8.2: Límites planteados por dispositivos y alambres

Introducción a los modelos de dispositivos

La mayoría de los dispositivos combinan elementos conductores con semiconductores, aisladores y aire en una estructura compleja que almacena, cambia o transforma energía a velocidades limitadas por constantes de tiempo características gobernadas por las ecuaciones y cinemáticas de Maxwell. Por ejemplo, en tubos de vacío los electrones son hervidos al vacío por un cátodo caliente cargado negativamente con pequeñas fracciones de un electrón voltio de energía ⁴³. Dichos tubos cambian de estado solo tan rápido como los electrones libres pueden cruzar el vacío hacia el ánodo cargado positivamente, y solo tan rápido como lo permitan las constantes de tiempo del circuito RL o RC que controlan las tensiones que aceleran o retardan los electrones. Los mismos límites físicos también se aplican a la mayoría de los dispositivos semiconductores, como se sugiere en la Sección 8.2.4, aunque a veces los efectos cuánticos introducen un comportamiento no clásico, como se ilustra en la Sección 12.3.1 para dispositivos láser

El diseño de tubos de vacío para su uso por encima de ~100 MHz fue difícil debido a que se requirieron altos voltajes y dimensiones muy pequeñas para acortar el tiempo de tránsito de electrones a fracciones de un ciclo de radiofrecuencia (RF). Los cables que conectan el cátodo, el ánodo y cualquier red a circuitos externos también contribuyeron con inductancia que limitó la velocidad. Se requirieron compensaciones. Por ejemplo, a medida que la brecha cátodo-ánodo disminuyó para acortar los tiempos de tránsito de electrones, la capacitancia C entre el cátodo y el ánodo aumentó junto con los retardos asociados con su constante de tiempo RC\(\tau_{\text{ RC}}\). Exactamente los mismos problemas físicos de longitud de brecha, capacitancia, y\(\tau_{\text{ RC}}\) surgen en la mayoría de los dispositivos semiconductores. La cinemática de los electrones en vacío se discutió en las Secciones 5.1.2— 3, y el comportamiento de los circuitos RL y RC simples se discutió en la Sección 3.5.1.

⁴³ Una energía térmica Eo de un electrón voltio (1.6×10 ^-19 [J]) corresponde a una temperatura T de ~11,600K, donde E _o = kT y k es la constante de Boltzmann: k 1.38×10 ^-23 [J/ ^o K]. Así, un cátodo al rojo vivo a ~1000K herviría electrones libres con energías térmicas de ~0.1 e.v.

Modelos de dispositivos semiconductores

Un ejemplo simple ilustra fuentes típicas de retraso en dispositivos semiconductores. Tanto los transistores pnp como npn están compuestos por uniones p-n que contribuyen al retardo relacionado con el dispositivo. Los transistores de efecto de campo exhiben retardos relacionados. Las figuras 8.2.1 (a) y (b) presentan una característica i-v de unión p-n de CC y un modelo de circuito que presenta características de retardo aproximadamente correctas para el caso en que se utilizan cables metálicos de baja pérdida para interconectar dispositivos.

Figura\(\PageIndex{1}\): Modelo de circuito para retardos de conmutación en uniones p-n.

Cuando el diodo ideal está polarizado hacia delante, la resistencia de polarización directa _Rf determina la pendiente de la característica i-v. _{Cuando se polariza hacia atrás más allá de ~V b, el diodo ideal se convierte en un circuito abierto por lo que la capacitancia de unión C se vuelve importante y la resistencia de polarización posterior R f + R b, determina la pendiente.} C surge debido a la región de agotamiento libre de carga que existe en los diodos retropolarizados, cuya explicación se da en la Sección 8.2.4. C disminuye a medida que aumenta la tensión de polarización posterior debido a que aumenta el ancho d del hueco y C εA/d (3.1.10). El voltaje de polarización V _b en el circuito equivalente está relacionado con la brecha de banda entre las bandas de valencia y conducción en el semiconductor, y es de ~1 voltio para el silicio (ver Sección 8.2.4 para mayor discusión). La inductancia L surge principalmente de cables que conducen externamente, y se discute más adelante en la Sección 8.2.3 para circuitos impresos, y estimada en la Sección 3.3.2 para cables aislados (3.3.17).

La Figura 8.2.1 (c) representa un voltaje de prueba típico a través de una unión p-n aplicada como se sugiere en la Figura 8.2.1 (a). Comienza en ese voltaje de polarización v (t) = V _b (~1 voltio en silicio), para lo cual el circuito equivalente en la Figura 8.2.1 (b) no conduce corriente y el condensador se descarga. A t = 0 ₊, v (t) →V _o y la corriente i (t) aumenta hacia (V _o - V _b) /R _f con cero resistencia incremental ofrecida por el diodo y fuente de voltaje, por lo que la constante de tiempo\(\tau\) es L/R _f segundos (3.5.10), como se ilustra en la Figura 8. 2.1 d). El condensador permanece sin carga. La Sección 3.5.1 analiza las constantes de tiempo para circuitos simples. Como resultado de la desviación de energía hacia el inductor, la corriente i no alcanza niveles suficientes para activar el siguiente elemento del circuito hasta\(\mathrm{t} \cong \delta_{1}\), que es el tiempo de retardo.

Esta constante de tiempo se\(\delta_{1}\) puede estimar fácilmente. Por ejemplo, una unión p-n podría estar unida a cables de longitud D = 0.001 [m] y radio r _o = 10 ^-6 [m], y tener una resistencia desviada hacia delante R _f de ~1 ohm. En este caso (3.3.17) produce la inductancia del cable:

\[\mathrm{L} \cong\left(\mu_{\mathrm{o}} \mathrm{D} / 16 \pi\right) \ln \left(\mathrm{D} / \mathrm{r}_{\mathrm{o}}\right) \cong 1.7 \times 10^{-10} \ [\text {Henries }]\]

Por lo tanto\(\delta_{1} \cong \tau=\mathrm{L} / \mathrm{R}=1.7 \times 10^{-10}\) segundos, por lo que el diodo podría manejar una frecuencia máxima de ~R/2\(\pi\) L Hz, o ~1 GHz. De manera más conservadora, el diodo podría usarse a frecuencias de reloj por debajo de ~0.2 GHz. Las computadoras modernas emplean cables más cortos y R _f más pequeños para trabajar más rápido. El modelo de circuito en la Figura 8.2.1 (b) no incluye la capacitancia entre el cable y el sustrato porque aquí es despreciablemente pequeña en relación con los efectos de L.

Cuando el voltaje de prueba v (t) pasa entonces negativo, el diodo ideal en la Figura 8.2.1 (b) continúa conduciendo hasta que la corriente a través del inductor decae a cero con la misma constante de tiempo L/R _f. La corriente entonces comienza a cargar C (a medida que la capa de agotamiento se libera de carga) con una constante de tiempo ~R _b C que retrasa la respuesta actual por un total de\(\sim \delta_{2}\) segundos. Obsérvese que para fines ilustrativos la escala actual para i (t) negativo en (d) se ha expandido en un factor muy grande (R _b /R _f) con relación a la escala para i (t) positivo.

Cuando el voltaje de prueba vuelve luego a V _o desde su fuerte valor negativo, primero debe descargar C (repoblar la capa de agotamiento con carga) antes de que se cierre el diodo ideal en la Figura 8.2.1 (c), introduciendo una constante de tiempo de ~R _f C que podemos estimar. Si la capacitancia C corresponde a una capa de agotamiento de espesor d 10 ^-7, área A 10 ^-11 [m ²], y permitividad ε ~10ε _o, entonces (3.1.10) rinde\(\mathrm{C}=\varepsilon \mathrm{A} / \mathrm{d} \cong 10 \times 8.8 \times 10^{-12} \times 10^{-11} / 10^{-7} \cong 9 \times 10^{-15} \ [\mathrm{F}]\). Esto produce R _f C 10 ^-14 [s] << L/R _f, por lo que L/R _f dominaría toda la transición, resultando en un retraso total de\(\delta_{3} \cong \delta_{1}\) segundos. En realidad i (t) en este circuito RLC sonaría a ω (LC) ^-0.5 radianes por segundo como i (t) y la decadencia del timbre hacia la asíntota\(\mathrm{i} \cong\left(\mathrm{V}_{\mathrm{o}}-\mathrm{V}_{\mathrm{b}}\right) / \mathrm{R}_{\mathrm{f}}\).

En la mayoría de los circuitos de transistores bipolares que utilizan cables metálicos es L/R _f el que controla la velocidad máxima de reloj para el sistema, la cual está limitada por la unión más lenta y los cables más inductivos en todo el circuito integrado. En los circuitos integrados MOS, sin embargo, la resistividad de las capas de polisilicio o difusión utilizadas para los conductores es suficientemente alta como para que la inductancia del cable a menudo ya no esté controlando, como se discute en la Sección 8.3.1. La inductancia del cable se reduce más fácilmente mediante el uso de cables más anchos más cortos, lo que también reduce la resistencia del cable Las trayectorias más largas se pueden acomodar usando líneas TEM coincidentes, como se describe en la Sección 8.1.

Modelos de cables cuasistáticos

El tiempo de retardo para la unión p-n de la Figura 8.2.1 estuvo dominado por L/R _f, donde L se originó en los cables conectados a la unión. Los efectos de la capacitancia C de la capa de agotamiento fueron despreciables en comparación con los parámetros asumidos del dispositivo. En esta sección examinamos los efectos de la capacitancia del cable y la sección transversal en la limitación de frecuencias de reloj o señal.

En la mayoría de los circuitos integrados, los cables son planos y se depositan sobre una capa aislante ubicada sobre un plano de tierra conductor, como se sugiere en la Figura 8.2.2.

Figura\(\PageIndex{2}\): Modelo idealizado para cable de circuito impreso o integrado.

La capacitancia e inductancia por unidad de longitud son C' y L', respectivamente, que se derivan de (3.1.10) y (3.2.6) bajo el supuesto de que los campos de franjas son insignificantes:

\[\mathrm{C}^{\prime}=\varepsilon \mathrm{W} / \mathrm{d} \ \left[\mathrm{F} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

\[\mathrm{L}^{\prime}=\mu \mathrm{d} / \mathrm{W} \ \left[\mathrm{H} \mathrm{m}^{-1}\right]\]

\[\mathrm{L}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=\mu \varepsilon\]

Cables de circuito impreso con ancho W 1 mm y largo D 3 cm impresos sobre dieléctricos con espesor d 1-mm y permitividad ε 4ε _o agregarían capacitancia C e inductancia L al dispositivo conectado, donde:

\[\mathrm{C}=\varepsilon \mathrm{WD} / \mathrm{d}=9 \times 8.8 \times 10^{-12} \times 10^{-3} \times 0.03 / 10^{-3}=2.4 \times 10^{-12} \ [\mathrm{F}]\]

\[\mathrm{L}=\mu \mathrm{dD} / \mathrm{W}=1.2 \times 10^{-6} \times 10^{-3} \times 0.03 / 10^{-3}=3.6 \times 10^{-8} \ [\mathrm{H}]\]

Estos valores se combinan con resistencias nominales de polarización directa de un ohmio de uniones p-n para producir las constantes de tiempo L/R = 3.6×10 ^-8 segundos, y RC = 2.4×10 ^-12 segundos. Nuevamente el límite lo plantea la inductancia. Dichas placas de circuito impreso se limitarían a frecuencias f ≤\(\pi\)\(\tau\) ~1/2 4 MHz.

Los números citados aquí no son tan importantes como la noción de que las interconexiones pueden limitar fuertemente las frecuencias de operación y la utilidad del circuito. El análisis cuasistático anterior es válido porque las dimensiones físicas aquí son mucho menores que la longitud de onda más corta (a f = 4 MHz): λ = c/f 700 metros en aire o ~230 metros en un dieléctrico con ε = 9ε _o.

Anteriormente hemos ignorado la resistencia del cable en comparación con la resistencia nominal de un ohmio de las uniones p-n polarizadas hacia delante. Si los hilos impresos anteriores son d =10 micrones de espesor y tienen la conductividad σ de cobre o aluminio, entonces su resistencia es:

\[\mathrm{R}=\mathrm{D} / \mathrm{d} \mathrm{W} \sigma=0.03 /\left(10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{7}\right)=0.06 \ [\mathrm{ohms}]\]

Dado que algunos dispositivos semiconductores tienen resistencias directas mucho menos que esta, los cables a veces se hacen más gruesos o más anchos para compensar. Los cables impresos más anchos también tienen menor inductancia [ver (8.2.6)]. El ancho y el grosor son particularmente importantes para los cables de suministro de energía, que a menudo transportan grandes corrientes.

Si (8.2.7) se modifica para representar cables en circuitos integrados donde las dimensiones en micras son longitud D = 100, grosor d = 0.1 y ancho W = 1, entonces R = 20 ohmios y supera con creces las resistencias típicas de unión p-n delantera. Limitar D a 20 micrones mientras se aumenta d a 0.4 y W a 2 micrones bajaría R a 0.5 ohmios. Las resistividades de las capas de polisilicio y difusión a menudo utilizadas para conductores pueden ser 1000 veces mayores, planteando desafíos aún mayores. Claramente, la resistencia del cable es otra restricción importante para el diseño de circuitos CI ya que se buscan frecuencias de operación más altas

Ejemplo\(\PageIndex{A}\)

Un cierto dispositivo de circuito integrado que tiene resistencia directa _Rf = 0.1 ohmios es alimentado por un conductor de polisilicio que es 0.2 micrones de ancho y grueso, 2 micrones de largo, y soportado 0.1 micrones por encima del plano de tierra por un dieléctrico que tiene ε = 10ε _o. La conductividad del alambre de polisilicio es ~5×10 ⁴ S m ^-1. ¿Qué limita la constante de tiempo de conmutación\(\tau\) de este dispositivo?

Solución

R, L y C para el conductor se pueden encontrar en (8.2.7), (8.2.6) y (8.2.5), respectivamente. \(\mathrm{R}=\mathrm{D} / \mathrm{dW} \sigma=2 \times 10^{-6} /\left[\left(0.2 \times 10^{-7}\right)^{2} 5 \times 10^{4}\right]=1000\),

\[\mathrm{L} \cong \mu \mathrm{dD} / \mathrm{W}=1.26 \times 10^{-6} \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-6} /\left(0.2 \times 10^{-6}\right)=1.26 \times 10^{-12} \quad[\mathrm{Hy}]. \nonumber\]

\[\mathrm{C=\varepsilon W D / d}=8.85 \times 10^{-11} \times 0.2 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6} / 10^{-7}=3.54 \times 10^{-16} \ [\mathrm F]. \nonumber\]

\(\mathrm{RC} \cong 3.54 \times 10^{-13} \ [\mathrm{S}]\)\(\mathrm{L} / \mathrm{R}=1.26 \times 10^{-15} \ [\mathrm{S}]\), y\((\mathrm{LC})^{0.5}=2.11 \times 10^{-14}\) [segundos/radianes], por lo que RC limita el tiempo de conmutación. Si el metal sustituyera al polisilicio, entonces LC plantearía el límite aquí.

Semiconductores y uniones p-n idealizadas

Entre los semiconductores más utilizados se encuentran el silicio (Si), el germanio (Ge), el arseniuro de galio (GaS) y el fosfuro de indio (InP). Los semiconductores a bajas temperaturas son aislantes ya que todos los electrones están atrapados en las inmediaciones de sus átomos hospedadores. Sin embargo, el espaciado atómico periódico de los semiconductores cristalinos permite que los electrones de suficiente energía se propaguen libremente sin dispersión. Por lo tanto, los diodos y transistores exhiben conductividades que dependen de los voltajes aplicados y las distribuciones de energía de electrones resultantes. Los tiempos de respuesta de estos dispositivos están determinados por la cinemática electrónica y los tiempos de respuesta de los circuitos y estructuras determinando voltajes e intensidades de campo dentro del dispositivo.

La explicación mecánica cuántica de dicho movimiento de electrones invoca la naturaleza de onda de los electrones, la cual se rige por la ecuación de onda de Schroedinger (no explicada aquí, aunque es similar a la ecuación de ondas electromagnéticas). La consecuencia es que los semiconductores pueden caracterizarse por un diagrama de energía que muestra posibles estados de energía electrónica en función de la posición en la dirección z, como se ilustra en la Figura 8.2.3 (a). A bajas temperaturas todos los electrones ocupan estados energéticos en la banda de valencia inferior, correspondientes a órbitas unidas alrededor de los átomos. Sin embargo, existe una segunda banda de conducción de posibles estados de energía ocupados por electrones que se mueven libremente a energías más altas separadas de la banda de valencia por un espacio de energía E _g que varía con el material, pero es ~1 e.v. para el silicio. Por ejemplo, un fotón con energía hf = E _p > E _g puede excitar un electrón unido en la banda de valencia a un estado de mayor energía en la banda de conducción donde ese electrón puede moverse libremente y conducir electricidad. De hecho, este mecanismo de fotoexcitación se utiliza a menudo en fotodetectores semiconductores para medir la intensidad de la luz.

Figura\(\PageIndex{3}\): Diagramas de energía para semiconductores p y n y uniones p-n.

La probabilidad de que un electrón no unido en equilibrio térmico a temperatura T tenga energía E se rige por la distribución de Boltzmann P {E} = e ^-E/kT /kT, donde la constante de Boltzmann k = 1.38×10 ^-23 y un electrón voltio es 1.6×10 ^-19 [J]. Por lo tanto, la excitación térmica colocará aleatoriamente algunos electrones libres en la banda de conducción desde P {E>E _g} > 0. Sin embargo, esto solo proporciona una conductividad extremadamente limitada debido a que un hueco de ~1 e.v. corresponde a una temperatura de E/k 11,600K, mucho mayor que la temperatura ambiente. ⁴⁴

⁴⁴ El nivel de Fermi de un semiconductor no dopado está a medio camino entre las bandas de valencia y conducción, por lo que ~medio electrón voltio es realmente suficiente para producir excitación, aunque existen muchos más electrones en la propia banda de valencia.

Para aumentar la conductividad de los semiconductores se agrega una pequeña fracción de átomos dopantes que liberan fácilmente un electrón (llamados átomos donantes), o que capturan fácilmente un electrón extra (átomos aceptores). Estos átomos asumen niveles de energía que están justo por debajo del borde de la banda de conducción (átomos donantes) o justo por encima del borde de la banda de valencia (átomos aceptores), como se ilustra en la Figura 8.2.3 (b) y (c), respectivamente. Estos huecos de energía son bastante pequeños, por lo que una fracción significativa de los átomos donadores y aceptores se ionizan típicamente a temperatura ambiente.

_{La probabilidad de que un electrón tenga suficiente energía para saltar un hueco Ea es la integral de la distribución de probabilidad de Boltzmann de E a E →∞, y E a es lo suficientemente pequeña como para que esta integral pueda acercarse a la unidad para algunos átomos dopantes.} La energía base para la distribución de Boltzmann es el nivel Fermi; los electrones llenan los niveles de energía disponibles comenzando con el más bajo y terminando con el más alto siendo (en promedio) en el nivel Fermi. El nivel de Fermi generalmente se encuentra muy cerca del nivel de energía asociado con los átomos donadores o aceptores, como se ilustra en la Figura 8.2.3 (b—f). Dado que los agujeros están cargados positivamente, su distribución exponencial de Boltzmann aparece invertida en el diagrama de energía, como se ilustra en (c).

Por cada átomo donador ionizado hay un electrón en la banda de conducción que contribuye a la conductividad. Por cada átomo aceptor ionizado negativamente hay un “agujero” desocupado cargado positivamente dejado atrás. Un electrón adyacente puede saltar fácilmente a este agujero, moviendo efectivamente la ubicación del agujero al espacio desocupado por el electrón saltador; de esta manera, los agujeros pueden migrar rápidamente y proporcionar casi la misma conductividad que los electrones en la banda de conducción. Los semiconductores dopados con átomos donantes para que los electrones libres dominen la conductividad son semiconductores tipo n (dominan los portadores negativos), mientras que los agujeros dominan la conductividad de los semiconductores tipo p dopados con aceptores (dominan los portadores positivos). Algunos semiconductores están dopados para producir ambos tipos de portadores. La conductividad de los semiconductores homogéneos es proporcional al número de portadores de carga, que se controla principalmente por la densidad de dopaje y la temperatura.

Si se cortocircuita una unión p-n, el nivel de Fermi es el mismo en todas partes como se muestra en la Figura 8.2.3 (d). Por lo tanto, las colas de las distribuciones de Boltzmann a ambos lados de la unión se basan en la misma energía, por lo que no hay flujo neto de corriente a través del circuito.

Cuando la unión está retropolarizada por V _o voltios como se ilustra en (e), el nivel de Fermi se deprime correspondientemente. La corriente dominante proviene de la cola de la distribución Boltzmann de electrones en la banda de conducción del semiconductor tipo p; estos pocos electrones serán arrastrados al terminal positivo y son indicados por la pequeña flecha blanca. Algunos agujeros creados térmicamente en la banda de valencia tipo n también pueden contribuir ligeramente. Debido a que los portadores provienen de la cola alta de la distribución térmica de Boltzmann, la corriente inversa en una unión p-n depende fuertemente de la temperatura y puede usarse como termómetro; no es muy dependiente del voltaje una vez que el voltaje es suficientemente negativo. Cuando una unión p-n es retropolarizada, el campo eléctrico tira hacia atrás la mayoría de los electrones libres de baja energía hacia el semiconductor de tipo n, y tira de los agujeros en el semiconductor de tipo p, dejando una capa libre de portadora, llamada región de agotamiento de carga, que actúa como un condensador. Valores mayores de V _o producen mayores brechas y menor capacitancia.

Cuando la unión está polarizada hacia delante por V _o voltios, como se ilustra en (f), la capa libre de carga desaparece y el flujo de corriente está dominado por la fracción mucho mayor de electrones excitados en la banda de conducción en el semiconductor tipo n porque casi todos ellos serán arrastrados por el aplicado campo eléctrico a través de la unión antes de recombinarse con un ion positivo. Este flujo de electrones (opuesto al flujo de corriente) está indicado por la flecha blanca más grande, y es proporcional a esa fracción de P {E} que se encuentra más allá de la pequeña brecha de energía que separa el nivel de Fermi y el borde inferior de la banda de conducción. Los agujeros en la banda de valencia también pueden contribuir significativamente a esta corriente. La sobreenergía integral de la distribución de probabilidad exponencial P {E} por encima del umbral _Eg - v es otra exponencial para 0 < v < E _g, que es proporcional a la población de electrones conductores, y que se aproxima a la relación i (v) para una unión p-n ilustrada en Figura 8.2.1 (a) para v > 0.

Los transistores son dispositivos semiconductores configurados de manera que el número de portadores (electrones más agujeros) disponibles en una unión para soportar la conductividad se controla 1) por el número inyectado en la unión por una interfaz p-n polarizada para inyectar el número deseado (por ejemplo, como se hace en pn-p o n-p-n transistores), o 2) por las portadoras presentes que no han sido arrastradas hacia un lado o atrapadas por campos eléctricos (por ejemplo, transistores de efecto de campo). En general, pequeñas corrientes de polarización y voltajes pueden controlar así la corriente que fluye a través de huecos de voltaje mucho más grandes con factores de amplificación de potencia de 100 o más. Aunque la gama de diseños de dispositivos es muy grande, la mayoría se puede entender de manera semicrásica como se sugirió anteriormente, sin las descripciones mecánicas cuánticas completas necesarias para una caracterización precisa.

El tiempo de respuesta de las uniones p-n y los transistores generalmente está determinado por las constantes de tiempo RC, RL o LC que limitan los tiempos de subida y caída de tensiones y corrientes aplicadas a los terminales del dispositivo, o por el tiempo de relajación de campo ε/σ (4.3.3) del material semiconductor dentro del propio dispositivo. En los dispositivos extremadamente rápidos el tiempo de respuesta a\(\tau\) veces es d/V, donde D es la dimensión de unión [m] de interés, y v es la velocidad de la luz t (v = [με] ^-0.5) o de los electrones en tránsito (\(\mathrm{v}=\int \mathrm{a} \text{ dt}\), f = ma = eE).

Aunque estos modelos físicos para uniones semiconductoras son relativamente primitivos, explican aproximadamente la mayoría de los fenómenos.

Ejemplo\(\PageIndex{B}\)

¿Cuáles son las dependencias aproximadas de temperatura de las corrientes que fluyen en uniones p-n con polarización directa e inversa?

Solución

Si la tensión de polarización excede la tensión de separación, y kT es grande en comparación con la brecha de energía entre el nivel donante y la banda de conducción, entonces esencialmente todos los donantes están ionizados y los cambios adicionales de temperatura tienen poco efecto en las uniones p-n polarizadas hacia delante; ver Figura 8.2.3 (f). La concentración de portadora en diodos polarizados inversos es proporcional a\(\int_{\mathrm{E}_{\mathrm{o}}+\mathrm{Eg}}^{\infty} \mathrm{e}^{-\mathrm{E} / \mathrm{kT}}\) dE, y por lo tanto a T [Figura 8.2.3 (e)].