la rama superior; ambos tendrían valor Ldz/2, y v (t, z) e i (t, z) permanecerían iguales.

Cualquier incremento de corriente di a través de la distancia dz, definido como di = i (t, z+dz) - i (t, z), se suministraría a partir de la carga almacenada en C [F m ^-1]:

\[\mathrm{di}=-\mathrm{Cdz}(\mathrm{dv} / \mathrm{dt})\]

Estas dos ecuaciones para dv y di son equivalentes a (8.1.1) y (8.1.2), respectivamente, y conducen a la misma ecuación de onda y soluciones generales derivadas en la Sección 7.1.2 y resumidas anteriormente, donde formas de onda arbitrarias se propagan por líneas TEM en ambas direcciones y se superponen para producir el total de v (z, t) e i (t, z ).

Existen dos soluciones equivalentes para esta ecuación de onda: (8.1.4) y (8.1.9):

\[\mathrm{v(z, t)=f_{+}(t-z / c)+f_{-}(t+z / c)}\]

La validez de (8.1.9) se muestra fácilmente por sustitución en la ecuación de onda (8.1.3), donde nuevamente c = (LC) ^-0.5. Esta forma alternativa es útil cuando se relacionan señales de línea con fuentes o cargas para las cuales z es constante, como se ilustra a continuación. La primera forma (8.1.4) en términos de (z - ct) es más conveniente cuando t es constante y z varía.

Las ondas pueden ser lanzadas en líneas TEM como se sugiere en la Figura 8.1.1 (b). La línea es conducida por la fuente equivalente Thevenin v _s (t) en serie con la resistencia de fuente Z _o, que se corresponde con la línea de transmisión en este caso. Las ecuaciones (8.1.4) y (8.1.5) dicen que si no hay onda viajera negativa, entonces la relación entre el voltaje y la corriente para la onda directa en la línea debe ser igual a Z _o = Y _o ^-1. El circuito equivalente para esta línea TEM es, por lo tanto, simplemente una resistencia de valor Z _o, como se sugiere en la Figura 8.1.1 (c). Si la resistencia de la fuente también es Z _o, entonces solo aparece la mitad del voltaje fuente v _s (t) a través de los terminales de línea TEM en z = 0. Por lo tanto, los voltajes en los terminales izquierdos (z = 0) y en la línea v (t, z) son:

\[\mathrm{v}(\mathrm{t}, \mathrm{z}=0)=\mathrm{v}_{\mathrm{s}}(\mathrm{t}) / 2=\mathrm{v}_{+}(\mathrm{t}, \mathrm{z}=0)\]

\[\mathrm{v(t, z)=v_{+}(t-z / c)=v_{s}(t-z / c) / 2} \qquad \qquad \qquad \text{(transmitted signal)}\]

donde hemos utilizado la forma de solución de (8.1.9). La onda de propagación en la Figura 8.1.1 (b) tiene la mitad de la amplitud de la fuente Thevenin v _s (t) porque la fuente se emparejó con la línea para maximizar la potencia transmitida desde el voltaje dado v _s (t). Tenga en cuenta que (8.1.11) es lo mismo que (8.1.10) excepto que z/c se restó de cada uno. La igualdad se conserva si todos los argumentos de una ecuación se desplazan en la misma cantidad.

Si la resistencia de la fuente Thevenin fuera R, entonces la ecuación del divisor de voltaje produciría el terminal y el voltaje de propagación v (t, z):

\[\mathrm{v(t, z)=v_{s}(t-z / c)\left[Z_{o} /\left(R+Z_{o}\right)\right]}\]

Esta expresión más general se reduce a (8.1.10) cuando R = Z _o y z = 0.

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Un cierto circuito integrado con μ = μ _o propaga señales a velocidad c/2, y sus cables TEM exhiben Z _o = 100 ohmios. ¿Qué son ε, L y C para estas líneas TEM?

Solución

\(\mathrm{c=\left(\mu_{0} \varepsilon_{0}\right)^{-0.5}}\), y\(\mathrm{v}=\mathrm{c} / 2=\left(\mu_{\mathrm{o}} \varepsilon\right)^{-0.5}\); así ε = 4ε _o. Dado que v = (LC) ^-0.5 y\(Z_{0}=(\mathrm{L} / \mathrm{C})^{0.5}\),\(\mathrm{L}=\mathrm{Z}_{\mathrm{o}} / \mathrm{v}=200 / \mathrm{c}=6.67 \times 10^{-7} \ [\mathrm{Hy}]\), y\(\mathrm{C}=1 / \mathrm{vZ}_{0}=1 / 200 \mathrm{c}=1.67 \times 10^{-11}\ [\mathrm{F}]\).

Reflejos en cruces de líneas de transmisión

Si una línea de transmisión que conecta una fuente a una carga es suficientemente corta, entonces los efectos de la línea sobre las reflexiones se pueden modelar simplemente reemplazándola con un pequeño condensador agrupado a través de los terminales de la fuente que representa la capacitancia entre los cables, y una resistencia en serie con un inductor y el carga, que representa la resistencia e inductancia de los cables. Sin embargo, si la longitud de línea D es tal que el tiempo de propagación\(\tau_{\text { line }}=\mathrm{D} / \mathrm{c}\) es una fracción no trivial de la constante de tiempo más corta de la carga\(\tau_{\text { load}}\), entonces deberíamos usar modelos de línea de transmisión gobernados por la ecuación de onda (por ejemplo, 8.1.3). Es decir, se debe usar la ecuación de onda TEM a menos que la longitud de línea D sea:

\[\mathrm{D} \ll \mathrm{c} \tau_{\text{ load}}\]

Para mayores valores de D los retardos de propagación adquieren importancia y se debe utilizar un modelo de línea de transmisión, como se explica en la Sección 8.1.1. En la sección 8.1.1 también se explicó cómo se lanzan y propagan las señales en las líneas TEM, y cómo el circuito equivalente Thevenin (8.1.6) para una línea de transmisión pasiva como lo ve la fuente es simplemente una resistencia Z _o = (L/C) ^0.5. Esta impedancia característica Z _o de la línea de transmisión es la relación de la tensión directa v ₊ (t, z) a la corriente asociada i ₊ (z, t). Las señales TEM se transmiten parcialmente y se reflejan parcialmente en cada unión que encuentran, donde estas uniones pueden ser la carga prevista o simplemente lugares donde cambia la impedancia Z _o de la línea de transmisión. A veces múltiples líneas de transmisión se encuentran en tales cruces.

Sección 7.2.2 (7.2.7) derivó el coeficiente de reflexión\(\Gamma\) para una onda TEM arbitraria v ₊ (t, z) reflejada por una resistencia de carga R a z, donde la impedancia normalizada de la carga es R _n = R/Z _o:

\[\mathrm{v}_{-}(\mathrm{t}, \mathrm{z})=\Gamma \mathrm{v}_{+}(\mathrm{t}, \mathrm{z})\]

\[\Gamma=\left(\mathrm{R}_{\mathrm{n}}-1\right) /\left(\mathrm{R}_{\mathrm{n}}+1\right)\]

\[\mathrm{R_{n} \equiv R / Z_{0}}\]

Es importante distinguir la diferencia entre\(\Gamma\) para cargas puramente resistivas, que es real, y\(\underline{\Gamma}(\omega)\), que es compleja y se aplica a cualquier impedancia de carga compleja\(\underline{\mathrm{Z}}_{\mathrm{L}}\). Aquí R y\(\Gamma\) son reales.

Consideremos el ejemplo ilustrado en la Figura 8.1.2 (a), donde una línea TEM se caracteriza por la impedancia Z _o y la velocidad de fase c. La línea es de D metros de largo, circuito abierto en el extremo derecho, y accionada por un voltaje de ⁴¹ unidad-paso u (t). El circuito equivalente en el extremo fuente de la línea se ilustra en (b), que es simplemente un divisor de voltaje que coloca v _s (t) /2 voltios a través de la línea. Pero el voltaje a través de la línea es igual a la suma de las ondas que se mueven hacia adelante y hacia atrás, donde una línea pasiva en reposo no tiene onda hacia atrás. Por lo tanto la onda directa aquí en z = 0+ es simplemente u (t) /2, y el resultado es un voltaje de 0.5 voltios que se mueve hacia abajo de la línea a velocidad c, como se ilustra en la Figura 8.1.2 (c) para t = t _o. La corriente asociada i (z, t) se representa en (d) para t = t _o, y es proporcional a la tensión.

⁴¹ Utilizamos la notación u (t) para representar una función unidad-paso que es cero para t < 0, y unidad para t ≥ 0. Un impulso unitario está representado por δ (t), que es cero para todos |t| > ε en el límite donde ε → 0, y la integral de δ (t) ≡ 0. \(\int \delta(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\mathrm{u}(\mathrm{t})\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Transitorios de función escalonada en una línea de transmisión sin pérdidas.

Una vez que el transitorio alcanza el extremo derecho, se deben cumplir nuevamente las condiciones de contorno, por lo que hay una onda de voltaje reflejada que tiene\(\mathrm{v_{-}(t, z=D)=\Gamma v_{+}(t, z=D)}\), donde\(\Gamma\) = +1, según lo dado por (8.1.15) para R _n → ∞. El voltaje total en la línea (8.1.9) es la suma de las ondas hacia adelante y hacia atrás, cada una de valor 0.5 voltios, como se ilustra en la Figura 8.1.2 (c) para t = t ₁ > D/c En t ₁ el paso de voltaje reflejado se propaga hacia la izquierda hacia la fuente. La corriente a t = t ₁ se grafica en la Figura 8.1.2 (d).

Aunque estos transitorios de voltaje y corriente se representan y entienden gráficamente con mayor facilidad, también se pueden derivar y representar algebraicamente. Por ejemplo, v (t, z=0) = u (t) /2 aquí, y por lo tanto para t < d/C tenemos v (t, z) = v ₊ (t - z/c) = u (t - z/c) /2. Tenga en cuenta que si traducimos un argumento en un lado de una ecuación, debemos imponer la misma traducción al otro; así v (t,0) →v (t - z/c) fuerza u (t,0) →u (t - z/c). Una vez que la onda se refleja desde el circuito abierto tenemos v (z, t) = v ₊ (t - z/c) + v _- (t + z/c). A z = D para t < 3d/C la condición límite en el circuito abierto requiere\(\Gamma\) = +1, entonces v _- (t + d/C) = v ₊ (t - d/C) = u (t - d/C) /2. De v _- (t + d/C) podemos encontrar la expresión más general v _- (t + z/c) simplemente operando sobre sus argumentos: v _- (t + z/c) = v _- (t + d/C —d/C + z/c) = u (t - 2d/C + z/c). El voltaje total para t < 2d/C es la suma de estas ondas hacia adelante y hacia atrás: v (t, z) = [u (t - z/c) + u (t - 2d/C + z/c)] /2. El mismo enfoque puede representar corrientes de línea y también ejemplos más complejos.

Cuando la onda reflejada regresa a la fuente,\(\Gamma\) = 0 porque esta fuente se corresponde con la línea de transmisión. En este caso especial no hay más reflexiones. Por lo tanto, el estado estacionario es de un voltio en la línea en todas partes, con v ₊ = v _- = 0.5 a perpetuidad. La corriente de línea total es la diferencia entre la onda hacia adelante y hacia atrás (8.1.5), como se representa en la Figura 8.1.2 (d) para t ₁. Por lo tanto, la corriente en estado estacionario es cero. Estos valores de estado estacionario corresponden a ω → 0 y λ → ∞, por lo que la línea es entonces mucho más corta que cualquier longitud de onda de interés y puede considerarse estática. Podemos ver fácilmente que una línea de circuito abierto conectada a una fuente de voltaje a través de cualquier impedancia en absoluto eventualmente asumirá el mismo voltaje que la fuente, y la corriente será cero, como es aquí.

Si la línea estuviera cortocircuitada en el extremo derecho, entonces\(\Gamma\) = -1 y la tensión v (z) en t1 se parecería a la de la corriente en la Figura 8.1.2 (d), con los valores 0.5 y 0 voltios, mientras que la corriente i (z) en _t1 se parecería a la de la tensión en (c), con los valores 0.5/Z _o y 1/Z _o. Los valores de estado estacionario para voltaje y corriente en este caso de cortocircuito son cero y 1/Z _o, respectivamente.

Si la primera línea de transmisión estuviera conectada a una segunda línea infinita pasiva de impedancia _Zb, como se ilustra en la Figura 8.1.3 (a), entonces los mismos cálculos producirían v (t, z) e i (t, z) en la primera línea de transmisión, donde R _n = Z _b /Z _o. La solución en la segunda línea se desprende de las condiciones límite: v (t) e i (t) son ambos continuos a través del límite. Las formas de onda resultantes v (t ₁, z) e i (t ₁, z) en el tiempo d/C < t ₁ < 2d/C se trazan en la Figura 8.1.3 (b) para el caso R _n = 0.5, así\(\Gamma\) = - 1/3. En este caso la corriente se incrementa por la reflexión mientras se disminuye el voltaje. Independiente de la forma de onda incidente, la fracción de la potencia incidente que se refleja es\(\left(\mathrm{v}_{-} / \mathrm{v}_{+}\right)^{2}=\Gamma^{2}\), donde el coeficiente\(\Gamma\) de reflexión viene dado por (8.1.15); la fracción transmitida es\(1-\Gamma^{2}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Incidente de función escalonada sobre una línea TEM no coincidente.

La principal consecuencia de este fenómeno de reflexión es que el voltaje a través de un dispositivo puede no ser lo que se pretendía si existe un desajuste de impedancia entre la línea TEM y el dispositivo. Esto es un problema solo cuando la línea es suficientemente larga como para que los retardos de línea no sean despreciables en comparación con las constantes de tiempo del circuito (8.1.13). El análisis anterior es para cargas resistivas lineales, pero la mayoría de las cargas son no lineales o reactivas, y su tratamiento se discute en la Sección 8.1.4.

Múltiples reflexiones y reverberaciones

Las ondas reflejadas ilustradas en las Figuras 8.1.2 y 8.1.3 eventualmente impactan en la fuente y pueden reflejarse una vez más. Dado que la superposición se aplica si las fuentes y cargas son lineales, las contribuciones de cada reflexión pueden determinarse por separado y luego agregarse para producir el voltaje y la corriente totales. Es decir, el v _- (t, z) reflejado dará su propia reflexión en la fuente, y el destino de esta reflexión puede seguirse independientemente de la onda delantera original. Como es habitual al analizar circuitos lineales, todas las fuentes se establecen en cero al determinar la contribución de una fuente independiente como v _- (t, z).

Este paradigma se ilustra en la Figura 8.1.4, que implica una fuente de corriente de etapa unitaria que acciona una línea TEM de circuito abierto que se caracteriza por Z _o, c y longitud D. Las figuras 8.1.4 (a), (b) y (c) ilustran el circuito, la tensión en _t1, y la corriente en _t1, respectivamente, donde t ₁ = D/2c. El coeficiente de reflexión\(\Gamma\) = 1 (8.1.15) para el circuito abierto a z = D, por lo que el paso incidente Z _o voltios se refleja positivamente, y el voltaje total donde se superponen es 2Z _o voltios, como se ilustra en (d) para t ₂ = 1.5d/C La corriente en este momento es Y _o [v ₊ (t - z/c) - v _- (t + z/c)], que es cero donde se superponen las ondas hacia adelante y hacia atrás, como se ilustra en (e). Cuando v _- (t + z/c) se refleja desde el extremo izquierdo ve\(\Gamma\) = +1 porque, al usar superposición, consideramos que la fuente de corriente es cero, correspondiente a un circuito abierto. Así, un Z _o voltios adicionales, asociados con v ₊₂, se suma a v ₊₁ y v _-1 para producir un total de 3Z _o voltios, como se ilustra en (f) a t ₃; la notación v _+i se refiere a la i-ésima onda delantera v ₊. Este proceso continúa indefinidamente, con el voltaje que continúa aumentando en Z _o voltios cada d/C segundos hasta que algo se descompone. Se esperan averías de voltaje cuando las fuentes de corriente alimentan circuitos abiertos; la tasa finita de aumento de voltaje está relacionada con la capacitancia total de la línea TEM.

Figura\(\PageIndex{4}\): Transitorios para una fuente de corriente que impulsa una línea TEM de circuito abierto.

El comportamiento de la corriente i (t, z) también es interesante. La Figura 8.1.4 (c) ilustra cómo la corriente de un amperio de la fuente de corriente se propaga por la línea a velocidad c, y (e) muestra cómo se devuelve el “mensaje” de que la línea está en circuito abierto: la corriente regresa a cero. Cuando esta onda que se mueve a la izquierda se refleja en el extremo izquierdo, la corriente es nuevamente forzada a ser de un amperio por la fuente de corriente. Por lo tanto, la distribución de corriente (c) también se aplica a (f) en t ₃. Esta oscilación entre uno y cero amperios continúa indefinidamente, al igual que una discusión no resuelta entre dos personas, cada extremo de la línea obligando a la corriente a satisfacer sus propias condiciones de límite mientras ese mensaje se propaga de un lado a otro a velocidad c.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

Una fuente de voltaje de paso unitario u (t) sin resistencia de fuente acciona una línea TEM llena de aire cortocircuitada de longitud D e impedancia característica Z _o = 1 ohm. ¿Qué corriente i (t) fluye a través del cortocircuito al final de esta línea TEM?

Solución

El paso de la unidad se propagará por la línea, se reflejará en el cortocircuito en z = D donde el coeficiente de reflexión\(\Gamma_{\mathrm{D}}\) = -1, y viajará de regreso a la fuente de voltaje en z = 0, que este transitorio ve como un cortocircuito (Δv = 0), teniendo también\(\Gamma_{\mathrm{S}}\) = -1. Entonces, después de un retraso de ida y vuelta de 2d/C, el voltaje en todas partes de la línea es cero, después de lo cual un nuevo voltaje de paso viaja por la línea y se superpone al voltaje del primer paso, agregando así un segundo paso a la corriente i (t, z=D). Este proceso continúa indefinidamente ya que i (t) avanza en incrementos de 1 amperio cada 2D/C segundos monótonamente hacia el infinito, que es la corriente esperada cuando se cortocircuita una fuente de voltaje. El efecto de la línea es simplemente ralentizar este resultado a medida que se acumule la corriente y la energía magnética almacenada en la línea. Más precisamente,\(\mathrm{v}(\mathrm{t}, \mathrm{z}=0) \equiv \mathrm{u}(\mathrm{t})=\mathrm{v}_{+1}(\mathrm{t}, \mathrm{z}=0)\). \(\mathrm{v}_{+1}(\mathrm{t}, \mathrm{z}=\mathrm{D})=\mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{D} / \mathrm{c})\), por lo que la línea TEM presenta un circuito equivalente a z = D que tiene voltaje Thevenin\(\mathrm{v}_{\mathrm{Th}}=2 \mathrm{v}_{+1}(\mathrm{t}, \mathrm{D})=2 \mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{D} / \mathrm{c})\), e impedancia Thevenin Z _o; esto rinde\(\mathrm{i}(\mathrm{t})=2 \mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{D} / \mathrm{c}) / \mathrm{Z}_{\mathrm{o}}\) para t < 3D/c Por lo tanto\(\mathrm{v}_{-1}(\mathrm{t} \text { D) }= \mathrm{\Gamma_{D} v_{+1}(t, D)}=-\mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{D} / \mathrm{c})\), así\(\mathrm{V}_{+2}(\mathrm{t}, 0)=\Gamma_{\mathrm{S}} \mathrm{v}_{-1}(\mathrm{t}, 0)=\mathrm{u(t-2 D / c)}\). A z = D este segundo paso aumenta el voltaje Thevenin en 2u (t - 3D/C) y aumenta la corriente en 2u (t - 3D/C) /Z _o, donde Z _o = 1 ohm. Por lo tanto\(\mathrm{i}(\mathrm{t})=\Sigma_{\mathrm{n}=0}^{\infty} 2 \mathrm{u}(\mathrm{t}-[2 \mathrm{n}+1] \mathrm{D} / \mathrm{c})\).

Reflexiones por cargas mnemotécnicas o no lineales

La mayoría de las uniones involucran cargas mnemotécnicas ⁴² o no lineales, donde las cargas mnemotécnicas son capacitores, inductores u otros dispositivos de almacenamiento de energía que tienen características dependiendo del pasado. Las cargas no lineales incluyen diodos, transistores y condensadores e inductores dependientes de voltaje o corriente. En cualquier caso, la respuesta a formas de onda arbitrarias no puede ser determinada por los métodos simples descritos en la sección anterior. Sin embargo, simplemente reemplazando la línea de transmisión por su circuito equivalente, la tensión y la corriente generalmente se pueden encontrar fácilmente, primero en la unión y luego en la línea de transmisión.

⁴² Mnemónico significa “que involucra la memoria”.

El circuito equivalente para una línea de transmisión no excitada es simplemente una resistencia de valor Z _o porque la relación Δv/Δi para cualquier excitación es siempre Z _o. Determinar el voltaje a través de este Z _o generalmente es sencillo incluso si la fuente que impulsa la línea contiene condensadores, inductores, diodos o dispositivos similares. El voltaje de onda de propagación directa es simplemente el voltaje del terminal, como se demuestra en las Figuras 8.1.2—4.

El circuito equivalente a Thevenin para una línea TEM energizada tiene una fuente de voltaje Thevenin V _Th en serie con la impedancia Thevenin de la línea: Z _Th = Z _o. Tenga en cuenta que la impedancia equivalente para una línea TEM es exactamente Z _o, independientemente de cualquier carga en la línea. La influencia de la carga en el extremo más alejado de la línea se manifiesta únicamente en ondas reflejadas que pueden propagarse desde ella hacia el observador, como se discutió en el apartado anterior.

El voltaje equivalente Thevenin de cualquier sistema lineal es simplemente su voltaje de circuito abierto. El voltaje de circuito abierto de una línea de transmisión es el doble de la amplitud de cualquier forma de onda de voltaje incidente porque el coeficiente de reflexión\(\Gamma\) para un circuito abierto es +1, lo que duplica el voltaje de incidencia en la posición de unión z _J:

\[\mathrm{V}_{\mathrm{Th}}\left(\mathrm{t}, \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right)=\mathrm{v}_{+}\left(\mathrm{t}, \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right)+\mathrm{v}_{-}\left(\mathrm{t}, \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right)=2 \mathrm{v}_{+}\left(\mathrm{t}, \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right)\]

El procedimiento para analizar una línea TEM terminada por cualquier carga en z = z _J es entonces para: 1) resolver para la onda v ₊ (t - z/c) viajando hacia la carga de interés, 2) establecer\(\mathrm{V}_{\mathrm{Th}}=2 \mathrm{v}_{+}\left(\mathrm{t}-\mathrm{z}_{\mathrm{J}} / \mathrm{c}\right)\) y Z _Th = Z _o, 3) resolver para el voltaje terminal v (t, z _J), 4) resolver para v _- (t, z _J), y 5) encontrar v _- (t + z/c), donde definimos z como aumento hacia la carga:

\[\mathrm{v}_{-}\left(\mathrm{t}, \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right)=\mathrm{v}\left(\mathrm{t}, \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right)-\mathrm{v}_{+}\left(\mathrm{t}, \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right) \equiv \mathrm{v}_{-}\left(\mathrm{t}+\left[\mathrm{z}_{\mathrm{J}} / \mathrm{c}\right]\right)\]

\[\mathrm{v}_{-}(\mathrm{t}+\mathrm{z} / \mathrm{c})=\mathrm{v}_{-}\left(\mathrm{t}+\left[\left(\mathrm{z}-\mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right) / \mathrm{c}\right], \mathrm{z}_{\mathrm{J}}\right) \qquad \qquad \qquad \text{(wave reflected by load)}\]

La ecuación (8.1.19) dice que v _- (t + z/c) es simplemente la v _- (t, z _J) dada por (8.1.18), pero retrasada por (z _J - z) /c.

Este procedimiento se demuestra mejor con un simple ejemplo. La Figura 8.1.5 (a) ilustra una línea TEM accionada por una fuente de voltaje de paso unitario coincidente y terminada con un condensador C. Este paso de voltaje, reducido en un factor de dos por el divisor de voltaje, se propaga hacia el condensador a la velocidad c, como se ilustra en (b). El condensador ve el circuito equivalente a Thevenin ilustrado en (c); consiste en Z _o en serie con una fuente de voltaje Thevenin que es dos veces v ₊, donde v ₊ (t, D) es un paso de 0.5 voltios retardado por el tiempo de propagación d/C. por lo tanto V _Th = u (t - d/C), como ilustrado en la Figura 8.1.5 (c) y (d). La solución al problema del circuito de (c) es la tensión de unión v _J (t) trazada en (e); se eleva exponencialmente hacia su asíntota de 1 voltio con una constante de tiempo\(\mathrm{\tau=Z_{0} C}\) segundos.

Para resolver para v _- (t, z _J) restamos v ₊ (t, z _J) de v _J (t), como se muestra en (8.1.18) e ilustrado en (f); esto luego produce v _- (t + z/c) usando (8.1.19). El voltaje total v (t ₁, z) en la línea en el tiempo d/C < t ₁ < 2d/C se traza en (g) y es la suma de v ₊ (t - z/c), que es 0.5 voltios, y v _- (t + z/c). La corriente correspondiente i (t ₁, z) se grafica en (h) y es igual a Y _o veces la diferencia entre las ondas de voltaje directo e inverso, según lo dado por (8.1.5). Cuando v _- (t, z) llega a la fuente, se puede tratar del mismo modo que tales ondas fueron tratadas en la Sección 8.1.3. En este caso la fuente es coincidente, por lo que no hay más reflexiones.

Figura\(\PageIndex{5}\): Voltajes transitorios y corrientes en una línea TEM terminada en condensador.

La mayoría de los circuitos digitales son no lineales, por lo que esta misma técnica se utiliza a menudo para determinar las formas de onda en líneas TEM más largas. Considere el circuito y la fuente de voltaje de impulso de rampa ilustrada en la Figura 8.1.6 (a) y (b).

Figura\(\PageIndex{6}\): Formas de onda TEM transitorias producidas por reflexión a partir de una carga no lineal.

En este caso no hay resistencia de fuente (una elección arbitraria), por lo que el valor completo de la tensión de la fuente aparece a través de la línea TEM. La parte (c) muestra el circuito equivalente de la línea de transmisión que impulsa la carga, el cual consiste en un diodo retropolarizado. El voltaje Thevenin V _Th (t, z _J) = 2v ₊ (t, z _J) se representa en (d), el voltaje de unión resultante v _J (t) se representa en (e), v ₊ (t, z _J) se representa en (f), y v _- (t, z _J) = v _J (t, z _J) - v ₊ (t, z _J) se traza en (g). El voltaje de línea y las corrientes a d/C < t ₁ < 2D/c se trazan en (h) e (i), respectivamente. Observe que estas formas de onda reflejadas no se parecen a la forma de onda incidente.

Ejemplo\(\PageIndex{C}\)

Si el circuito ilustrado en la Figura 8.1.5 (a) fuera terminado por L en lugar de C, ¿cuál sería v (t, D), v _- (t, D) y v (t,0)?

Solución

Las figuras 8.1.5 (a—d) siguen aplicándose, excepto que L reemplaza a C. El voltaje de paso Thevenin de un voltio a z = D en serie con la impedancia de línea Thevenin Z _o produce un voltaje v (t, D) a través del inductor de u (t - d/C) ^e-TL/r. Por lo tanto\(\mathrm{v_{-}(t, D)=v(t, D)-v+(t, D)=u(t-\mathrm{D} / \mathrm{c}) \mathrm{e}^{-(\mathrm{t}-\mathrm{D} / \mathrm{c}) \mathrm{L} / \mathrm{R}}-0.5 \mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{D} / \mathrm{c})}\) y, dado que no hay más reflexiones en la carga coincidente en z = 0, se deduce que\(\mathrm{v(t, 0)=0.5 u(t)+u(t-2 D / c) e^{-(t-2 D / c) L R}-0.5 u(t-2 D / c)}\).

Condiciones iniciales y creación transitoria

A menudo, las líneas de transmisión tienen una tensión inicial y una corriente que se interrumpe de alguna manera, produciendo transitorios. Por ejemplo, una línea TEM cargada en reposo puede tener un interruptor lanzado en un extremo que de repente lo conecta a una carga, o lo desconecta; dicho interruptor también podría ubicarse en el medio de una línea, ya sea en serie o en paralelo. El método de solución tiene dos pasos principales: 1) determinar v ₊ (t, z) y v _- (t, z) a t = 0 _- antes de que ocurra el cambio, y 2) resolver para el comportamiento posterior de las ondas que se mueven hacia adelante y hacia atrás para la configuración de red dada.

Figura\(\PageIndex{7}\): Transitorios inducidos por línea TEM activa momentáneamente de circuito abierto.

El ejemplo simple de la Figura 8.1.7 ilustra el método. Supongamos que una línea TEM de 100 ohmios llena de aire de 2 metros de largo está alimentando una carga R de 200 ohmios con I = 50 miliamperios, cuando de repente a t = 0 la línea está en circuito abierto a z = 1 metros durante 10 ^-9 segundos, después de lo cual vuelve a la normalidad. ¿Cuáles son el voltaje y la corriente en la línea como resultado de este evento temporal?

Usando el método sugerido anteriormente, primero resolvemos para las ondas hacia adelante y hacia atrás antes de t = 0; la corriente i (t<0, z) se da como I = 50 miliamperios, y la tensión v (t<0, z) = IR es 0.05 × 200 ohmios = 10 voltios. Tenga en cuenta que en estado estacionario Z _o no afecta a v (t<0, z). Sabemos por (8.1.4) y (8.1.5) que:

\[\mathrm{v(z, t)=v_{+}(z-c t)+v_{-}(z+c t)}\]

\[\mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})=\mathrm{Y}_{\mathrm{o}}\left[\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})-\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})\right]\]

Resolviendo estas dos ecuaciones para v ₊ y v _- rinde:

\[\mathrm{v}_{+}(\mathrm{z}-\mathrm{ct})=\left[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})+\mathrm{Z}_{0} \mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\right] / 2=[10+5] / 2=7.5 \text { volts }\]

\[\mathrm{v}_{-}(\mathrm{z}+\mathrm{ct})=\left[\mathrm{v}(\mathrm{z}, \mathrm{t})-\mathrm{Z}_{0} \mathrm{i}(\mathrm{z}, \mathrm{t})\right] / 2=[10-5] / 2=2.5 \text { volts }\]

Estos dos voltajes se muestran en la Figura 8.1.7 (b), 7.5 voltios para la onda directa y 2.5 voltios para la onda reflejada; esto es consistente con la corriente dada de 50 ma.

Cuando el interruptor se abre a t = 0 durante 10 ^-9 segundos, interrumpe momentáneamente tanto v+ como v-, que ven un circuito abierto en el interruptor y\(\Gamma\) = +1. Por lo tanto en (c) vemos 7.5 voltios reflejados de nuevo a la izquierda desde el interruptor, y 2.5 voltios reflejados de nuevo hacia la derecha. A distancias más cercanas al interruptor que ct [m] vemos, por lo tanto, 15 voltios a la izquierda y 5 voltios a la derecha; esta zona se propaga hacia afuera a velocidad c. Cuando el interruptor se cierra de nuevo, estas reflexiones de línea media cesan y las tensiones y corrientes vuelven a la normalidad como los dos pulsos transitorios de 15 y 5 voltios continuar propagándose hacia los dos extremos de la línea, como se muestra en (d), donde podrían reflejarse más.

Las corrientes asociadas a la Figura 8.1.7 (d) se pueden conjurar fácilmente usando (8.1.21). Los efectos del interruptor solo se sienten por ese breve intervalo de 10 ^-9 segundos, y de lo contrario la corriente en la línea es la original de 50 ma. En el breve intervalo cuando el interruptor estaba abierto la corriente se vio forzada a cero, y así pulsos de corriente cero de duración 10 ^-9 segundos se propagan lejos del interruptor en ambas direcciones.

Ejemplo\(\PageIndex{D}\)

Una línea TEM llena de aire de 100 ohmios de longitud D está alimentando 1 amperio a una carga de 50 ohmios cuando se cortocircuita momentáneamente en su centro por un tiempo T < D/2c. ¿Qué son v ₊ (z - ct) y v _- (z + ct) anteriores al cortocircuito, y durante éste?

Solución

Para t<0,\(\mathrm{\Gamma=v_{-}(D-c t) / v+(D+c t)=\left(Z_{n}-1\right) /\left(Z_{n}+1\right)=-0.5 / 1.5=-1 / 3}\) donde Z _n = 50/100. Dado que el voltaje de línea v (z, t) es igual a la corriente i veces la resistencia de carga (v = 50 voltios), se deduce que\(\mathrm{v}_{+}+\mathrm{v}_{-}=2 \mathrm{v}_{+} / 3=50\), y por lo tanto\(\mathrm{v_{+}=v_{+}(z-c t)= 75}\) voltios, y v _- (z + ct) = -25. Durante el cortocircuito se altera el voltaje dentro de una distancia d = ct del corto. En el lado fuente el cortocircuito refleja v _- = -v ₊ = -75, por lo que el voltaje total (v _{+ +} v _-) dentro de ct metros del cortocircuito es cero, y en el lado de carga v ₊ = -v _- = 25 se refleja, por lo que el voltaje total vuelve a ser cero. Las corrientes izquierda y derecha del corto son diferentes, sin embargo, debido a que las originales v ₊ ≠ v _-, e i ₊ = v ₊ /Z _o. Por lo tanto, en el lado fuente cerca del cortocircuito,\(\mathrm{i=\left(v_{+}-\Gamma_{V_{+}}\right) / Z_{0}=2 v_{+} / Z_{0}=2 \times 75 / 50=3 \ [A]}\). En el lado de carga cerca del cortocircuito, I = -2×25/50 = -1 [A].